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Ciao! A lezione il professore accennava ad almeno altre due possibili dimostrazioni di Heine-Cantor oltre a quella per assurdo. Stavo provando a dimostrare il teorema utilizzando il fatto fondamentale che le funzioni semi-continue inf definite in un compatto ammettono per Weierstrass minimo.

Sia [tex]f : \left[a, b\right] \longrightarrow \mathbb{R}[/tex] continua. Allora [tex]f[/tex] è uniformemente continua in [tex]\left[a, b\right][/tex].

Per ipotesi [tex]f[/tex] è continua in [tex]A=\left[a, b\right][/tex], ovvero:
[tex]\forall x \in A\ \forall \epsilon>0\ \exists \delta \equiv \delta_{x, \epsilon}>0\ \forall y \in \left[x-\delta, x+\delta \right][/tex] [tex]\cap A\quad |f \left( y \right) - f \left( x \right)| \le \epsilon[/tex]

Fisso epsilon e considero [tex]\delta_x=\sup\left\{\delta>0 : \forall y \in \left[x-\delta, x+\delta \right]\cap A\quad |f \left( y \right) - f \left( x \right)| \le \epsilon \right\}[/tex] osservo che non sto facendo sup di un insieme vuoto e inoltre il sup sta in R unito più infinito. Per ovviare al "problema" del possibile sup a più infinito definisco:

[tex]\delta\left(x\right)= \begin{cases}b-a & \delta_x=+\infty\\ \delta_x & \delta_x \in \mathbb{R}\end{cases}[/tex]

CLAIM: [tex]\delta\left(x\right)[/tex] è SCI

Sia [tex]x_0 \in A[/tex], fisso r>0 considero [tex]\inf\left\{\delta\left(y\right) : y \in \left[x_0-r, x_0+r \right]\cap A\setminus\left\{x_0\right\}\right\}[/tex] dovrei avere che non appena [tex]r<\delta\left(x_0\right)\quad \forall y \in \left[x_0-r, x_0+r \right]\cap A \quad \delta\left(y\right)\ge \delta\left(x_0\right)-r[/tex] da cui passando all'inf:

[tex]\inf\left\{\delta\left(y\right) : y \in \left[x_0-r, x_0+r \right]\cap A\right\} \ge \delta\left(x_0\right)-r[/tex] facendo il limite su r che va a 0 da destra:

[tex]\lim_{r \to 0^+}\inf\left\{\delta\left(y\right) : y \in \left[x_0-r, x_0+r \right]\cap A \right\}\ge \delta\left(x_0\right)[/tex] che modulo aver sbagliato dovrebbe essere equivalente al CLAIM.

Concludo usando Weierstrass SCI su [tex]\delta\left(x\right)[/tex] e trovo fissato epsilon il delta richiesto dalla definizione di uniforme continuità.

È una dimostrazione valida? O in alternativa dove fa acqua?

Mi sembra validissima. Forse, nella definizione di delta potresti fare il sup non su tutti i positivi, ma su tutti i positivi minori o uguali del diametro dell'insieme, sistemando così da subito la faccenda del + infinito. Tra l'altro, non serve essere su un intervallo, ma un compatto basta.

Ci sarebbe poi una terza dimostrazione di HC basata sul lemma del raggio magico. Fissato epsilon, per ogni punto x esiste un intornino di ampiezza opportuna in cui f dista da f del centro meno di epsilon/2, dunque la differenza tra i valori di f calcolati in due punti qualunque dell'intornino è sempre ... In questo modo ad ogni punto abbiamo associato un intornino aperto in cui bla bla bla e questi intornini costituiscono un ricoprimento aperto dell'insieme. Se l'insieme è compatto, il ricoprimento ha un raggio magico e se prendo due punti qualunque che distano meno del raggio magico ...