\documentclass[a4paper,reqno,11pt]{amsart}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{fullpage}%\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\usepackage{xspace}
%\usepackage{epic}%\setlength{\unitlength}{1cm}
\usepackage[italian]{babel}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add}
\usepackage{verbatim}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage[active]{srcltx}
%\usepackage{epstopdf}
\usepackage{amsmath,amsxtra,amscd}
\usepackage{amsthm,amsfonts,amssymb}
%\usepackage[all]{xy}
%\usepackage{bbm}
%\usepackage[notcite]{showkeys}

\setcounter{secnumdepth}1
%profondita` delle sezioni numerate 1 numera sezioni e non paragrafi
%0 non numera nemmeno le sezioni e cosi` via.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\iacc}     {\`\i\xspace}
\newcommand{\card}     {\mathop{\mathnormal card}}
\newcommand{\incluso}  {\hookrightarrow}
\newcommand{\surietta} {\longrightarrow \!\!>}
\newcommand{\ra}       {\rightarrow}
\newcommand{\lra}      {\longrightarrow}
\newcommand{\isocan}   {\simeq}
\newcommand{\vuoto}    {\varnothing}
\newcommand{\infinito} {\infty}
\newcommand{\comp}     {\!\circ\!}
\newcommand{\sqdot}    {\centerdot}
\newcommand{\Sa}       {\sum_{n=0}^\infty a_n}
\newcommand{\coinc}    {\equiv}
\newcommand{\defi}     {:=}
\newcommand{\diesis}   {\sharp}
\renewcommand{\geq}    {\geqslant}
\renewcommand{\leq}    {\leqslant}
\newcommand{\senza}    {\smallsetminus}
\newcommand{\wbar}     {\overline}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\theoremstyle{theorem}
%\newtheorem{prp}{Proposizione}
%\newtheorem{lem}[prp]{Lemma}
%\newtheorem{teo}[prp]{Teorema}
%\newtheorem{cor}[prp]{Corollario}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{esr}{Esercizio}
\newtheorem*{dfn}{Definizione}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\mA}  {\mathbb A}
\newcommand{\mB}{\mathbb B} \newcommand{\mC}{\mathbb C} \newcommand{\mD}{\mathbb D}
\newcommand{\mE}{\mathbb E} \newcommand{\mF}{\mathbb F} \newcommand{\mG}{\mathbb G}
\newcommand{\mH}{\mathbb H} \newcommand{\mI}{\mathbb I} \newcommand{\mJ}{\mathbb J}
\newcommand{\mK}{\mathbb K} \newcommand{\mL}{\mathbb L} \newcommand{\mM}{\mathbb M}
\newcommand{\mN}{\mathbb N} \newcommand{\mO}{\mathbb O} \newcommand{\mP}{\mathbb P}
\newcommand{\mQ}{\mathbb Q} \newcommand{\mR}{\mathbb R} \newcommand{\mS}{\mathbb S}
\newcommand{\mT}{\mathbb T} \newcommand{\mU}{\mathbb U} \newcommand{\mV}{\mathbb V}
\newcommand{\mW}{\mathbb W} \newcommand{\mX}{\mathbb X} \newcommand{\mY}{\mathbb Y}
\newcommand{\mZ}{\mathbb Z}

\newcommand{\calA}  {\mathcal A}
\newcommand{\calB}{\mathcal B} \newcommand{\calC}{\mathcal C} \newcommand{\calD}{\mathcal D}
\newcommand{\calE}{\mathcal E} \newcommand{\calF}{\mathcal F} \newcommand{\calG}{\mathcal G}
\newcommand{\calH}{\mathcal H} \newcommand{\calI}{\mathcal I} \newcommand{\calJ}{\mathcal J}
\newcommand{\calK}{\mathcal K} \newcommand{\calL}{\mathcal L} \newcommand{\calM}{\mathcal M}
\newcommand{\calN}{\mathcal N} \newcommand{\calO}{\mathcal O} \newcommand{\calP}{\mathcal P}
\newcommand{\calQ}{\mathcal Q} \newcommand{\calR}{\mathcal R} \newcommand{\calS}{\mathcal S}
\newcommand{\calT}{\mathcal T} \newcommand{\calU}{\mathcal U} \newcommand{\calV}{\mathcal V}
\newcommand{\calW}{\mathcal W} \newcommand{\calX}{\mathcal X} \newcommand{\calY}{\mathcal Y}
\newcommand{\calZ}{\mathcal Z}

\newcommand{\sfA}  {\mathsf A}
\newcommand{\sfB}{\mathsf B} \newcommand{\sfC}{\mathsf C} \newcommand{\sfD}{\mathsf D}
\newcommand{\sfE}{\mathsf E} \newcommand{\sfF}{\mathsf F} \newcommand{\sfG}{\mathsf G}
\newcommand{\sfH}{\mathsf H} \newcommand{\sfI}{\mathsf I} \newcommand{\sfJ}{\mathsf J}
\newcommand{\sfK}{\mathsf K} \newcommand{\sfL}{\mathsf L} \newcommand{\sfM}{\mathsf M}
\newcommand{\sfN}{\mathsf N} \newcommand{\sfO}{\mathsf O} \newcommand{\sfP}{\mathsf P}
\newcommand{\sfQ}{\mathsf Q} \newcommand{\sfR}{\mathsf R} \newcommand{\sfS}{\mathsf S}
\newcommand{\sfT}{\mathsf T} \newcommand{\sfU}{\mathsf U} \newcommand{\sfV}{\mathsf V}
\newcommand{\sfW}{\mathsf W} \newcommand{\sfX}{\mathsf X} \newcommand{\sfY}{\mathsf Y}
\newcommand{\sfZ}{\mathsf Z}

