{"id":6,"date":"2015-06-10T18:03:06","date_gmt":"2015-06-10T16:03:06","guid":{"rendered":"http:\/\/pagine.dm.unipi.it\/galatoloanalisi2\/?p=6"},"modified":"2015-06-10T18:15:02","modified_gmt":"2015-06-10T16:15:02","slug":"programma-del-corso-di-algebra-lineare-ed-analisi-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pagine.dm.unipi.it\/galatoloanalisi2\/2015\/06\/10\/programma-del-corso-di-algebra-lineare-ed-analisi-2\/","title":{"rendered":"Programma del corso di Algebra Lineare ed Analisi 2"},"content":{"rendered":"<p><strong>Modulo di Algebra Lineare \u2013 A.A. 2015-2016<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Preliminari\/Prerequisiti<\/li>\n<\/ul>\n<p>Insiemi e funzioni, principio di\u00a0induzione, numeri complessi. Polinomi, geometria analitica, trigonometria.<\/p>\n<ul>\n<li>Spazi vettoriali ed applicazioni lineari<br \/>\n\u2013 Campi e spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali.<br \/>\n\u2013 Dipendenza e indipendenza lineare, generatori, basi e componenti di un vettore rispetto ad<br \/>\nuna base, dimensione di uno spazio e di un sottospazio vettoriale. Span di un insieme di<br \/>\nvettori.<br \/>\n\u2013 Somma ed intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di<br \/>\nsottospazi e componenti di un vettore rispetto ad una somma diretta.<br \/>\n\u2013 Applicazioni lineari. Matrice associata ad un\u2019applicazione lineare dopo aver scelto basi in<br \/>\npartenza ed arrivo.<br \/>\n\u2013 Operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto tra matrici. Trasposta ed<br \/>\ninversa di una matrice.<br \/>\n\u2013 Matrici di cambio di base. Similitudine tra matrici.<br \/>\n\u2013 Nucleo e immagine di un\u2019applicazione lineare. Teorema della dimensione. Legami tra<br \/>\niniettivit\u00e0, surgettivit\u00e0 e dimensioni degli spazi di partenza ed arrivo per applicazioni lineari.<br \/>\n\u2013 Determinante di una matrice: definizione, principali propriet\u00e0, esistenza, unicit\u00e0. Calco-<br \/>\nlo mediante l\u2019algoritmo di Gauss e gli sviluppi di Laplace. Determinante della trasposta,<br \/>\ndell\u2019inversa, del prodotto.<br \/>\n\u2013 Rango di una matrice. Calcolo del rango.<br \/>\n\u2013 Autovalori, autovettori, autospazi. Molteplicit\u00e0 algebrica e geometrica di un autovalore.<br \/>\n\u2013 Polinomio minimo, polinomio caratteristico. Relazioni tra coefficienti del polinomio<br \/>\ncaratteristico, traccia, determinante, autovalori.<br \/>\n\u2013 Cenni sulle forme canoniche. Applicazioni e matrici simmetriche.\u00a0Criteri di diagonalizzabilit\u00e0 sui reali e sui complessi.<\/li>\n<li>Prodotti scalari e forme quadratiche<br \/>\n\u2013 Prodotto scalare canonico in Rn. Norma e distanza.<br \/>\n\u2013 Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.<br \/>\n\u2013 Matrici ortogonali.<br \/>\n\u2013 Ortogonale di un sottospazio. Proiezioni ortogonali su sottospazi.<br \/>\n\u2013 Forme quadratiche e matrici ad esse associate. Definizione di segnatura.<br \/>\n\u2013 Metodi per determinare la segnatura di una forma quadratica.<br \/>\n\u2013 Prodotti scalari in generale e matrici ad essi associate. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.\u00a0Basi ortogonali ed ortonormali (e procedimento di ortogonalizzazione) rispetto ad un generico\u00a0prodotto scalare definito positivo (cenni).<br \/>\n\u2013 Applicazioni simmetriche rispetto ad un generico prodotto scalare e propriet\u00e0 delle matrici ad<br \/>\nesse associate. Teorema spettrale rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo.<\/li>\n<li>Geometria analitica<br \/>\n\u2013 Vettori geometrici nel piano, nello spazio, e pi`u in generale in Rn.<br \/>\n\u2013 Geometria analitica nel piano. Equazioni cartesiane e parametriche di rette. Angoli e<br \/>\ndistanze.<br \/>\n\u2013 Geometria analitica nello spazio. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani. Angoli<br \/>\ne distanze tra rette e piani.<br \/>\n\u2013 Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini di Rn.<br \/>\n\u2013 Affinit\u00e0 e isometrie in Rn.<\/li>\n<li>Sistemi lineari<br \/>\n\u2013 Scrittura di un sistema lineare in termini di matrici e vettori. Interpetazioni in termini di<br \/>\ncombinazioni lineari, Span, ed in termini di applicazioni lineari.