Serie: esercizio teorico

[Noisemaker]

Gentile Professore, le posto un altro problema teorico (( ho passato il week end tra le questionei teoriche!)

Sia [tex]b_n[/tex] una successione tale che

[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2}.[/tex]

Posto [tex]a_n=b_{2n},[/tex] provare che le due serie

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, a_n[/tex] e [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, (-1)^n a_n[/tex]

convergono.

io ho ragionato cosi:

Non avendo specificazioni sui termini della successione [tex]b_n,[/tex] dobbiamo supporre possa assumere qualsiasi valore, e dunque non necessariamente mantenere segno costante (positivo o negativo); tuttavia, essendo

[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2} \quad \to\quad \lim_{n \to \infty} b_n=0[/tex]

per la permanenza del segno, da un certo indice in poi, la successione [tex]b_n[/tex] sarà certamente positiva (decrecente e convergente a zero, per il criterio del rapporto per le successioni a termini positivi); allora la serie

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, b_n[/tex] converge per il criterio del rapporto, poichè [tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2}<l<1[/tex]

Per definizione, [tex]a_n=b_{2n},[/tex] è una sottosuccessione di [tex]b_n[/tex] (precisamente quella di termini pari): allora come noto, ogni sottosuccessione estratta da una sucessione convergente, risulterà convergente allo stesso limite; quindi avremo:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=b_{2n} =0\quad \Rightarrow\quad \lim_{n \to \infty}\frac{b_{2(n+1)}}{b_{2n}} =\lim_{n \to \infty}\frac{a_{ n+1 }}{a_ n }=\frac{1}{2}<l<1[/tex]

Allora per il criterio del rapporto, anche la serie [tex]\sum_{n=1}^\infty\,\, a_n[/tex] risulterà convergente; essendo infine [tex]\sum_{n=1}^\infty\,\, |a_n|=\sum_{n=1}^\infty\,\, a_n[/tex] convergente, allora anche la serie [tex]\sum_{n=1}^\infty\,\, (-1)^n a_n[/tex] risulterà assolutamente convergente, e dunque convergente.

[Massimo Gobbino]

Ci sono tante cose che non mi sono chiare. La prima è come hai usato la permanenza del segno per dedurre che [tex]b_n[/tex] è definitivamente positiva (cosa che, tra l'altro, è falsa ...).

[Noisemaker]

riproviamo ...


Non avendo specificazioni sui termini della successione [tex]b_n,[/tex] dobbiamo supporre possa assumere qualsiasi valore, e dunque non necessariamente mantenere segno costante (positivo o negativo);allora distinguiamo

se [tex]b_n,[/tex] è definitivamente positiva o negativa allora la serie

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, b_n[/tex] converge per il criterio del rapporto, poichè [tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2}<l<1[/tex]

Per definizione, [tex]a_n=b_{2n},[/tex] è una sottosuccessione di [tex]b_n[/tex] (precisamente quella di termini pari): allora come noto, ogni sottosuccessione estratta da una sucessione convergente, risulterà convergente allo stesso limite; quindi avremo:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=b_{2n} =0\quad \Rightarrow\quad \lim_{n \to \infty}\frac{b_{2(n+1)}}{b_{2n}} =\lim_{n \to \infty}\frac{a_{ n+1 }}{a_ n }=\frac{1}{2}<l<1[/tex]

Allora per il criterio del rapporto, anche la serie [tex]\sum_{n=1}^\infty\,\, a_n[/tex] risulterà convergente; essendo infine [tex]\sum_{n=1}^\infty\,\, |a_n|=\sum_{n=1}^\infty\,\, a_n[/tex] convergente, allora anche la serie [tex]\sum_{n=1}^\infty\,\, (-1)^n a_n[/tex] risulterà assolutamente convergente, e dunque convergente.

se [tex]b_n,[/tex] non è di segno costante, allora dobbiamo considerare la convergenza assoluta, cioè

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, |b_n|[/tex] converge per il criterio del rapporto, poichè [tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2}<l<1[/tex]


Allora, anche in questo caso, per il criterio del rapporto, la serie [tex]\sum_{n=1}^\infty\,\, a_n[/tex] risulterà convergente; essendo poi [tex]\sum_{n=1}^\infty\,\, |a_n|=\sum_{n=1}^\infty\,\, a_n[/tex] convergente, allora anche la serie [tex]\sum_{n=1}^\infty\,\, (-1)^n a_n[/tex] risulterà assolutamente convergente, e dunque convergente.