\newcommand{\sfa}  {\mathsf a}
\newcommand{\sfb}{\mathsf b} \newcommand{\sfc}{\mathsf c} \newcommand{\sfd}{\mathsf d}
\newcommand{\sfe}{\mathsf e} \newcommand{\sff}{\mathsf f} \newcommand{\sfg}{\mathsf g}
\newcommand{\sfh}{\mathsf h} \newcommand{\sfi}{\mathsf i} \newcommand{\sfj}{\mathsf j}
\newcommand{\sfk}{\mathsf k} \newcommand{\sfl}{\mathsf l} \newcommand{\sfm}{\mathsf m}
\newcommand{\sfn}{\mathsf n} \newcommand{\sfo}{\mathsf o} \newcommand{\sfp}{\mathsf p}
\newcommand{\sfq}{\mathsf q} \newcommand{\sfr}{\mathsf r} \newcommand{\sfs}{\mathsf s}
\newcommand{\sft}{\mathsf t} \newcommand{\sfu}{\mathsf u} \newcommand{\sfv}{\mathsf v}
\newcommand{\sfw}{\mathsf w} \newcommand{\sfx}{\mathsf x} \newcommand{\sfy}{\mathsf y}
\newcommand{\sfz}{\mathsf z}

\newcommand{\mbA}  {\mathbf A}
\newcommand{\mbB}{\mathbf B} \newcommand{\mbC}{\mathbf C} \newcommand{\mbD}{\mathbf D}
\newcommand{\mbE}{\mathbf E} \newcommand{\mbF}{\mathbf F} \newcommand{\mbG}{\mathbf G}
\newcommand{\mbH}{\mathbf H} \newcommand{\mbI}{\mathbf I} \newcommand{\mbJ}{\mathbf J}
\newcommand{\mbK}{\mathbf K} \newcommand{\mbL}{\mathbf L} \newcommand{\mbM}{\mathbf M}
\newcommand{\mbN}{\mathbf N} \newcommand{\mbO}{\mathbf O} \newcommand{\mbP}{\mathbf P}
\newcommand{\mbQ}{\mathbf Q} \newcommand{\mbR}{\mathbf R} \newcommand{\mbS}{\mathbf S}
\newcommand{\mbT}{\mathbf T} \newcommand{\mbU}{\mathbf U} \newcommand{\mbV}{\mathbf V}
\newcommand{\mbW}{\mathbf W} \newcommand{\mbX}{\mathbf X} \newcommand{\mbY}{\mathbf Y}
\newcommand{\mbZ}{\mathbf Z}

\newcommand{\mba}  {\mathbf a}
\newcommand{\mbb}{\mathbf b} \newcommand{\mbc}{\mathbf c} \newcommand{\mbd}{\mathbf d}
\newcommand{\mbe}{\mathbf e} \newcommand{\mbf}{\mathbf f} \newcommand{\mbg}{\mathbf g}
\newcommand{\mbh}{\mathbf h} \newcommand{\mbi}{\mathbf i} \newcommand{\mbj}{\mathbf j}
\newcommand{\mbk}{\mathbf k} \newcommand{\mbl}{\mathbf l} \newcommand{\mbm}{\mathbf m}
\newcommand{\mbn}{\mathbf n} \newcommand{\mbo}{\mathbf o} \newcommand{\mbp}{\mathbf p}
\newcommand{\mbq}{\mathbf q} \newcommand{\mbr}{\mathbf r} \newcommand{\mbs}{\mathbf s}
\newcommand{\mbt}{\mathbf t} \newcommand{\mbu}{\mathbf u} \newcommand{\mbv}{\mathbf v}
\newcommand{\mbw}{\mathbf w} \newcommand{\mbx}{\mathbf x} \newcommand{\mby}{\mathbf y}
\newcommand{\mbz}{\mathbf z}

\newcommand{\mtA}  {\mathrm A}
\newcommand{\mtB}{\mathrm B} \newcommand{\mtC}{\mathrm C} \newcommand{\mtD}{\mathrm D}
\newcommand{\mtE}{\mathrm E} \newcommand{\mtF}{\mathrm F} \newcommand{\mtG}{\mathrm G}
\newcommand{\mtH}{\mathrm H} \newcommand{\mtI}{\mathrm I} \newcommand{\mtJ}{\mathrm J}
\newcommand{\mtK}{\mathrm K} \newcommand{\mtL}{\mathrm L} \newcommand{\mtM}{\mathrm M}
\newcommand{\mtN}{\mathrm N} \newcommand{\mtO}{\mathrm O} \newcommand{\mtP}{\mathrm P}
\newcommand{\mtQ}{\mathrm Q} \newcommand{\mtR}{\mathrm R} \newcommand{\mtS}{\mathrm S}
\newcommand{\mtT}{\mathrm T} \newcommand{\mtU}{\mathrm U} \newcommand{\mtV}{\mathrm V}
\newcommand{\mtW}{\mathrm W} \newcommand{\mtX}{\mathrm X} \newcommand{\mtY}{\mathrm Y}
\newcommand{\mtZ}{\mathrm Z}

