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Mi chiedevo, le funzioni che siano polinomi o serie si potenze, non andrebbe dimostrato che sono analitiche?
Se si, come si procede per dimostrarlo?

Professore, grazie molte per la risposta!!
Per quanto riguarda il polinomio avevo seguito il procedimento che lei ha suggerito
e riscritto il polinomioP (x) in P (x)=P(x-x_0+x_0)=T (x-x_0), avendo raggruppato i termini in +x_0;
Nel caso di una funzione che sia serie di potenze pero' non sono riuscito a trovare la video lezione di quest'anno,
, da profano sarei curioso di conoscere come si conduce la dimostrazione in questo caso, io avevo pensato similmente a quella del polinomio, ma suppongo sia errata, potrebbe cortesemente darmi qualche indicazione
per la dimostrazione?
Cordiali Saluti!

Ciao! Provo a risponderti io, poi vediamo se la dimostrazione è corretta.. Per il momento ho fatto solo la prima parte che comunque dovrebbe bastare per rispondere alla tua domanda, non appena avrò un po' di tempo farò anche la seconda parte

La dimostrazione è quella che ha fatto il professore a lezione, l'esercizio 8 della lezione 99, solo con qualche dettaglio in più..

L'idea, come indicato a lezione, è proprio quella di fare un'azione in due fasi. Data una serie di potenze (wlog centrata in 0) con raggio di convergenza R, e dato un qualunque punto , si tratta di mostrare due cose.

Primo, che la serie centrata in ha raggio di convergenza almeno . Questo è il conto fatto a lezione che dipende sostanzialmente dalla stima di crescita per la derivata k-esima nel punto in questione.

Secondo, che la somma di questa serie ricentrata è proprio la funzione di partenza, almeno in un intorno eventualmente più piccolo. Questo si fa, a patto di ridurre il raggio di un fattore 2 o 3, utilizzando il criterio di analiticità (che porta a fare gli stessi conti). Tutto questo completa il programma di verifica dell'analiticità delle somme di serie di potenze.

Per completezza, si può poi concludere osservando, ad esempio grazie alla "discretezza del luogo degli zeri della differenza", che la serie centrata in converge effettivamente alla funzione di partenza in tutto il raggio di .

Non so se all'autore del primo post serva ancora la dimostrazione, ma ora è abbastanza completa..