Calcolo Numerico 2024/2025 (programma)

Prerequisiti: Contenuto del corso di Analisi Matematica 1 e del corso di Analisi 2 e Algebra Lineare.
Numeri in virgola mobile e precisione finita
Gli insiemi di numeri: Gli insiemi F (β,m), F (β,m,b_min,b_max), F_d (β,m,b_min,b_max); proprietà; arrotondamento: errore assoluto, errore relativo.
Funzioni predefinite ed algoritmi: Definizione, pseudo-operazioni aritmetiche e funzioni elementari.
Accuratezza di un algoritmo: Definizione di accuratezza e stabilità di un algoritmo, condizionamento del calcolo di una funzione. Esempi.
Zeri di funzioni di variabile reale
Metodo di bisezione: Definizione, rapidità di convergenza, criteri d'arresto.
Metodi ad un punto: Definizione, Teorema di convergenza, scelta del punto iniziale, ordine di convergenza, studio locale della convergenza; studio grafico di un metodo. Realizzazione in Scilab.
Metodo di Newton: Definizione, convergenza, scelta del punto iniziale, ordine di convergenza; costruzione grafica della successione. Realizzazione in Scilab.
Criteri d'arresto e condizionamento: Criteri d'arresto nei metodi ad un punto; condizionamento in termini di errore assoluto. Esempio in Scilab di problema mal condizionato.
Realizzazione in F (β,m): Stabilità del metodo di bisezione e dei metodi ad un punto; efficacia dei criteri d'arresto.
Zeri di funzioni in Rⁿ
Metodi ad un punto: Definizione, Teorema di convergenza locale, utilizzabilità, ordine di convergenza.
Metodo di Newton: Definizione, convergenza, utilizzabilità, ordine di convergenza, Realizzazione in Scilab.
Sistemi di equazioni lineari
Risoluzione di sistemi mediante fattorizzazione: Soluzione in casi elementari (matrice diagonale, triangolare, ortogonale, di permutazione); fattorizzazione LR con pivoting e fattorizzazione QR: definizione e loro uso.
Fattorizzazione LR: Metodo di fattorizzazione LR con pivoting: funzione EGP, insieme di definizione della funzione, legame con la fattorizzazione LR.
Norme: Definizione di spazio normato; norme di matrici: definizione e proprietà generali, norma uno, due e infinito.
Condizionamento: Definizione di errore sui dati e trasmesso dai dati; Teoremi di condizionamento e numero di condizionamento di una matrice. Esempi di uso.
Fattorizzazione QR: Calcolo con il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt (procedura GS) e Teorema di esistenza. Cenno al metodo di Householder.
Realizzazione in F (β,m): stabilità: Osservazione sul condizionamento del sistema ottenuto utilizzando EGP (inadeguatezza della procedura); uso del pivoting (parziale: procedura EGPP); Osservazione sul condizionamento del sistema ottenuto utilizzando una fattorizzazione QR.
Costo: Definizione e discussione di costo aritmetico. Costo della risoluzione con fattorizzazione LR e con fattorizzazione QR. Costo del calcolo dell'inversa di una matrice.
Metodi iterativi per sistemi di equazioni lineari
Nozioni generali: Definizione, metodo convergente, caratterizzazione dei metodi convergenti. Criteri d'arresto, costo, rapidità di convergenza.
Metodo di Jacobi: Definizione, condizioni sufficienti per la convergenza. Esempio in Scilab.
Metodo di Gauss-Seidel: Definizione, condizioni sufficienti per la convergenza. Esempio in Scilab.
Interpolazione e minimi quadrati
Il problema dell'interpolazione: Definizione, riformulazione come sistema di equazioni lineari. Interpolazione polinomiale: esistenza ed unicità del polinomio interpolante, forme del polinomio interpolante, errore. Interpolazione con funzioni continue e lineari a tratti, applicazioni: grafici in Scilab, formula dei trapezi.
Metodo dei minimi quadrati: Soluzione di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Definizione e calcolo. Equazioni normali, pseudoinversa. Uso della fattorizzazione QR. Migliore approssimazione di dati nel senso dei minimi quadrati: Definizione e calcolo.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie
Nozioni generali: Definizione, struttura di realizzazione in Scilab, errore locale, errore totale, metodo convergente.
Metodi TS: Metodo TS(1) e TS(2): ipotesi, definizione, discussione della scelta del passo, convergenza, realizzazione in Scilab, applicazione all'equazione non lineare del pendolo. Confronto tra i due metodi.
Metodi Runge-Kutta: Definizione dei metodi a due e tre stadi, determinazione dei parametri. Scelta del passo. Realizzazione in Scilab del metodo RK12 (Eulero esplicito + Heun).
Introduzione a Scilab: Descrizione dell'ambiente di programmazione e dell'interprete. Le funzioni number_properties, nearfloat e log2. La funzione printf. Il costrutto function, ciclo for e costrutto if. Matrici ed estensione banale di una funzione e di un operatore alle matrici. Il comando plot. La struttura ad albero dell'oggetto figure e suo uso per modificare le proprietà di una figura. Il tipo polinomio: comandi poly e horner. Le funzioni lu, backslash, pinv, qr.

Calcolo Numerico, a.a. 2024/2025

Ingegneria Elettronica