Tutte le funzioni sono suriettive (?)
Inviato: lunedì 13 giugno 2016, 17:21
Ciao, ho un dubbio che mi frulla per la testa da un po', ovvero: tutte le funzioni sono suriettive?
Mi spiego meglio. Siano dati due insiemi A e B non vuoti. Sia f: A->B (non conosco il math language, anzi se potete consigliarmi qualche link dove poterlo imparare) una funzione. Cioè:
(i) f è contenuto in AxB;
(ii) per ogni a in A esiste un solo b in B tale che (a, b) appartiene ad AxB.
Quindi la funzione non è altro che un insieme (un insieme di coppie (a,b) appartenenti ad AxB). Chiamiamo questo insieme F1.
Ora consideriamo f: A->C. Con C contenuto in B, ed inoltre C=B-{i valori di B che non hanno una controimmagine} cioè C=f(A) è l'immagine di A. Chiamiamo questo insieme (questa funzione) F2.
Ora F1=F2 ovviamente, cioè sono la stessa funzione, sia che la considero come f:A->B sia che la considero come f:A->C con C=f(A). Visto che F2 è suriettiva, anche F1 è suriettiva. Quindi f è suriettiva (?)
Non è una dimostrazione è solo un "ragionamento" che non riesco bene a comprendere se sia sensato o meno.
Vorrei dei chiarimenti a riguardo.
P.S. Anche perché esiste un teorema che si chiama Teorema di invertibilità per le funzioni strettamente monotòne che ho trovato nel testo Analisi Matematica 1 (Bramanti, Pagani, Salsa) che dice che se una funzione è strettamente monotòna allora è invertibile. Ma la stretta monotonìa implica solo l'iniettività e non la suriettività, quindi come fa ad essere invertibile se in generale non è biettiva? Qualcuno che possa farmi il quadro della situazione e schiarirmi le idee...
Mi spiego meglio. Siano dati due insiemi A e B non vuoti. Sia f: A->B (non conosco il math language, anzi se potete consigliarmi qualche link dove poterlo imparare) una funzione. Cioè:
(i) f è contenuto in AxB;
(ii) per ogni a in A esiste un solo b in B tale che (a, b) appartiene ad AxB.
Quindi la funzione non è altro che un insieme (un insieme di coppie (a,b) appartenenti ad AxB). Chiamiamo questo insieme F1.
Ora consideriamo f: A->C. Con C contenuto in B, ed inoltre C=B-{i valori di B che non hanno una controimmagine} cioè C=f(A) è l'immagine di A. Chiamiamo questo insieme (questa funzione) F2.
Ora F1=F2 ovviamente, cioè sono la stessa funzione, sia che la considero come f:A->B sia che la considero come f:A->C con C=f(A). Visto che F2 è suriettiva, anche F1 è suriettiva. Quindi f è suriettiva (?)
Non è una dimostrazione è solo un "ragionamento" che non riesco bene a comprendere se sia sensato o meno.
Vorrei dei chiarimenti a riguardo.
P.S. Anche perché esiste un teorema che si chiama Teorema di invertibilità per le funzioni strettamente monotòne che ho trovato nel testo Analisi Matematica 1 (Bramanti, Pagani, Salsa) che dice che se una funzione è strettamente monotòna allora è invertibile. Ma la stretta monotonìa implica solo l'iniettività e non la suriettività, quindi come fa ad essere invertibile se in generale non è biettiva? Qualcuno che possa farmi il quadro della situazione e schiarirmi le idee...