Alcune domande fondamentali per la prova orale
Presentarsi e’ vivamente sconsigliato a chi non sa cosa rispondere ad almeno una di queste.
Ovviamente questa lista di domande non puo pretendere di contenere tutte le domande fondamentali possibili. Questa lista deve essere intesa come strumento di autovalutazione.
Algebra Lineare
Cosa Èuno spazio vettoriale?
Cosa Èun sottospazio vettoriale?
Cosa È una combinazione lineare?
Cosa È il sottospazio generato da un insieme?
Cosa È un insieme di vettori linearmente indipendenti?
Cosa È una base?
Due basi di uno stesso spazio hanno la stessa cardinalita ?
Cosa È la dimensione di uno spazio vettoriale?
Come si trova l`equazione di un piano passante per un punto e ortogonale ad un vettore dato?
Cosa È una funzione lineare?
Cosa c’entra con le matrici?
Come si trova la matrice associata ad una funzione lineare (data la scelta della base)?
Cosa sono il rango ed il determinante e come si calcolano ? (in generale, non su matrici 2×2 o 3×3)
Cosa sono il nucleo e l’immagine di una funzione lineare?
Che relazione c’e’ con il rango?
Cosa c’entrano i sistemi lineari con le funzioni lineari?
Cosa dice il teorema di Rouche Capelli e a cosa serve nellostudio dei sistemi lineari?
Come funziona e a che serve il metodo di Gauss?
Cosa È un autovalore?
Come cambia la matrice associata ad una funzione lineare quando sicambia la base?
Cosa È un prodotto scalare e cosa c’entra con le matrici?
Cosa È un’applicazione ortogonale e cosa c’entra con i prodotti scalari?
Come si diagonalizza una matrice simmetrica e a cosa serve farlo?
Analisi (alcune domande richiedono un minimo di riflessione e l’uso di alcuni risultati teorici fondamentali)
Quale È la definizione di continuita ?
Se f È strettamente crescente, continua, f(-10)=35, f(10)=55, quante sono le soluzioni di f(x)=54?
Una funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato ha un massimo?
Che differenza c`e` fra massimo e sup?
Quale È la definizione della derivata di una funzione e come si calcola in genere?
Una funzione derivabile È continua? Come si dimostra? Vale il viceversa?
In quali punti f(x)=sen(1/x) (con f(0)=0) È continua?
Esiste una funzione strettamente crescente ma non continua?
In quali punti f(x)=|x| È derivabile?
In quali punti f(x)=xsen(1/x) (con f(0)=0) È continua?
In quali punti f(x)=x*x*sen(1/x) (con f(0)=0) È derivabile?
Se f(x) È derivabile e f(x)=0 ha infinite soluzioni quante soluzioni ha f’ (x)=0?
Che relazione c’È fra la derivata e la crescenza-decrescenza di una funzione?
Che relazione c’È fra la derivata e la concavità -convessità di una funzione?
Come si definisce l’integrale? Che relazione c’È con la derivata?
Come si calcola l’integrale da -2 a 3 della funzione f(x)= xsen(x) ? della funzione f(x)=|sen(x)-x|? Della funzione | x|/x?
Cosa È una equazione differenziale lineare?
Cosa c’entrano queste equazioni con l’algebra lineare?
Cosa È un problema di Cauchy?
Quale È l’interpretazione geometrica del problema di Cauchy?
Sotto quali condizioni sappiamo che una soluzione esiste?
Se y’=F(x ,y) con F(x,y)>0 per ogni x e y, e y(0)=3 allora y(x) puo avere un massimo locale in 7?
Come si risolve un problema di Cauchy lineare del primo ordine?