\newcommand{\mta}  {\mathrm a}
\newcommand{\mtb}{\mathrm b} \newcommand{\mtc}{\mathrm c} \newcommand{\mtd}{\mathrm d}
\newcommand{\mte}{\mathrm e} \newcommand{\mtf}{\mathrm f} \newcommand{\mtg}{\mathrm g}
\newcommand{\mth}{\mathrm h} \newcommand{\mti}{\mathrm i} \newcommand{\mtj}{\mathrm j}
\newcommand{\mtk}{\mathrm k} \newcommand{\mtl}{\mathrm l} \newcommand{\mtm}{\mathrm m}
\newcommand{\mtn}{\mathrm n} \newcommand{\mto}{\mathrm o} \newcommand{\mtp}{\mathrm p}
\newcommand{\mtq}{\mathrm q} \newcommand{\mtr}{\mathrm r} \newcommand{\mts}{\mathrm s}
\newcommand{\mtt}{\mathrm t} \newcommand{\mtu}{\mathrm u} \newcommand{\mtv}{\mathrm v}
\newcommand{\mtw}{\mathrm w} \newcommand{\mtx}{\mathrm x} \newcommand{\mty}{\mathrm y}
\newcommand{\mtz}{\mathrm z}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\gra}{\alpha} \newcommand{\grb}{\beta} \newcommand{\grg}{\gamma}
\newcommand{\grd}{\delta} \newcommand{\gre}{\varepsilon} \newcommand{\grz}{\zeta}
% \epsilon \eta  \theta  \vartheta \iota
\newcommand{\grk}{\kappa} \newcommand{\grl}{\lambda}
% \mu \nu \xi \pi \rho
\newcommand{\grs}{\sigma}
% \varsigma \tau \upsilon
\newcommand{\grf}{\varphi}
% \phi \chi \psi
\newcommand{\gro}{\omega} \newcommand{\om} {\omega}
\newcommand{\grG}{\Gamma}  \newcommand{\grD}{\Delta}
\newcommand{\grL}{\Lambda} \newcommand{\grO}{\Omega}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\tc}      {\, : \,}
\newcommand{\mper}    {\text{ per }}
\newcommand{\me}      {\text{ e }}
\newcommand{\mse}     {\text{ se }}
\newcommand{\mtaleche}{\text{ tale che }}
\newcommand{\mperogni}{\text{ per ogni }}

\begin{document}

\section*{A Compitino di algebra lineare del 21 febbraio 2017: prima parte}

\subsection*{Istruzioni:} Avete 25 minuti di tempo a disposizione. Come prima cosa scrivete nome, cognome e matricola nello spazio qui sotto.
Scrivete solo i risultati senza nessuna spiegazione negli appositi spazi. Effettuate i calcoli necessari sui fogli che vi saranno consegnati a parte. 
Dovete consegnare solo questo foglio. Prima di consegnare il foglio trascrivetevi su un foglietto i risultati. 
Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l'annullamento del compito. Per essere ammessi alla seconda parte del compito 
\`e necessario aver risposto correttamente a tutte e 5 le domande.

\bigskip

\subsection*{Nome e cognome e matricola:}\hrulefill

\subsection*{Domanda 1} Si determinino tutti i numeri complessi $z$ tali che $|z|^2=2$ e $Re(z)=Im(z)$.

\medskip

\framebox{\parbox[c][1,5cm]{13cm}{{\it Risposta:} }}

\subsection*{Domanda 2} Si calcoli il polinomio caratteristico della seguente matrice
$$ A=\begin{pmatrix}
     2 & 1 & 7 \\
     0 & 1 & 0 \\
     0 & 3 & -1
  \end{pmatrix} $$

\medskip

\framebox{\parbox[c][1,5cm]{13cm}{{\it Risposta:} $p_A(t) = $}}

\subsection*{Domanda 3} Sia data la seguente base di $\mR^3$:
$$
v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\qquad 
v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\qquad 
v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
$$
Sia $\grf_1,\grf_2,\grf_3$ la base duale. Si calcoli $\grf_2$.

\medskip

\framebox{\parbox[c][1,5cm]{13cm}{{\it Risposta:} $\grf_2\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=$}}

\subsection*{Domanda 4} Sia $F:\mC^4\lra \mC^3$ una applicazione lineare tale che $\dim N(F)=2$. Calcolare il rango di $F$.

\medskip

\framebox{\parbox[c][1,5cm]{13cm}{{\it Risposta:} $rango\, (F)=$  }}

\subsection*{Domanda 5} Siano $U$ e $W$ sottospazi dello spazio vettoriale $V$ delle matrici $2\times 2$: $V=\Mat _{2\times 2}$. Se $U+W=V$, 
$\dim (U\cap W)=1$ e $\dim W=2$ quale \`e la dimensione di $U$?

\medskip

\framebox{\parbox[c][1,5cm]{13cm}{{\it Risposta:} $\dim U=$ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{B Compitino di algebra lineare del 21 febbraio 2017: prima parte}

\subsection*{Istruzioni:} Avete 25 minuti di tempo a disposizione. Come prima cosa scrivete nome, cognome e matricola nello spazio qui sotto.
Scrivete solo i risultati senza nessuna spiegazione negli appositi spazi. 
Effettuate i calcoli necessari sui fogli che vi saranno consegnati a parte. Dovete consegnare solo questo foglio. 
Prima di consegnare il foglio trascrivetevi su un foglietto i risultati. 
Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l'annullamento del compito. Per essere ammessi alla seconda parte del compito 
\`e necessario aver risposto correttamente a tutte e 5 le domande.

