Universitą di Firenze - Corso di laurea in Matematica

Analisi Matematica – Primo modulo - A.A. 2004-2005
Programma del primo modulo del corso di  Analisi Matematica Uno

(Prof. Paolo Marcellini)

I NUMERI E LE FUNZIONI REALI. Il sistema dei numeri reali. Numeri naturali, interi, razionali. Esistenza di numeri irrazionali (in particolare: la radice quadrata di 2 non č un numero razionale). Funzioni reali di variabile reale. Funzioni invertibili. Funzioni monotóne. Proprietą e grafici delle funzioni elementari. Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. L'assioma di completezza. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Esistenza dell'estremo superiore. Il principio di induzione. La disuguaglianza di Bernoulli. Facoltativo:  numerabilitą dei numeri razionali e non numerabilitą dei reali. (Paragrafi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 19)

LIMITI DI SUCCESSIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Prime proprietą: unicitą del limite, limitatezza delle successioni convergenti. Teorema della permanenza del segno, dei carabinieri e altri teoremi di confronto. Operazioni con i limiti: somma, prodotto, quoziente. Forme indeterminate. Limite del prodotto di una successione infinitesima per una limitata. Limiti notevoli. Successioni monotóne. Teorema sulle successioni monotóne. Monotonia e limitatezza della successione (1+1/n)^n. Il numero e. Successioni definite per ricorrenza. Infiniti di ordine crescente. Criterio del rapporto per le successioni. Successioni estratte. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. Facoltativo: limite inferiore e limite superiore di una successione. (Paragrafi 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 39)

LIMITI DI FUNZIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una funzione reale di variabile reale, in un punto al finito o all'infinito. Limiti destro e sinistro. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Proprietą dei limiti di funzioni. (Paragrafi 40, 41, 42, 43)

FUNZIONI CONTINUE. Definizione. Esempi e prime proprietą. Punti di discontinuitą. Teorema della permanenza del segno. Teoremi dell'esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Metodo di bisezione. Teorema di Weierstrass. (Paragrafi 44, 45, 46, 47, 48)

DERIVATE. Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Significato meccanico della derivata. Continuitą delle funzioni derivabili. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Le funzioni trigonometriche inverse. (Paragrafi 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58)

APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. PRIMI STUDI DI FUNZIONE. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti; criterio di monotonia. Applicazioni: determinazione degli intervalli di monotonia di una funzione; esistenza di soluzioni di equazioni algebriche e trascendenti. (Paragrafi 60, 61, 62)

Si fa riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
P. Marcellini - C. Sbordone,  Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.


Firenze, 20 dicembre 2004