Programma del corso di Algebra Lineare ed Analisi 2
\nModulo di Algebra Lineare \u2013 A.A. 2015-2016<\/p>\n
Preliminari\/Prerequisiti
\nInsiemi e funzioni, principio di induzione, numeri complessi. Polinomi, geometria analitica, trigonometria.<\/p>\n
Spazi vettoriali ed applicazioni lineari
\n\u2013 Campi e spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali.
\n\u2013 Dipendenza e indipendenza lineare, generatori, basi e componenti di un vettore rispetto ad
\nuna base, dimensione di uno spazio e di un sottospazio vettoriale. Span di un insieme di
\nvettori.
\n\u2013 Somma ed intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di
\nsottospazi e componenti di un vettore rispetto ad una somma diretta.
\n\u2013 Applicazioni lineari. Matrice associata ad un\u2019applicazione lineare dopo aver scelto basi in
\npartenza ed arrivo.
\n\u2013 Operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto tra matrici. Trasposta ed
\ninversa di una matrice.
\n\u2013 Matrici di cambio di base. Similitudine tra matrici.
\n\u2013 Nucleo e immagine di un\u2019applicazione lineare. Teorema della dimensione. Legami tra
\niniettivit\u00e0, surgettivit\u00e0 e dimensioni degli spazi di partenza ed arrivo per applicazioni lineari.
\n\u2013 Determinante di una matrice: definizione, principali propriet\u00e0, esistenza, unicit\u00e0. Calco- lo mediante l\u2019algoritmo di Gauss e gli sviluppi di Laplace. Determinante della trasposta,
\ndell\u2019inversa, del prodotto.
\n\u2013 Rango di una matrice. Calcolo del rango.
\n\u2013 Autovalori, autovettori, autospazi. Molteplicit\u00e0 algebrica e geometrica di un autovalore.
\n\u2013 Polinomio minimo, polinomio caratteristico. Relazioni tra coefficienti del polinomio
\ncaratteristico, traccia, determinante, autovalori.
\n\u2013 Cenni sulle forme canoniche. Applicazioni e matrici simmetriche. Criteri di diagonalizzabilit\u00e0 sui reali e sui complessi.
\nProdotti scalari e forme quadratiche
\n\u2013 Prodotto scalare canonico in Rn. Norma e distanza.
\n\u2013 Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
\n\u2013 Matrici ortogonali.
\n\u2013 Ortogonale di un sottospazio. Proiezioni ortogonali su sottospazi.
\n\u2013 Forme quadratiche e matrici ad esse associate. Definizione di segnatura.
\n\u2013 Metodi per determinare la segnatura di una forma quadratica.
\n\u2013 Prodotti scalari in generale e matrici ad essi associate. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Basi ortogonali ed ortonormali (e procedimento di ortogonalizzazione) rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo (cenni).
\n\u2013 Applicazioni simmetriche rispetto ad un generico prodotto scalare e propriet\u00e0 delle matrici ad
\nesse associate. Teorema spettrale rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo.
\nGeometria analitica
\n\u2013 Vettori geometrici nel piano, nello spazio, e pi`u in generale in Rn.
\n\u2013 Geometria analitica nel piano. Equazioni cartesiane e parametriche di rette. Angoli e
\ndistanze.
\n\u2013 Geometria analitica nello spazio. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani. Angoli
\ne distanze tra rette e piani.
\n\u2013 Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini di Rn.
\n\u2013 Affinit\u00e0 e isometrie in Rn.
\nSistemi lineari
\n\u2013 Scrittura di un sistema lineare in termini di matrici e vettori. Interpretazioni in termini di
\ncombinazioni lineari, Span, ed in termini di applicazioni lineari.
\n\u2013 Struttura generale dell\u2019insieme delle soluzioni di un sistema lineare, omogeneo e non
\nomogeneo.
\n\u2013 Matrici a scala e risoluzione di un sistema lineare mediante algoritmo di Gauss.
\n\u2013 Risolubilit\u00e0 di un sistema lineare e rango: teorema di Rouch\u00e9-Capelli.<\/p>\n
Modulo di Analisi II \u2013 A.A. 2015-2016<\/p>\n
Preliminari\/Prerequisiti
\n\u2013 Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
\n\u2013 Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici,
\nforme quadratiche).
\nCalcolo differenziale in pi\u00f9 variabili
\n\u2013 Lo spazio Rn. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
\n\u2013 Funzioni di pi\u00f9 variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili:
\nlinee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
\n\u2013 Limiti e continuit\u00e0 per funzioni di pi\u00f9 variabili.
\n\u2013 Derivate parziali e direzionali per una funzione di pi\u00f9 variabili e loro significato geometrico.
\n\u2013 Differenziale per funzioni di pi\u00f9 variabili e sua interpretazione geometrica in termini di (iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
\n\u2013 Derivate successive per funzioni di pi\u00f9 variabili. Teorema di inversione dell\u2019ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o pi\u00f9 variabili.
\n\u2013 Massimi e minimi locali e globali per funzioni di pi\u00f9 variabili.
\n\u2013 Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario.
\n\u2013 Insiemi compatti in Rn. Teorema di Weierstass per funzioni di pi`u variabili.
\n\u2013 Massimi e minimi vincolati.
\n\u2013 Calcolo differenziale per funzioni da Rn ad Rm. Matrice Jacobiana.
\n\u2013 Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico\/fisico.
\n\u2013 Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
\n\u2013 Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
\n\u2013 Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
\n\u2013 Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
\n\u2013 Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle
\ncoordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
\n\u2013 Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
\n\u2013 Integrali impropri in pi\u00f9 variabili: definizioni e studio della convergenza.
\nCurve, superfici, calcolo vettoriale
\n\u2013 Curve: definizione. Curve chiuse e semplici. Vettore, versore e retta tangente.
\n\u2013 Lunghezza di una curva: definizione e calcolo.
\n\u2013 Integrali curvilinei (integrale di una funzione lungo una curva).
\n\u2013 Forme differenziali.
\n\u2013 Integrale di una forma differenziale lungo un curva. Forme differenziali esatte e potenziali.
\n\u2013 Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse. Relazioni tra forme differenziali chiuse ed esatte.
\n\u2013 Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
\n\u2013 Area di una superficie: definizione e calcolo.
\n\u2013 Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
\n\u2013 Operatori differenziali: divergenza, rotore, gradiente. Relazioni tra gli operatori
\ndifferenziali.
\n\u2013 Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
\n\u2013 Formula di Gauss-Green: enunciati ed applicazioni.
\n\u2013 Formula di Stokes: enunciati ed applicazioni.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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Preliminari\/Prerequisiti Insiemi e funzioni, principio di induzione, numeri complessi. Polinomi, geometria analitica, trigonometria.<\/p>\n
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