Forum Studenti

Ciao a tutti,
sto studiando in autonomia per passione le lezioni di analisi 1 del prof Gobbino. Sto seguendo le ultime video lezioni (2017) con interesse. Scrivo qui perché sono ancora confuso sul *pericolosissimo* approccio ai limiti con svolgimento 'a metà'. Già qualche lezione fa non mi era chiarissimo; ora che è ritornato con De L'Hopital ho deciso di venirne a capo.
Ad esempio, prendiamo il pdf della Lezione 27 pag 2 (AM1_17_L027.pdf). Il prof dice che "non si può lasciare la 'x' per poi affrontarla in un secondo momento". Non mi è chiarissimo cosa cambia rispetto all'approccio corretto dei limiti notevoli in cui riconosco un limite notevole e lo affronto uno alla volta, "dando ad ognuno ciò che vuole".
Per caso... il problema è che ho "[LIM.NOTEVOLE] * qualcosa"? Oppure il problema è avere "[LIM.NOTEVOLE] * 0"?
Per quanto riguarda la somma mi sento sicuro... se ogni addendo è un limite notevole sono autorizzato a sostituire... in più direi che per linearità anche nel caso di limite notevole per costante è lecito. Nel caso del prodotto? Se i due fattori sono limiti notevoli sono autorizzato a sostituirli? È forse il problema di avere qualcosa per zero o infinito?
Oppure, nel caso di funzioni composte tipo e^[lim.notevole] o sin([lim.notevole])?
Morale: qual è la regola per capire se sto facendo un limite 'metà per volta'?
C'è qualche linea guida (qualche link a siti/libri va bene lo stesso) per non lasciarsi ingannare?
Grazie in anticipo

Sì in generale lo svolgimento dei limiti metà per volta è da evitare perché può condurre a valutazioni errate, quindi quando possibile è meglio non farlo (questa è l'unica regola generale certa).

Ovviamente esistono delle eccezioni e anche se non ho mai trovato una regola generale per queste, direi che in alcuni casi banali la sostituzione è possibile, ad esempio

- la sostituzione è certamente possibile, ad esempio, quando si ha a che fare con espressioni del tipo e , allora si può calcolare il limite di .

- anche per espressioni del tipo e , allora si può calcolare il limite di .

Più in generale quando ricorrono condizioni analoghe a quelle richieste per l'applicazione dei teoremi algebrici, direi che è possibile calcolare delle porzioni di limite metà per volta ma in altri casi è meglio evitare.

Con riferimento all'esempio della lezione 27 AM1_17, se avessimo una espressione del tipo allora saremmo autorizzati ad osservare che e calcolare direttamente il solo limite di mostro(x). Nell'esempio invece la sostituzione non è lecita perché è vero che ma non la quantità è esattamente zero e i termini di ordine giocano un ruolo determinante.

Ok, grazie per la risposta. Intanto mi appiglierò ai due esempi (somma e rapporto con denominatore 'safe') e sul resto proverò ad andare a "sensibilità". Rimane però strano il fatto che non ci siano paletti sicuri nel procedere, e che sia per lo più un approccio euristico.
Grazie