\bigskip

\subsection*{Nome e cognome e matricola:}\hrulefill

\subsection*{Domanda 1} Si determinino tutti i numeri complessi $z$ tali che $|z|^2=2$ e $Re(z)=-Im(z)$.

\medskip

\framebox{\parbox[c][1,5cm]{13cm}{{\it Risposta:} }}

\subsection*{Domanda 2} Si calcoli il polinomio caratteristico della seguente matrice
$$ A=\begin{pmatrix}
     1 & 1 & 7 \\
     0 & -1 & 0 \\
     0 & 3 & -2
  \end{pmatrix} $$

\medskip

\framebox{\parbox[c][1,5cm]{13cm}{{\it Risposta:} $p_A(t) = $}}

\subsection*{Domanda 3} Sia data la seguente base di $\mR^3$:
$$
v_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\qquad 
v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\qquad 
v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
$$
Sia $\grf_1,\grf_2,\grf_3$ la base duale. Si calcoli $\grf_2$.

\medskip

\framebox{\parbox[c][1,5cm]{13cm}{{\it Risposta:} $\grf_2\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=$}}

\subsection*{Domanda 4} Sia $F:\mC^5\lra \mC^4$ una applicazione lineare tale che $\dim N(F)=2$. Calcolare il rango di $F$.

\medskip

\framebox{\parbox[c][1,5cm]{13cm}{{\it Risposta:} $rango\, (F)=$  }}

\subsection*{Domanda 5} Siano $U$ e $W$ sottospazi dello spazio vettoriale $V$ delle matrici $2\times 3$: $V=\Mat _{2\times 3}$. Se $U+W=V$, 
$\dim (U\cap W)=2$ e $\dim W=3$ quale \`e la dimensione di $U$?

\medskip

\framebox{\parbox[c][1,5cm]{13cm}{{\it Risposta:} $\dim U=$ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{Compitino di algebra lineare del 19 febbraio 2016: seconda parte}

\subsection*{Istruzioni:} 
I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli 
esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Sar\`a valutata anche l'esposizione e non saranno corretti 
esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l'annullamento del compito. 

\subsection{Esercizio 1}
\begin{enumerate}[\indent a)]
 \item Si enunci il teorema della dimensione.
 \item Esistono due applicazioni lineari 
 $$f \colon \mR^3 \longrightarrow \mR^2, \qquad g\colon \mR^2 \longrightarrow \mR^3$$
tali che la loro composizione $g\circ f$ sia iniettiva? Motivare la risposta.
\end{enumerate}

\subsection*{Esercizio 2}
Sia $W$ il sottospazio di $\mR^3$ definito dall'equazione $x+y+z=0$ e sia $V$ il sottospazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 
$3$ che si annullano in $1$: $V=\{p(t)\in \mR[t]_{\leq 3}\tc p(1)=0\}$. Sia $F:W\lra V$ l'applicazione lineare definita da
$$ F\begin{pmatrix}x\\ y \\ z \end{pmatrix}= x + 2\,y\, t + z\,t^2 +(x+z)t^3 $$
(per esempio $F(1,-1,0)$ \`e il polinomio $1-2t+t^3$)
\begin{enumerate}[\indent a)]
 \item Si scelga una base di $W$ e una di $V$ e si scriva la matrice associata a $F$ rispetto a queste basi. 
 \item Sia $G:\mR^3\lra \mR[t]_{\leq 3}$ l'applicazione lineare tale che 
 $$
 G\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=1+t \qquad \me \qquad  
 G\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=F\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \; \mse \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in W.
 $$
 Scrivere la matrice associata a $G$ rispetto alle basi standard di $\mR^3$ e $\mR[t]_{\leq 3}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Esercizio 3} Si determinino tutti gli $z$ complessi tali che $z^4\bar z =32$.

\subsection*{Esercizio 4} Sia $A$ la matrice $13\times 13$ con tutte le entrate uguali a $1$. 
\begin{enumerate}[\indent a)]
 \item Si determini una base del nucleo di $L_A$.
 \item Si determini un autovettore con autovalore diverso da zero (si provi ad indovinare!). 
 \item Si determini una base di autovettori per $L_A$ e si calcoli il polinomio caratteristico di $L_A$.
\end{enumerate}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{Soluzioni prima parte versione A}

\subsection*{Domanda 1} $z=1+i$ e $z=-1-i$.

\subsection*{Domanda 2} $p_A(t)=-(t-2)(t-1)(t+1)=-t^3+2t^2+t-2$.

\subsection*{Domanda 3} $\grf_2\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=-x+y+z$.

\subsection*{Domanda 4} $rango (F)=2$.

\subsection*{Domanda 5} $\dim U=3$.

\section*{Soluzioni prima parte versione B}

\subsection*{Domanda 1} $z=1-i$ e $z=-1+i$.

\subsection*{Domanda 2} $p_A(t)=-(t+2)(t-1)(t+1)=-t^3-2t^2+t+2$.

\subsection*{Domanda 3} $\grf_2\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=x+y-z$.

\subsection*{Domanda 4} $rango (F)=3$.

\subsection*{Domanda 5} $\dim U=5$.


