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Ciao a tutti!
Mi stavo cimentando con gli scritti d'esame di Analisi 1 - Ghisi/Spagnolo e mi sono trovato in difficoltà con il punto c) dell'esercizio 4 dell'appello del 4 Luglio 2008.
Ho allegato l'immagine dell'esercizio; non riesco a dimostrare che non esistono funzioni con questa proprietà né a trovarne eventualmente una con questa proprietà. Per dimostrare che non ci sono funzioni con la proprietà richiesta avevo pensato di fissare la differenza b-a, e di usare il teorema della media integrale e poi far tendere a a più infinito e trovare un assurdo, ma se la funzione non ha limite questo ragionamento non funziona. Volevo sapere se qualcuno l'aveva risolto o ha idea di come procedere o se esiste un esempio di funzione con la proprietà

Ma se non ci fosse il vincolo della continuità? Quali esempi producono funzioni integrali 1/2 Holder?

Ma la richiesta dell'esercizio non è più debole rispetto ad essere 1/2-Hölder? Se [tex]\omega\left(r\right)[/tex] è il modulo di continuità della funzione integrale, la richiesta non è equivalente a chiedere che [tex]\omega\left(r\right)\le H\sqrt{r} \quad 0\le r\le 1[/tex] ? Se non avessi il vincolo della continuità potrebbe andare bene [tex]f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{x}} & x > 0 \\ 0 & x=0\end[/tex]
ma volendola continua?

Beh, volendola continua e non limitata, l'unico modo è fare in modo che l'illimitatezza avvenga per x sempre più grandi (o molto negativi).

Una volta subodorato che il problema sono funzioni del tipo [tex]\dfrac{1}{\sqrt{x}}[/tex] io proverei con un grafico che sia una successione di triangolini con base [tex]\dfrac{1}{n^2}[/tex] e altezza [tex]n[/tex] posti ben distanti l'uno dall'altro in modo da non interferire. Già questo dovrebbe bastare, perché la primitiva sale dell'area (cioè di roba del tipo [tex]\dfrac{1}{n}[/tex]) in uno spazio proporzionale alla base (cioè di roba del tipo [tex]\dfrac{1}{n^2}[/tex]).

La condizione del testo è la locale holderianità, cioè holderianità in ogni intervallo di ampiezza 1.

[Post rieditato, in quanto era pieno da errori di cut&paste]

Non so se ho capito, si potrebbero prendere dei triangolini con base [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] e altezza [tex]n[/tex] e ponendo [tex]a_n=2n[/tex] dove [tex]a_n[/tex] è la successione dei punti che rappresentano il primo estremo delle basi dei triangolini si avrebbe che comunque preso un intervallo di ampiezza minore o uguale a 1 ci cadrebbe dentro al più un triangolino con area proporzionale a [tex]\frac{1}{n}[/tex] quindi proporzionale alla [tex]\sqrt{lunghezza\ base}[/tex]? Altrimenti non mi è chiaro il ragionamento

L'idea è proprio quella ... ho editato il mio post iniziale perché i parametri erano invertiti.

Ovviamente ora si tratta di verificare esplicitamente che ci sia l'holderianità richiesta, facendo stime opportune, che però dovrebbero ridursi a quella brutale (area vs base) a cui ho accennato.