Universitą di Firenze - Corso di laurea in Matematica
Analisi
Matematica – Primo modulo - A.A. 2004-2005
Programma del primo modulo del corso di Analisi
Matematica Uno
(Prof.
Paolo Marcellini)
I NUMERI E LE FUNZIONI REALI. Il sistema dei
numeri reali. Numeri naturali, interi, razionali. Esistenza di numeri
irrazionali (in particolare: la radice quadrata di 2 non č un numero
razionale). Funzioni reali di variabile reale. Funzioni invertibili. Funzioni monotóne. Proprietą e grafici
delle funzioni elementari. Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare.
L'assioma di completezza. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo
inferiore. Esistenza dell'estremo superiore. Il principio di induzione.
La disuguaglianza di Bernoulli. Facoltativo: numerabilitą dei numeri razionali e non
numerabilitą dei reali. (Paragrafi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 19)
LIMITI DI SUCCESSIONI. Definizione
di limite (finito o infinito) di una successione. Prime proprietą:
unicitą del limite, limitatezza delle successioni convergenti. Teorema della permanenza del segno, dei carabinieri e altri teoremi
di confronto. Operazioni con i limiti: somma, prodotto, quoziente. Forme
indeterminate. Limite del prodotto di una successione
infinitesima per una limitata. Limiti notevoli. Successioni monotóne. Teorema sulle successioni monotóne.
Monotonia e limitatezza della successione (1+1/n)^n.
Il numero e. Successioni definite per
ricorrenza. Infiniti di ordine crescente. Criterio del
rapporto per le successioni. Successioni estratte. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. Facoltativo: limite inferiore e
limite superiore di una successione. (Paragrafi 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,
29, 30, 31, 32, 33, 34, 39)
LIMITI DI FUNZIONI. Definizione
di limite (finito o infinito) di una funzione reale di variabile reale, in un
punto al finito o all'infinito. Limiti destro e sinistro. Legame tra
limiti di funzioni e limiti di successioni. Proprietą dei limiti di funzioni. (Paragrafi
40, 41, 42, 43)
FUNZIONI CONTINUE. Definizione. Esempi e prime
proprietą. Punti di discontinuitą. Teorema della permanenza del segno. Teoremi
dell'esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Metodo di bisezione. Teorema
di Weierstrass. (Paragrafi 44, 45, 46, 47, 48)
DERIVATE. Rapporto incrementale. Definizione di
derivata. Significato meccanico della derivata. Continuitą delle funzioni
derivabili. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente. Derivate delle
funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari.
Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Le funzioni
trigonometriche inverse. (Paragrafi 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58)
APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. PRIMI STUDI DI
FUNZIONE. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat.
Teoremi di Rolle e di Lagrange.
Funzioni crescenti e decrescenti; criterio di monotonia. Applicazioni:
determinazione degli intervalli di monotonia di una funzione; esistenza di
soluzioni di equazioni algebriche e trascendenti. (Paragrafi
60, 61, 62)
Si fa riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
P. Marcellini - C. Sbordone,
Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
Firenze, 20 dicembre 2004