<br \/>\n\u2013 Struttura generale dell\u2019insieme delle soluzioni di un sistema lineare, omogeneo e non<br \/>\nomogeneo.<br \/>\n\u2013 Matrici a scala e risoluzione di un sistema lineare mediante algoritmo di Gauss.<br \/>\n\u2013 Risolubilit\u00e0 di un sistema lineare e rango: teorema di Rouch\u00e9-Capelli.<br \/>\n\u2013 Metodo di Cramer per sistemi lineari.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Modulo di Analisi II \u2013 A.A. 2015-2016<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Preliminari\/Prerequisiti<br \/>\n\u2013 \u00a0Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).<br \/>\n\u2013 Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici,<br \/>\nforme quadratiche).<\/li>\n<li>Calcolo differenziale in pi\u00f9 variabili<br \/>\n\u2013 Lo spazio Rn. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.<br \/>\n\u2013 Funzioni di pi\u00f9 variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili:<br \/>\nlinee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.<br \/>\n\u2013 Limiti e continuit\u00e0 per funzioni di pi\u00f9 variabili.<br \/>\n\u2013 Derivate parziali e direzionali per una funzione di pi\u00f9 variabili e loro significato geometrico.<br \/>\n\u2013 Differenziale per funzioni di pi\u00f9 variabili e sua interpretazione geometrica in termini di<br \/>\n(iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del\u00a0differenziale totale.<br \/>\n\u2013 Derivate successive per funzioni di pi\u00f9 variabili. Teorema di inversione dell\u2019ordine di\u00a0derivazione. Formula di Taylor in due o pi\u00f9 variabili.<br \/>\n\u2013 Massimi e minimi locali e globali per funzioni di pi\u00f9 variabili.<br \/>\n\u2013 Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto\u00a0stazionario.<br \/>\n\u2013 Insiemi compatti in Rn. Teorema di Weierstass per funzioni di pi`u variabili. Generalizzazioni<br \/>\ndel teorema di Weiertrass nel caso di insiemi non limitati.<br \/>\n\u2013 Massimi e minimi vincolati.<br \/>\n\u2013 Calcolo differenziale per funzioni da Rn ad Rm. Matrice Jacobiana.<br \/>\n\u2013 Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico\/fisico.<br \/>\n\u2013 Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.<br \/>\n\u2013 Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.<br \/>\n\u2013 Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.<br \/>\n\u2013 Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.<br \/>\n\u2013 Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle<br \/>\ncoordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.<br \/>\n\u2013 Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.<br \/>\n\u2013 Integrali impropri in pi\u00f9 variabili: definizioni e studio della convergenza.<\/li>\n<li>Curve, superfici, calcolo vettoriale<br \/>\n\u2013 Curve: definizione. Curve chiuse e semplici. Vettore, versore e retta tangente.<br \/>\n\u2013 Lunghezza di una curva: definizione e calcolo.<br \/>\n\u2013 Integrali curvilinei (integrale di una funzione lungo una curva).<br \/>\n\u2013 Forme differenziali.<br \/>\n\u2013 Integrale di una forma differenziale lungo un curva. Forme differenziali esatte e potenziali.<br \/>\n\u2013 Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse.\u00a0Relazioni tra forme differenziali chiuse ed esatte.<br \/>\n\u2013 Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.<br \/>\n\u2013 Area di una superficie: definizione e calcolo.<br \/>\n\u2013 Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).<br \/>\n\u2013 Operatori differenziali: divergenza, rotore, \u00a0gradiente. Relazioni tra gli operatori<br \/>\ndifferenziali.<br \/>\n\u2013 Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.<br \/>\n\u2013 Formula di Gauss-Green: enunciati ed applicazioni.<br \/>\n\u2013 Formula di Stokes: enunciati ed applicazioni.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Modulo di Algebra Lineare \u2013 A.A. 2015-2016<\/p>\n<p> Preliminari\/Prerequisiti <\/p>\n<p>Insiemi e funzioni, principio di induzione, numeri complessi. Polinomi, geometria analitica, trigonometria.<\/p>\n<p> Spazi vettoriali ed applicazioni lineari \u2013 Campi e spazi vettoriali. 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