\section*{Soluzioni seconda parte}

\subsection*{Esercizio 1}a) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo $K$ e sia $F:V\lra W$ una applicazione lineare allora
$$
\dim V = \dim \ker F +\dim \, Im \, F.
$$
b) Una tale coppia di applicazioni non esiste. Infatti 
per il teorema della dimensione l'applicazione $f$ ha nucleo di dimensione almeno $1$ quindi esiste $v$ non zero tale che $f(v)=0$. Quindi
anche $g(f(v))=0$ e  $g\circ f$ non \`e iniettiva.

\subsection*{Esercizio 2}a)Una base di $W$ \`e 
$$
w_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\qquad
w_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
$$
ed una base di $V$ \`e data da 
$$p_1(t)=t-1, \qquad p_2(t)=t^2-1\qquad p_3(t)=t^3-1$$
Abbiamo $F(w_1)= 1-2t+t^3=p_3(t)-2p_1(t)$ e $F(w_2)=2t-t^2-t^3=-p_3(t)-p_2(t)+2p_1(t)$. Quindi
$$
[F]^{w_1,w_2}_{p_1,p_2,p_3}=
\begin{pmatrix}
 -2  &  2 \\
  0  & -1 \\
  1  & -1
\end{pmatrix}
$$

b) Osserviamo che $e_1,w_1,w_2$ \`e una base di $\mR^3$ e che per definizione di $G$ abbiamo
$$
[G]^{e_1,w_1,w_2}_{1,t,t^2,t^3} =
\begin{pmatrix}
 1 & 1  & 0 \\
 1 & -2 & 2 \\
 0 & 0  & -1\\
 0 & 1  & -1
\end{pmatrix}
$$
Per determinare la matrice cercata calcoliamo la matrice di cambiamento di base $[Id]^{e_1,e_2,e_3}_{e_1,w_1,w_2}$. 
Tale matrice \`e l'inversa della matrice 
$$
[Id]_{e_1,e_2,e_3}^{e_1,w_1,w_2}=
\begin{pmatrix}
 1 & 1  & 0 \\
 0 & -1 & 1 \\
 0 & 0  & -1
\end{pmatrix}. 
$$
Possiamo calcolare l'inversa della matrice in vari modi, procediamo per riduzione a scalini della matrice
$$\begin{pmatrix}
 1 & 1  &  0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & -1 &  1 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0  & -1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}. 
$$
sommiamo la terza riga alla seconda, poi sommiamo la seconda alla prima e infine cambiamo segno alla seconda e alla terza riga. Otteniamo
$$
\begin{pmatrix}
 1 & 0  &  0 & 1 & 1 & 1 \\
 0 & 1 &  0 & 0 & -1 & -1 \\
 0 & 0  & 1 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
$$
e ricaviamo che $[Id]^{e_1,e_2,e_3}_{e_1,w_1,w_2}$ \`e la matrice costituita dalle ultime tre colonne della matrice appena calcolata. Quindi
$$
[G]^{e_1,e_2,e_2}_{1,t,t^2,t^3} =
[G]^{e_1,w_1,w_2}_{1,t,t^2,t^3} \cdot [Id]^{e_1,e_2,e_3}_{e_1,w_1,w_2}=
\begin{pmatrix}
 1 & 1  & 0 \\
 1 & -2 & 2 \\
 0 & 0  & -1\\
 0 & 1  & -1
\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
  1 &  1 &  1 \\
  0 & -1 & -1 \\
  0 &  0 & -1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 1 &  0  &  0 \\
 1 &  3  &  1 \\
 0 &  0  &  1\\
 0 & -1  &  0
\end{pmatrix}
$$

\subsection*{Esercizio 3}
Sia $\rho\geq 0$ il modulo di $z$ e $\theta\in [0,2\pi)$ l'argomento. Abbiamo $\bar z = \rho e^{-i\theta}$ e quindi 
$32=z^4\bar z= \rho^5 e^{3i\theta}$.
Da questa equazione ricaviamo 
$\rho^5=32$ da cui $\rho=2$ e $3\theta=0$ come angolo ovvero $\theta =0,2\pi/3,4\pi/3$.
Quindi le soluzioni sono 
$$
z=2e^{0}=2\qquad 
z=2e^{2\pi/3}=-1+i\sqrt{3}\qquad 
z=2e^{4\pi/3}=-1-i\sqrt{3}
$$

\subsection{Esercizio 4}
Tutte le colonne della matrice $A$ sono uguali quindi $L_A$ ha rango $1$ e di conseguenza il nucleo ha dimensione $12$. 
Il nucleo di $L_A$ \`e definito dall'equazione $x_1+\cdots+x_{13}=0$ ovvero $x_1=-x_2-x_2\cdots-x_{13}$. Una base del nucleo \`e quindi 
data da $v_i=e_1-e_i$ per $i=2,\dots,13$. 

Notiamo che se $v_1$ \`e il vettore con tutte le entrate uguali a $1$, abbiamo $L_A(v_1)=13\, v_1$. 
Quindi $v_1,\cdots, v_{13}$ sono una base di autovettori e abbiamo 
$$
[L_A]^{v_1\dots v_{13}}_{v_1\dots v_{13}}=
\begin{pmatrix}
 13 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
 \vdots  &  \vdots &  \vdots & \dots &  \vdots \\
 0 & 0 & 0 & \dots & 0 
\end{pmatrix}.
$$
Il polinomio caratteristico di $L_A$ \`e quindi uguale a $t^{12}(13-t)=13\,t^{12}-t^{13}$.

