Programma del corso 2009-2010

Programma del corso di ANALISI MATEMATICA I (12 CFU)

PRELIMINARI. Principio di induzione. Elementi di calcolo combinatorio. Binomio di Newton.
Funzioni iniettive, surgettive, invertibili. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme tramite una funzione. Funzioni pari, dispari, periodiche, monotone. Assioma di continuità dei numeri reali.
Insiemi limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati. Massimo e minimo di un insieme.
Maggioranti e minoranti. Estremo inferiore e superiore.

LIMITI. Limite di una successione di numeri reali. Teoremi di unicità del limite, di permanenzadel segno, del confronto, dei carabinieri, del limite della somma, del prodotto, del quoziente. Forme indeterminate. Successioni monotone: esistenza del limite. Successioni limitate. Sottosuccessioni. Definizione di limite di una funzione. Teoremi sui limiti di funzione analoghi a quelli per le successioni. Limiti notevoli di funzioni. Cambio di variabile nei limiti. Criterio che lega i limiti di funzioni ai limiti di successioni. Successioni definite per ricorrenza.

CALCOLO DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE. Funzioni continue e relativi teoremi.
Continuità delle funzioni elementari. Teoremi di esistenza degli zeri, di Weierstrass e dei valori
intermedi. Immagine di una funzione continua su un intervallo. Derivata e differenziale e loro
interpretazione geometrica. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della composizione.
Calcolo della derivata di funzioni elementari. Legami tra continuità e derivabilità. Derivata della
funzione inversa e suo calcolo per funzioni elementari. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Massimi e
minimi. Relazione tra il segno della derivata e la monotonia. Teorema di de l’Hopital. Funzioni
convesse. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange e applicazioni al calcolo di errori
nell approssimazione di funzioni. Studio di funzioni.

CALCOLO INTEGRALE IN UNA VARIABILE. Integrale di Riemann per funzioni limitate su
intervalli limitati. Significato geometrico. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni
continue. Proprietà dell’integrale. Funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema
fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione continua e loro utilizzo per il calcolo
di integrali definiti. Primitive delle funzioni elementari. Formula di integrazione per parti e per
sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrali impropri: dominio di integrazione non
limitato oppure integranda non limitata. Criterio del confronto e del confronto asintotico per lo
studio della convergenza di un integrale improprio con integrando a segno costante.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Ordine di un equazione, equazioni in forma normale. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari. Equazioni lineari a coefficienti costanti di ordine n omogenee e non omogenee con secondo membro in classi particolari.

SERIE NUMERICHE E SERIE DI POTENZE. Definizione di serie numerica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie geometrica e serie armonica. Serie a termini positivi: criteri della radice, del rapporto, del confronto, del confronto asintotico. Criterio di Leibnitz per serie a segno alterno e dell’assoluta convergenza per serie a segno qualunque.