Sia V un K-sp vettoriale
f: V ->V e` un endomorfismo semplice se esiste una base C di V t.c. la matrice D associata a f rispetto alle basi C (in partenza e in arrivo) sia diagonale. A = P D P(^-1)
P e` la matrice di passaggio che ha come colonne le basi degli autospazi
Per verificare se f e` semplice, scrivo la matrice A associata a f rispetto alle basi canoniche (in partenza e in arrivo per semplificarmi la vita) e mi calcolo il polinomio caratteristico: |A-tI|=0
Le radici del p.c. sono gli autovalori, i quali avranno delle rispettive molteplicita`. Se tutti gli autovalori appartengono al K-sp vettoriale e se tutte le molteplicita` son uguali a 1, allora f e` semplice.
Nel caso peggiore in cui per un dato autovalore la molteplicita` e` > 1, devo controllare che l'autospazio associato a quell'autovalore abbia dimensione uguale alla molteplicita`. Se non fosse verificata quest'ultima condizione f non e` lineare.
Spero di non aver detto boiate
rispondendo alla prima invece:
f e` lineare se e solo se:
1. f(v+v') = f(v)+f(v')
2. f(tv) = t f(v) , per ogni t appartenente al K-sp
quindi:
f(1,0,0) = (1,0,0)
f(2,0,0) = (4,0,0)
f(1,0,0) + f(2,0,0) = (5,0,0)
f( (1,0,0)+(2,0,0) ) = f(3,0,0) = (9,0,0)
essendo f(v+v') != f(v)+f(v') non soddisfo la prima condizione delle applicazioni lineari