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Scusate volevo sapere se dire che studiare il seguente limite [tex]\lim_{x\to 0}\log (1+x)/x^{a}[/tex], con [tex]a[/tex] parametro variabile in [tex]\mathbb{R}[/tex], equivale a [tex]\lim_{x->0}x/x^{a}[/tex];

Direi di si, in quanto:

[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x^a} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x^a} \cdot \frac{x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{x^a}[/tex]

Ora:

[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1,[/tex]

il quale è un valore finito diverso da [tex]0[/tex], e dunque si può procedere alla sostituzione del limite nell'espressione. Da qui ottieni quanto voluto:

[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{x^a} = \lim_{x \rightarrow 0} 1 \cdot \frac{x}{x^a} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^a}[/tex]

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho aggiunto i \displaystyle nei limiti (l'occhio vuole la sua parte).