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Limiti 4:RAZIONALIZZAZIONI;ORDINI DI INFINITO
RISOLVERE lim n->+oo
sqrt(n+1)-sqrt3(n-1)
-----------------------
sqrt(4n+1)-sqrt3(4n-1) ....razionalizzare, ma come?

{sqrt(4^n +n)-sqrt(4^n +3)}^(1\n)

limiti 5:ORDINI DI INFINITO, SOTTOSUCCESSIONI
RISOLVERE lim n->+oo
2^(cos (pi n))
(n-n^2)^n
(n^2-cos(n+1))^(n+2)
(3+cos((pi\6)n)^n


limiti 6:LIMITI NOTEVOLI
lim->0+
xsqrt(x)+cos x-1
--------------------
sinx^5+(sinx)^5+sqrt(arctan(2x^3))

limiti 7:LIMITI NOTEVOLI,CAMBIO DI VARIABILI

lim x->-oo
sqrt(x^2 +x +3)+x

lim->+oo
sin(logx)
----------
logx

lim->0+
sin(logx)
----------
logx

lim->1
sin(logx)
----------
logx

lim x->pi\2
(2x-pi) tan x

lim x->0+
sqrt3(x^2+logx)
-------------------
x^2arctan(logx)

limx->e-
(log x )^1\(log(logx))^2

limx->0+
sin(logx +3)
----------------
x+3

limx->+oo
sin(logx +3)
---------------
log(sinx +3)

boia sono tanti

allora il primo devi razionalizzare moltiplicando prima per il numeratore e poi per il denominatore (spero di essermi spiegato perchè è lungo sennò da scrive) cioè serve una doppia razionalizzazione.
il secondo è una semplice razionalizzazione dentro 1/n; occhio poi a questo esponente.

limiti 5: il primo limite non esiste perchè se sostituisci qualche valore di n puoi vedere che sui dispari fa -1 e sui pari +1. Quello sotto all'incirca è il solito motivo. Il terzo lo fai per confronto. Il quarto ricordati che il coseno sta tra -1 ed 1; così anche nel quinto, e capirai la differenza dei due esercizi.

limiti 7:
il primo razionalizzi;
il secondo cambio di variabile y=logx e carabinieri;
il terzo idem ma occhio a cosa tende y al momento del cambio;
il quarto ancora uguale e sempre occhio a y;
il quinto basta sostituire
il sesto fai e-alla;
il settimo e l'ottavo basta sostituire per vedere.

spero di averti aiutato

Proviamo!

[tex]*\displaystyle \lim_{n \to+ \infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt{4n+1}-\sqrt[3]{n+1}}[/tex]


[tex]\displaystyle \lim_{n \to+ \infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt{4n+1}-\sqrt[3]{n+1}}\sim \lim_{n \to+ \infty} \frac{\sqrt{n}-\sqrt[3]{n}}{\sqrt{4n}-\sqrt[3]{n}}[/tex][tex]=\displaystyle \lim_{n \to+ \infty} \frac{\sqrt{n}\left(1-\frac {\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n}}\right) }{\sqrt{4n}\left(1-\frac {\sqrt[3]{n}}{\sqrt{4n}}\right) }[/tex] [tex]=\displaystyle \lim_{n \to+ \infty} \frac{ \left(1-\frac {1}{\sqrt[6]{n} }\right) }{2 \left(1-\frac {1}{2\sqrt[6]{n}}\right) }=\frac{1}{2}[/tex]


[tex]*\displaystyle \lim_{n \to+ \infty} 2^{\cos{\pi n}}[/tex]


[tex]\displaystyle \lim_{n \to+ \infty} 2^{\cos{\pi n}}= \lim_{n \to+ \infty} 2^{(-1)^n} =\begin{cases} 2, & \mbox{se }n\mbox{ pari} \\ \frac{1}{2}, & \mbox{se }n\mbox{ dispari}
\end{cases}\Rightarrow \not \exists[/tex]


[tex]*\displaystyle \lim_{n \to+ \infty} (n-n^2)^n[/tex]


[tex]\displaystyle \lim_{n \to+ \infty} (n-n^2)^n=e^{n\ln(n-n^2)}= \not \exists, \forall n\in \mathbb{R}[/tex]

infatti il logaritmo di un numero negtivo non esite in [tex]\mathbb{R}[/tex]


[tex]*\displaystyle \lim_{n \to+ \infty} \left[n^2-\cos(n+1)\right]^{n+2}[/tex]


[tex]\displaystyle \lim_{n \to+ \infty} \left[n^2-\cos(n+1)\right]^{n+2}=\lim_{n \to+ \infty} (n^2)^{n+2}\left(1-\frac{\cos(n+1)}{n^2}\right)^{n+2}[/tex][tex]=\displaystyle \lim_{n \to+ \infty}n^4\cdot n^{2n}=+\infty[/tex]

essendo

[tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \left(1-\frac{\cos(n+1)}{n^2}\right)^{n }\cdot \left(1-\frac{\cos(n+1)}{n^2}\right)^{2 }[/tex][tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \left(1-\frac{\cos(n+1)}{n^2}\right)^{n }\cdot \left(1-\frac{\cos(n+1)}{n^2}\right)^{2 }[/tex]


[tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln\left(1-\frac{\cos(n+1)}{n^2}\right)} \cdot 1\sim \lim_{n \to+ \infty} e^{n \left(1-\frac{\cos(n+1)}{n^2}-1\right)}[/tex][tex]\sim \displaystyle \lim_{n \to+ \infty} e^{ -\frac{\cos(n+1)}{n }}=e^0=1[/tex]


[tex]*\displaystyle \lim_{x \to0^+} \frac{x\sqrt{x}+\cos x-1}{\sin x^5+\sin^5x+\sqrt{\artan2x^3}}[/tex]

[tex]\displaystyle \lim_{x \to0^+} \frac{x\sqrt{x}+\cos x-1}{\sin x^5+\sin^5x+\sqrt{\artan2x^3}}\sim \lim_{x \to0^+} \frac{x^{\frac{3}{2}}-(1-\cos x)}{ x^5+ x^5+\sqrt{ 2x^3}}[/tex] [tex]\displaystyle\sim \lim_{x \to0^+} \frac{x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}x^2}{ 2x^5 +\sqrt{ 2 }x^{\frac{3}{2}}}\sim \lim_{x \to0^+} \frac{x^{\frac{3}{2}} }{ \sqrt{ 2 }x^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt 2}[/tex]


[tex]*\displaystyle \lim_{x \to+\infty} \frac{\sin\ln x}{\ln x}[/tex]


[tex]\displaystyle \lim_{x \to+\infty} \frac{\sin\ln x}{\ln x}=\lim_{t \to+\infty} \frac{\sin t}{t}=0[/tex]


[tex]*\displaystyle \lim_{x \to0} \frac{\sin\ln x}{\ln x}[/tex]


[tex]\displaystyle \lim_{x \to0} \frac{\sin\ln x}{\ln x}=\lim_{t \to-\infty} \frac{\sin t}{t}=0[/tex]


[tex]*\displaystyle \lim_{x \to1} \frac{\sin\ln x}{\ln x}[/tex]


[tex]\displaystyle \lim_{x \to1} \frac{\sin\ln x}{\ln x}=\lim_{t \to0} \frac{\sin t}{t}=1[/tex]