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ESERCIZIO
Consideriamo la successione definita per ricorrenza
a_0 = 2008, a_(n+1) = arctan a_n .
Studiare la serie SUM (a_n)^alpha, al variare del parametro reale alpha.
SOLUZIONE
La serie converge per alpha > 2, diverge altrimenti.
a_n tende a zero (perchè?).
Se dimostriamo che (a_n)^2 / 1/n -> l (l diverso da zero), allora SUM (a_n)^(2alpha) ha lo stesso carattere di SUM 1/n^alpha. Ma l'ultima serie converge per alpha > 1, quindi SUM (a_n)^beta, con beta = 2alpha, convergerà per beta > 2.
Dimostriamo allora che (a_n)^2 / 1/n -> l (l diverso da zero).
(a_n)^2 / 1/n = n (a_n)^2 = n / 1/(a_n)^2,
Per calcolare il limite dell'ultima successione ci possiamo avvalere del seguente risultato: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... es%C3%A0ro
[(n+1)-n]/[ 1/(a_(n+1))^2-1/(a_n)^2] =1/ [ 1/(a_(n+1))^2-1/(a_n)^2]=1/[ 1/(arctan a_n)^2-1/(a_n)^2].
Il limite del denominatore dell'ultima espressione scritta è uguale al limite per x -> 0 della funzione
f(x) = 1/(arctan x)^2-1/x^2 (perchè?), il cui valore (diverso da zero) viene lasciato per esercizio.

Ottima soluzione, Ghedda, anche se usa un "cannone".

Aggiungo solo che il teorema che usi è una versione per le successioni del teorema di De l'Hopital.

Secondo me quel Teorema non è proprio da considerarsi un "cannone".
E' sicuramente un risultato che permette di risolvere "agevolmente" l'esercizio, quello sì.