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Salve a tutti, ho un dubbio riguradante i polinomi di Taylor. Spero qualcuno mi possa aiutare.
Se voglio sviluppare (per esempio fino a o piccolo di x^2 e con centro in 0) sin(x^(3/2)) partendo dal classico sviluppino di sin(x) e sostituendo x^(3/2) ottengo come unico termine dello sviluppo proprio un x^(3/2) (più il coefficiente), se invece calcolo la formula di Taylor tramite le derivate è impossibile ottenere termini della x con potenze non intere. Ora la mia domanda è: come è possibile ottenere due sviluppi diversi? Non dovrebbe essere unico lo sviluppo di sin(x^(3/2))? (La dimostrazione che non possono esistere due polinomi di Taylor diversi non vale anche nel caso in cui le potenze di uno dei due non sono intere?)
Grazie mille in anticipo.

non saprei darti una risposta generale, osservo che con il calcolo diretto mi pare si arrivi solo al termine 0 + o(x) e questo non è in contrasto con lo sviluppo ottenuto per sostituzione

Grazie della risposta, ma il contrasto mi sembra ci sia. Se io sostituisco x^(3/2) nello sviluppino posso scrivere:

sin(x^(3/2))=x^(3/2)+o(x^2)

se invece calcolo le derivate ottengo:

sin(x^(3/2))=roba con potenze intere+o(x^2)

Oppure:

sin(x^(3/2))=x^(3/2)+o(x^(3/2))

sin(x^(3/2))=roba con potenze intere+o(x^(3/2))

per sostituzione dovresti ottenere



per calcolo diretto mi pare che si arrivi alla derivata prima (che vale 0 in x=0) e quindi al termine o(x) ma con la derivata seconda si hanno dei problemi (non è definita in 0)

Si, giusto. Forse la spiegazione è che con il calcolo diretto delle derivate non si può calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2. Grazie mille.

Confermo tutto. La formula con le derivate in questo caso di può applicare solo con n=1, perché le derivate dalla seconda in poi non esistono in x=0. Quindi l'unica informazione che riusciamo ottenere dalla formula con le derivate è



che in effetti ha solo potenze intere, ma non è molto interessante.

Con la composizione degli sviluppi otteniamo invece informazioni migliori, del tipo



ma anche



Questi sono sviluppi corretti ed interessanti, ma non "sviluppi di Taylor" nel senso ortodosso del termine, cioè prodotti dalla formula con le derivate. Questi infatti, come abbiamo detto sopra, si fermano al primo ordine.