limite
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- Località:Trieste-Trapani [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Non riesco a calcolare in modo corretto il seguente limite per [tex]x->0[/tex], di [tex]1/x^2-(1/(sinx)^2)[/tex].
Resto in attesa di una risposta.
Grazie!
Resto in attesa di una risposta.
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- Iscritto il:martedì 7 agosto 2012, 19:14 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
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- Località:Trieste-Trapani [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Re: limite
Mi interesserebbe conoscere una soluzione di tale limite, se possibile, senza l'uso dello sviluppo in serie di taylor.
- Massimo Gobbino
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Re: limite
Dal momento che il limite coinvolge termini successivi dello sviluppo del seno, non si può fare con i soli limiti notevoli. Servono per forza strumenti di ordine superiore, come Taylor o De L'Hopital.
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- Località:Trieste-Trapani [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Re: limite
Grazie per la risposta!!
Quindi se ad esempio ho il seguente limite per [tex]x[/tex] tendente ad infinito,di [tex](1-sin(1/n))^n[/tex], che da origine alla forma indeterminata [tex]1[/tex] elevato infinito, posso risolverlo usando il fatto che all'infinito [tex]sin(1/n)[/tex]
si approssima ad [tex]1/n[/tex], quindi posso scrivere [tex]lim (1-sin(1/n)^n[/tex][tex]=lim (1-1/n)^n[/tex][tex]=lim(1+(1/-n))^n[/tex][tex]=lim((1+1/-n)^-^n)^-^1)[/tex][tex]=e^-^1)=1/e[/tex].
Mentre se ho il limite sempre per [tex]n[/tex] tendente ad infinito, di [tex](2-cos1/n)[/tex] il tutto elevato ad [tex]n^2[/tex], allora sono costretto a ricorrere allo sviluppo in serie di taylor, ottenendo così come risultato finale la radice quadrata di [tex]1/e[/tex], scusate se non sono riuscito a scrivere tutti i passaggi in latex, ma conosco ancora poco il linguaggio.
Quindi se ad esempio ho il seguente limite per [tex]x[/tex] tendente ad infinito,di [tex](1-sin(1/n))^n[/tex], che da origine alla forma indeterminata [tex]1[/tex] elevato infinito, posso risolverlo usando il fatto che all'infinito [tex]sin(1/n)[/tex]
si approssima ad [tex]1/n[/tex], quindi posso scrivere [tex]lim (1-sin(1/n)^n[/tex][tex]=lim (1-1/n)^n[/tex][tex]=lim(1+(1/-n))^n[/tex][tex]=lim((1+1/-n)^-^n)^-^1)[/tex][tex]=e^-^1)=1/e[/tex].
Mentre se ho il limite sempre per [tex]n[/tex] tendente ad infinito, di [tex](2-cos1/n)[/tex] il tutto elevato ad [tex]n^2[/tex], allora sono costretto a ricorrere allo sviluppo in serie di taylor, ottenendo così come risultato finale la radice quadrata di [tex]1/e[/tex], scusate se non sono riuscito a scrivere tutti i passaggi in latex, ma conosco ancora poco il linguaggio.
- Massimo Gobbino
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Re: limite
No, questo
[tex]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(2-\cos\frac{1}{n}\right)^{n^2}[/tex]
si può fare con i soli limiti notevoli. Basta scriverlo come esponenziale e poi fare il limite dell'esponente sfruttando il limite notevole con il logaritmo. Conviene anche il cambio di variabili [tex]x=\displaystyle\frac{1}{n}[/tex].
[tex]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(2-\cos\frac{1}{n}\right)^{n^2}[/tex]
si può fare con i soli limiti notevoli. Basta scriverlo come esponenziale e poi fare il limite dell'esponente sfruttando il limite notevole con il logaritmo. Conviene anche il cambio di variabili [tex]x=\displaystyle\frac{1}{n}[/tex].
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- Località:Trieste-Trapani [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Re: limite
Può darmi ,se possibile ,una traccia in pìù , perchè non riesco a risolverlo senza l'uso di taylor.
- Massimo Gobbino
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Re: limite
Dopo il cambio di variabili diventa
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}(2-\cos x)^{1/x^2}[/tex]
A questo punto uno lo scrive come esponenziale e si riduce a fare il limite dell'esponente
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(2-\cos x)}{x^2}}[/tex]
Ora
[tex]\dfrac{\log(2-\cos x)}{x^2}}=\dfrac{\log(1+(1-\cos x))}{1-\cos x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2}[/tex]
e siamo ridotti a limiti notevoli (per il primo fattore serve il cambio di variabili [tex]y=1-\cos x[/tex] e osservare che, quando [tex]x\to 0[/tex], si ha che anche [tex]y\to 0[/tex] ).
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}(2-\cos x)^{1/x^2}[/tex]
A questo punto uno lo scrive come esponenziale e si riduce a fare il limite dell'esponente
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(2-\cos x)}{x^2}}[/tex]
Ora
[tex]\dfrac{\log(2-\cos x)}{x^2}}=\dfrac{\log(1+(1-\cos x))}{1-\cos x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2}[/tex]
e siamo ridotti a limiti notevoli (per il primo fattore serve il cambio di variabili [tex]y=1-\cos x[/tex] e osservare che, quando [tex]x\to 0[/tex], si ha che anche [tex]y\to 0[/tex] ).
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Re: limite
Potrebbe andar bene anche così?
[tex]lim(2-cosx)^\left(1/x^2)[/tex][tex]=(1+(1-cosx))^\left(1/x^2)[/tex][tex]=(1+(1-cosx))^\left(1/(1-cosx))\left((1-cosx)/x^2)[/tex], ed essendo che sempre per [tex]x->0[/tex] si ha [tex]lim(1+(1-cosx))^\left(1/(1-cosx))[/tex][tex]=e[/tex] ed [tex]lim(1-cosx)/x^2=1/2[/tex] in definitiva avremo che il nostro limite di partenza sarà uguale ad [tex]e^\left(1/2)[/tex]
[tex]lim(2-cosx)^\left(1/x^2)[/tex][tex]=(1+(1-cosx))^\left(1/x^2)[/tex][tex]=(1+(1-cosx))^\left(1/(1-cosx))\left((1-cosx)/x^2)[/tex], ed essendo che sempre per [tex]x->0[/tex] si ha [tex]lim(1+(1-cosx))^\left(1/(1-cosx))[/tex][tex]=e[/tex] ed [tex]lim(1-cosx)/x^2=1/2[/tex] in definitiva avremo che il nostro limite di partenza sarà uguale ad [tex]e^\left(1/2)[/tex]
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Re: limite
E' sostanzialmente la stessa cosa. Formalmente, il passaggio "e-alla" in cui si porta tutto all'esponente è quello che serve per giustificare il modo di operare su espressioni con basi ed esponenti variabili.
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Re: limite
Grazie per la risposta!
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