\end{document}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{Compito di Geometria e algebra lineare del 9 gennaio 2017}

\subsection*{Istruzioni:} 
I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli 
esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Sar\`a valutata anche l'esposizione e non saranno corretti 
esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l'annullamento del compito. 
Avete a disposizione 3 ore di tempo.

\subsection*{Esercizio 1}
Sia $V$ uno spazio vettoriale sui numeri complessi di dimensione finita e sia $F:V\lra V$ una applicazione lineare. 
\begin{enumerate}[\indent a)]
 \item Sia $\grl$ un autovalore di $F$. Si dia la definizione di molteplicit\`a geometrica e molteplicit\`a algebrica di $\grl$ rispetto a $F$.
 \item Supponiamo che $\dim V=4$. Si dimostri che se la molteplicit\`a geometrica di $2$ \`e uguale a $4$ allora $F=2\,Id$.
\end{enumerate}


\subsection*{Esercizio 2}
Sia $V$ lo spazio vettoriale delle matrici $2\times 2$ e sia 
$$ A=\begin{pmatrix}  a & b \\ c & d  \end{pmatrix} $$
una matrice invertibile. Si considerino le applicazione lineari $F_A,G_A:V\lra V$ definite da 
$$F_A(X)=AXA^{-1} \qquad \me \qquad G_A(X)=AX-XA.$$
\begin{enumerate}[\indent a)]
  \item Si calcoli il polinomio caratteristico di $F_A$ e $G_A$ nel caso in cui $a=1, b=c=0, d=2$.
  \item Si dimostri che l'autospazio relativo all'autovalore $1$ per l'applicazione $F_A$ \`e uguale all'autospazio relativo all'autovalore $0$ per $G_A$.
\end{enumerate}

\subsection*{Esercizio 3}
Sia $r$ una riflessione di $\mR^3$ rispetto ad un piano affine $\pi$ che sposti il punto $P$ di coordinate $(1,1,1)$ nel punto $B$ di coordinate $(1,3,1)$. 
Dato un vettore $c\in \mR^3$, sia inoltre $F_c:\mR^3\lra \mR^3$ 
l'isometria definita da $F_c(v)=r(v)+c$.
\begin{enumerate}[\indent a)]
 \item Determinare il piano $\pi$.
 \item Determinare la matrice $A$ e il vettore $b$ tali che  $r(v)=A\cdot v + b$.
 \item Determinare per quali $c\in \mR^3$ l'isometria $F_c$ \`e una riflessione rispetto ad un piano. Che tipo di isometria \`e negli altri casi?
\end{enumerate}

\subsection*{Esercizio 4}
Si consideri il fascio di coniche
$$x^2 + (1-t)y^2 +2tx -2(1-t)y+2-t = 0$$
dipendenti da un parametro reale $t\in \mR$.
\begin{enumerate}[\indent a)]
  \item Per quali valori di $t$ la conica \`e non vuota?
  \item Per quali valori di $t$ la conica \`e una ellisse? una parabola? una iperbole?
  \item Determinare il centro della conica, per quei valori di $t$ in cui esiste.
  \item Per quali valori di $t$ la conica \`e una circonferenza?
\end{enumerate}  



\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{Soluzioni compito del 9 gennaio}

\subsection*{Esercizio 1}
a) La molteplicit\`a geometrica di un autovalore $\grl$ \`e la dimensione di $\ker (F-\grl Id)$. La molteplicit\`a algebrica di un autovalore $\grl$ \`e
il massimo $n$ tale che $(t-\grl)^n$ divide il polinomio caratteristico di $F$.

b) Se $\dim V=4 $ e la molteplicit\`a geometrica di $2$ \`e quattro allora
$\ker (F-2 Id)=V$ ovvero $F-2 Id=0$ o equivalentemente $F=2 Id$.


\subsection*{Esercizio 2}
a) Sia $\calE$ la base standard di $V$: $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$. Abbiamo
\begin{gather*}
\begin{pmatrix}
 1 & 0 \\ 0 & 2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
 x & y \\ z & w
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
 1 & 0 \\ 0 & 1/2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 x & 1/2y \\ 2z & w
\end{pmatrix};\\
\begin{pmatrix}
 1 & 0 \\ 0 & 2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
 x & y \\ z & w
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
 x & y \\ z & w
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
 1 & 0 \\ 0 & 2
\end{pmatrix}=
\cdot
\begin{pmatrix}
 0 & -y \\ z & 0
\end{pmatrix}
\end{gather*}
Quindi le matrici associate ad $F_A$ e $G_A$ sono
$$
[F_A]^\calE_\calE=
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1/2 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 2 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}
\qquad \me \qquad
[G_A]^\calE_\calE=
\begin{pmatrix}
 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & -1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}.
$$
Quindi $p_F(t)=(t-1)^2(t-2)(t-1/2)$ e $p_G=t^2(t^2-1)$.

b) L'autospazio relativo all'autovalore $1$ di $F_A$ \`e l'insieme delle matrici $X$ tali che $F_A(X)=X$ ovvero $AXA^{-1}=X$. 
Moltiplicando per $A$ a destra otteniamo che \`e l'insieme delle matrici $X$ tali che $AX=XA$.

L'autospazio relativo all'autovalore $G$ di $G_A$ \`e l'insieme delle matrici $X$ tali che $G_A(X)=0$ ovvero $AX-XA=0$. Sommando 
$XA$ otteniamo che \`e l'insieme delle matrici $X$ tali che $AX=XA$.

Quindi i due autospazi coincidono.


