Errore totale, trasmesso dai dati, algoritmico; errore trasmesso ed errore algoritmico nelle operazioni
aritmetiche; condizionamento, meccanismo di propagazione dell'errore algoritmico (stabilità).
Zeri di funzioni reali
Metodo di bisezione
Definizione, rapidità di convergenza, criteri d'arresto.
Metodi ad un punto
Definizione, Teorema di convergenza locale, scelta del punto iniziale, rapidità di convergenza, esempi.
Metodo di Newton
Definizione, convergenza, scelta del punto iniziale, rapidità di convergenza.
Errore algoritmico
Propagazione e criteri d'arresto nei metodi ad un punto.
Sistemi di equazioni lineari
Risoluzione di sistemi mediante fattorizzazione
Soluzione in casi elementari (matrice diagonale, triangolare, ortogonale, di permutazione); fattorizzazione LR e
fattorizzazione QR: definizione e loro uso.
Fattorizzazione LR
Calcolo con il metodo di Doolittle; metodo di Gauss: definizione, procedura di eliminazione, il problema della terminazione,
classi di matrici con terminazione garantita (a predominanza diagonale forte, definite positive),
legame con la fattorizzazione LR, eliminazione con pivoting, terminazione con pivoting.
Fattorizzazione QR
Calcolo con il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt e Teorema di esistenza.
Norme
Definizione di spazio normato; norme di matrici: definizione e proprietà.
Condizionamento
Definizione di errore in spazi normati; numero di condizionamento.
Errore algoritmico
Osservazione sulla propagazione; uso del pivoting (parziale) e confronto con QR.
Costo
Definizione di costo aritmetico, costo risoluzione con metodo di Gauss e con fattorizzazione QR.
Interpolazione
Il problema dell'interpolazione polinomiale
Definizione, esistenza ed unicità del polinomio interpolante, forme del polinomio interpolante; condizionamento.
Il problema lineare dell'interpolazione
Definizione ed esempi.
Campionamento e ricostruzione
Definizioni, ricostruzione con interpolazione polinomiale e con interpolazione lineare a tratti, errore di ricostruzione.
Approssimazione: minimi quadrati
Metodo dei minimi quadrati
Definizione, esistenza ed unicità, equazioni normali, soluzione di un sistema nel senso dei minimi quadrati,
approssimazione di dati nel senso dei minimi quadrati; uso della fattorizzazione QR.
Testo
M. Ciampa: Calcolo Numerico, a.a. 2007/2008.
Modalità d'esame
Prova scritta e prova orale da effettuarsi nello stesso appello.