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Buon pomeriggio a tutti! Svolgendo esercizi su Ricapitolazione-Funzioni inverse 1 e 2 sono nati alcuni dubbi riguardo due esercizi. Il primo è il numero 3 della scheda 121. Una volta risposto alle prime due domande, come si può studiare la convergenza dell'integrale al punto c)?
L'altro invece è il numero 5 della scheda 122 e le richieste un po più problematiche a mio avviso sono studiare i punti di non derivabilità, l'uniforme continuità, e l'holderianità della funzione inversa g(x). I problemi nascono dal fatto che le funzioni inverse non sono esprimibili per mezzo di funzioni elementari e dunque come ragionare?? Possono essere utili stime asintotiche??

Ciao! Per quanto riguarda le domande (c) ed (f) dell'esercizio 5 della scheda 122 prova a vedere se può essere di aiuto studiare i punti in cui per rispondere a (c) e pensa alla formula "brutale" della derivata della composta e vedi dove non può funzionare. Per (f) invece ci serve il punto (b) supponi infatti che sia periodica allora sai che è uniformemente continua, infatti se è il periodo di poiché è continua su tutto (in quanto è continua perché ...) in particolare lo sarà su quindi per Heine-Cantor è uniformemente continua su ma essendo periodica lo è ovunque. A questo punto vedi e usi il fatto che somma di funzioni UC è UC

Per l'Hölderianità uno per farsi un'idea può prendere intervallo e vedere che c'è un problema in infatti in la funzione non è derivabile. Per ogni vale per una opportuna costante positiva , pongo e considero , per monotonia di ottengo

da cui



tira molto aria di Hölder

PS: Dove si usa che l'insieme è limitato? Come esce la costante ?

Grazie mille! Tutto chiarissimo nella prima risposta.
Per l'holderianità la costante C potrebbe uscire dallo sviluppo della funzione?