\subsection*{Esercizio 3}

a) Il piano $\pi$ \`e il piano ortogonale al vettore $v_0=Q-P$ e passante per il punto medio tra $P$ e $Q$. 
Nel nostro caso \`e il piano $y=2$.

b) Per trovare l'espressione della riflessione $r$ rispetto al piano $\pi$ realizziamo tale riflessione nel seguente modo:
\begin{itemize}
 \item applichiamo la traslazione che porta il punto del piano $(0,2,0)$ nell'origine (va bene un qualsiasi punto del piano),  in coordinate:
 $$
 \begin{pmatrix}
  x \\ y \\ z
 \end{pmatrix}\mapsto 
 \begin{pmatrix}
  x \\ y-2 \\ z
 \end{pmatrix}
 $$
 \item applichiamo la riflessione rispetto al piano $\pi_0:\;y=0$, in coordinate:
$$ \begin{pmatrix}
  x \\ y \\ z
 \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}
  x \\ -y \\ z
 \end{pmatrix}
$$
\item applichiamo la traslazione che porta l'origine nel punto $(0,2,0)$ (lo stesso scelto prima), in coordinate:
 $$
 \begin{pmatrix}
  x \\ y \\ z
 \end{pmatrix}\mapsto 
 \begin{pmatrix}
  x \\ y+2 \\ z
 \end{pmatrix}.
 $$
\end{itemize}

componendo le applicazioni una dopo l'altra otteniamo 
$$ \begin{pmatrix}
  x \\ y \\ z
 \end{pmatrix}\longmapsto 
 \begin{pmatrix}
  x \\ y-2 \\ z
 \end{pmatrix}\longmapsto
 \begin{pmatrix}
  x \\
 -y+2\\
 -z
 \end{pmatrix}\longmapsto
 \begin{pmatrix}
  x \\
 -y+4\\
 -z
 \end{pmatrix}$$
 Quindi 
 $$
A= \begin{pmatrix}
  1 &  0 &  0 \\
  0 & -1 &  0 \\
  0 &  0 &  1
 \end{pmatrix}\qquad \me \qquad b=\begin{pmatrix} 0\\4\\0\end{pmatrix}
 $$

c) Se $F_c$ \`e una riflessione allora deve avere almeno un punto fisso. Studiamo quindi inanzitutto i punti fissi di $F_c$ ovvero i punti che risolvono 
l'equazione $F_c(v)=Av+b+c=v$ che riscriviamo nella forma $(I-A)v=b+c$.

Osserviamo che 
$$I-A=A= \begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 \\
  0 & 2 & 0 \\
  0 & 0 & 0
 \end{pmatrix}
 $$
   
Quindi se $c$ \`e della forma $(0,s,0)$ allora l'applicazione ha come punti fissi il piano 
$y=2+\frac s2$ e quindi $F_c$ \`e la riflessione rispetto a tale piano.

Se $c$ non \`e di tale forma allora $F_c$ non ha punti fissi e l'applicazione \`e 
la composizione di una riflessione e di una traslazione non nulla nella direzione del piano
ovvero una glissoriflessione. Verifichiamo questo fatto.

Sia $c=d+e$ con $d$ della forma $(0,s,0)$ ed $e$ nel piano $y=0$. Abbiamo che
$$F_c(v)=F_d(v)+e.$$
Per quanto gi\`a osservato $F_d$ \`e una riflessione rispetto ad un piano parallelo ad $y=0$ ed $e$ \`e nella direzione dello stesso piano, come volevamo.

\subsection*{Esercizio 4}
Riscrivendo i termini $x^2+2tx$ e $(1-t)(y^2-2y)$ come differenza di due quadrati possiamo riscrivere la conica nella forma
$(x+t)^2+(1-t)(y-1)^2-t^2+t-1+2-t=0$ ovvero, semplificando,
$$(x+t)^2+(1-t)(y-1)^2=t^2-1.$$
Cambiando variabili e chiamando $u=x+t$ e $v=y-1$ possiamo riscriverla nella forma $u^2+(1-t)v^2=t^2-1$ che \`e gi\`a in forma diagonale. 

a) La conica \`e vuota se $(1-t)>0$ e $t^2-1<0$, ovvero se $1>t>-1$.

b) La conica \`e una ellisse non degenere se $(1-t)>0$ e $(t^2-1)>0$ ovvero se $t<-1$. 

La conica \`e una iperbole per $(1-t)<0$ e $t^2-1\neq 0$ ovvero per $t>1$.

Rimangono da studiare i valori $t=\pm 1$. Per $t=1$ otteniamo $(x+1)^2=0$ ovvero $x=-1$ che \`e una retta, mentre 
per $t=-1$ otteniamo $(x-1)^2+2(y-1)^2=0$ ovvero $x=y=1$ che \`e un punto.

In particolare la conica non \`e mai una parabola.

c) Per $t\leq -1$ o $t>1$ la conica ha centro $(-t,1)$, altrimenti non ha centro.

d) La conica \`e una circonferenza non degenere se $(1-t)=1$ e $t^2-1\geq 0$ che non si verifica mai.
Per $t=1$ la conica \`e un punto ovvero una circonferenza degenere di raggio $0$.

\newpage

\section*{Compito di Geometria e algebra lineare del 27 gennaio 2017}

\subsection*{Istruzioni:} 
I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli 
esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Sar\`a valutata anche l'esposizione e non saranno corretti 
esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l'annullamento del compito. 
Avete a disposizione 3 ore di tempo.

