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Buongiorno,
ho un problema con questo esercizio. In particolare sono riuscito a trovare il parametro a=1 ottenendo così f(x)=(-x^2)/2.
La mia difficoltà sta nel capire perchè la mia professoressa durante la correzione sin dal primo passaggio abbia diviso tutto per x^2; in tal modo il risultato per a=1 sarebbe f(x)=-1/2, che non è nemmeno un polinomio. Ovviamente le ho chiesto spiegazioni, ma la risposta non è stata d'aiuto. Grazie in anticipo.

Utilizzando la definizione quasi equivalente di equivalenza asintotica imporre che abbia ordine di infinitesimo per vuol dire che esiste un reale diverso da tale che $$\lim_{x\to 0} {f(x) \over cx^2} =1 \iff \lim_{x\to 0} {f(x) \over x^2} =c$$
Ora facendo qualche passaggio ottieni:
$$\lim_{x\to 0} {x \cos{x} - \log(1+ax) \over x^2} =\lim_{x\to 0} {x (1+o(x))-ax+a^2 \cdot {x^2 \over 2}+o(x^2) \over x^2}=\lim_{x\to 0} {(1-a)x+x^2 \cdot {a^2 \over 2}+o(x^2)\over x^2}$$
Perchè questo sia reale come avevi trovato deve essere e questo conclude le richieste dell'esercizio. Il tuo procedimento ti ha portato ad affermare che è equivalente a .

Capisco, grazie mille per la risposta