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Anche io trovo difficoltà in questo limite..e dovrebbero servire gli sviluppi in quanto i limiti notevoli sono ok quando basterebbero gli sviluppi di grado 1,ma qua credo non basti..poi tende a -5/6..

1) per il denominatore:
tan(x)= x + (x^3)/3 + o(x^4)
tan^2(x)= x^2 + (2/3)x^4 + o(x^4)
sin(t)= t - (t^3)/6 = x^2 + (2/3)x^4 + ((x^2 + (2/3)x^4)^3)/6 + o(x^4)
ora il polinomio ^3neanche a farlo perchè tanto sempre > x^4, quindi si poteva sviluppare il seno anche di ordine 1
sin^2(t)=(x^2 + (2/3)x^4)^2 + o(x^4)= x^4 + o(x^4)

2) per il numeratore:
sin(x)= x^2 -(x^3)/6 + o(x^4)
sin^2(x) = x^4 - (x^4)/3
log(1+t)= t - (t^2)/2 = x^2 -(x^4)/3 -((x^2 -(x^4)/3)^2)/2 = x^2 -(x^4)/3 - (x^4)/2 + o(x^4)= x^2 - (5/6)x^4 + o(x^4)
quindi il numeratore è:
- (5/6)x^4 + o(x^4)

e dividendo opportunamente, facendo i rigorosi, il limite viene: -5/6

Risolto con gli sviluppi..commettevo errori nel calcolo delle potenze dei suddetti! Allora..
ho usato un grado = 6 nello sviluppo ma va bene anche 4 (credo ).
Effettuati i primi sviluppi di log e sin^2 ottengo

lim {[sin^2 x - (sin^4 x)/2 + (sin^6 x)/3 + o(sin^6 x) - x^2] / [ tg^4 x + o(tg^6 x)]}
x->0

da cui sviluppando poi

sin^2 x = x^2 - (x^4)/3 + (x^6)/96 + o(x^6)
sin^4 x = x^4 - 2(x^6)/3 + o(x^6)
sin^6 x = x^6 + o(x^6)
tg^4 x = x^4 + 4(x^6)/3 + o(x^6)
tg^6 x = x^6 + o(x^6)

sostituendo sopra arrivo a

lim [-5(x^4)/6 + 81(x^6)/96 + o(x^6)] / [x^4 + 4(x^6)/3 + o(x^6)] =
x->0

lim [-5(x^4)/6 + o(x^4)] / [x^4 + o(x^4)] =
x->0

-5/6

..spero di non aver fatto errori!

Nooo..stavo scrivendo e non mi sono accorto che avevano già risposto!!