\subsection*{Esercizio 1}
Sia $V$ uno spazio vettoriale reale e $g$ un prodotto scalare su $V$. Se $W$ \`e un sottospazio di $V$ indico con $g_W:W\times W \lra \mR$ 
la restrizione di $g$ a $W$ ovvero il prodotto scalare di $W$ definito da $g_W(w_1,w_2)=g(w_1,w_2)$ per ogni $w_1,w_2\in W$.
\begin{enumerate}[\indent a)]
\item Se $g$ ha segnatura $(2,2,0)$ esiste un sottospazio $W$ di dimensione $3$ di $V$ tale che $g_W$ \`e definito positivo? Motivare la risposta.
\item Se $g$ ha segnatura $(2,2,0)$ esiste un sottospazio $W$ di dimensione $3$ di $V$ tale che $g_W$ ha segnatura $(1,1,1)$? Motivare la risposta.
\end{enumerate}

\subsection*{Esercizio 2}
Costruisci una matrice $A$ di taglia $3 \times  3$ tale che l'applicazione $L_A\colon \mR^3 \to \mR^3$ soddisfi entrambe le propriet\`a seguenti:
\begin{itemize}
\item l'immagine di $L_A$ \`e il piano definito da $x+y=0$;
\item l'endomorfismo $L_A$ non \`e diagonalizzabile.
\end{itemize}

\subsection{Esercizio 3}
Sia $W\subset\mR^3$ il piano definito dall'equazione $2x+z=0$. Sia $p_W: \mR^3\lra \mR^3$ la proiezione ortogonale di $\mR^3$ su $W$ rispetto al
prodotto scalare standard su $\mR^3$ e sia $R:\mR^3\lra \mR^3$  la rotazione attorno all'asse $z$ di $\pi/4$ radianti. Sia infine $T:W\lra W$ 
l'applicazione definita da $T(w)=p_W(R(w))$. 
\begin{enumerate}[\indent a)]
   \item si scriva la matrice associata a $R$ e $p_W$ rispetto alla base standard;
   \item si dica se $T$ \`e diagonalizzabile.
\end{enumerate}


\subsection*{Esercizio 4}
Sia $c$ un numero positivo fissato e sia $g$ la foma quadratica di $\mR^2$ definita da 
$$
g(\begin{pmatrix}
   t\\x
  \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
   t'\\x'
  \end{pmatrix}
)=c^2 t\cdot t'-x\cdot x' 
$$
\begin{enumerate}
 \item calcolare la segnatura di $g$;
 \item esiste una trasformazione ortogonale che porta $e_1$ in $e_2$?
 \item Per quali numeri $v$ esiste una trasformazione ortognale che porta il punto di coordinate $(1,v)$ in un punto della forma $(t',0)$?
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{Compito di Geometria e algebra lineare del 15 febbraio 2017}

\subsection*{Istruzioni:} 
I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli 
esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Sar\`a valutata anche l'esposizione e non saranno corretti 
esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l'annullamento del compito. 
Avete a disposizione 3 ore di tempo.

\subsection*{Esercizio 1}
Sia $V$ uno spazio vettoriale reale, sia $g$ un prodotto scalare su $V$ e $T:V\lra V$ una applicazione 
lineare che sia una isometria rispetto al prodotto scalare $g$. Sia infine $\grl\in \mR$ un autovalore di $T$.
\begin{enumerate}[\indent a)]
\item Dimostrare che se $g$ \`e definito positivo allora $\grl=\pm 1$;
\item L'affermazione precedente rimane vera se si assume che $g$ abbia segnatura $(1,1,0)$?
\end{enumerate}

\subsection*{Esercizio 2} Sia $A$ la matrice $$\begin{pmatrix} 4 &  1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}.$$ Si calcoli $A^{100}$.

\subsection*{Esercizio 3} Sia $U$ un piano (non necessariamente passante per l'origine) 
di $\mR^3$ sia $P_U$ la proiezione ortogonale di $\mR^3$ su $U$.
Similmente se $\ell$ \`e una retta sia $P_\ell$ la proiezione di $\mR^3$ su $\ell$
\begin{enumerate}[\indent a)]
 \item Scrivere la matrice associata a $P_U$ nel caso in cui $U$ sia il piano $x+y+z=1$.
 \item Scrivere la matrice associata a $P_\ell$ nel caso in cui $\ell$ sia la retta passante per $e_1$ ed $e_2$.
 \item Fissato $U$ come nel punto $a)$ esiste una retta $\ell$ tale che la trasformazione $F(v)=P_U(v)+P_\ell(v)$ sia una isometria?
\end{enumerate}

\subsection*{Esercizio 4}
Siano $a,b,c,d\in \mR$ e sia $V$ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a $3$ a coefficienti reali. 
Sia $q$ la forma bilineare simmetrica definita nel modo seguente
$$
q(f,g)=f(a)g(a)+f(b)g(b)+f(c)g(c)+f(d)g(d)
$$
\begin{enumerate}[\indent a)]
 \item Se $a=0, b=1, c=2, d=3$ calcolare la segnatura di $q$;[oppure per quali $a,b,c,d$ la forma e` definita positiva?]
 \item Esistono $a,b,c,d$ tali che $q$ ha segnatura $(3,1,0)$?
 \item Esistono $a,b,c,d$ tali che $q$ ha segnatura $(3,0,1)$?
\end{enumerate}



\end{document}