Calcolo Numerico, a.a. 2023/2024
Ingegneria Elettronica
didattica
...programma del corso...
- Prerequisiti
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Contenuto del corso di Analisi Matematica 1 e del modulo di Algebra Lineare.
- Numeri in virgola mobile e precisione finita
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- Gli insiemi di numeri
- Gli insiemi F (β,m), F (β,m,bmin,bmax),
Fd (β,m,bmin,bmax); proprietà; arrotondamento: errore assoluto,
errore relativo.
- Funzioni predefinite ed algoritmi
- Definizione, pseudo-operazioni aritmetiche e funzioni elementari.
- Accuratezza di un algoritmo
- Definizione di accuratezza e stabilità di un algoritmo, condizionamento del calcolo di una funzione. Esempi e diagrammi.
- Zeri di funzioni di variabile reale
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- Metodo di bisezione
- Definizione, rapidità di convergenza, criteri d'arresto.
- Metodi ad un punto
- Definizione, Teorema di convergenza, scelta del punto iniziale, ordine di convergenza, studio locale della
convergenza; studio grafico di un metodo.
- Metodo di Newton
- Definizione, convergenza, scelta del punto iniziale, ordine di convergenza; costruzione grafica della successione.
- Criteri d'arresto e condizionamento
- Criteri d'arresto nei metodi ad un punto; condizionamento in termini di errore assoluto.
- Realizzazione in F (β,m)
- Stabilità del metodo di bisezione e dei metodi ad un punto; efficacia dei criteri d'arresto.
- Sistemi di equazioni lineari
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- Risoluzione di sistemi mediante fattorizzazione
- Soluzione in casi elementari (matrice diagonale, triangolare, ortogonale, di permutazione); fattorizzazione LR con pivoting e
fattorizzazione QR: definizione e loro uso.
- Fattorizzazione LR
- Metodo di fattorizzazione LR con pivoting: funzione EGP, insieme di definizione della funzione, legame con la
fattorizzazione LR.
- Norme
- Definizione di spazio normato; norme di matrici: definizione e proprietà generali, norma uno, due e infinito.
- Condizionamento
- Definizione di errore sui dati e trasmesso dai dati; Teoremi di condizionamento e numero di condizionamento di una
matrice. Esempi di uso.
- Fattorizzazione QR
- Calcolo con il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt (procedura GS) e Teorema di esistenza. Cenno al metodo di Householder.
- Realizzazione in F (β,m): stabilità
- Osservazione sul condizionamento del sistema ottenuto utilizzando EGP (inadeguatezza della procedura); uso del pivoting (parziale:
procedura EGPP); Osservazione sul condizionamento del sistema ottenuto utilizzando una fattorizzazione QR.
- Costo
- Definizione e discussione di costo aritmetico. Costo della risoluzione con fattorizzazione LR e con fattorizzazione QR.
Costo del calcolo dell'inversa di una matrice.
- Interpolazione
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- Il problema dell'interpolazione polinomiale
- Definizione, esistenza ed unicità del polinomio interpolante, forme del polinomio interpolante.
- Il problema lineare dell'interpolazione
- Definizione ed esempi.
- Campionamento e ricostruzione
- Definizioni, ricostruzione con interpolazione polinomiale e con funzioni continue e lineari a tratti. Errore di ricostruzione e
condizionamento della ricostruzione nei due casi. Applicazione: approssimazione del grafico di una funzione.
- Approssimazione: minimi quadrati
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- Metodo dei minimi quadrati
- Soluzione di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Definizione e calcolo. Equazioni normali, pseudoinversa. Uso della fattorizzazione QR.
Migliore approssimazione di dati nel senso dei minimi quadrati: Definizione e calcolo. Esempi di problemi geometrici e meccanici riconducibili al calcolo della
soluzione di un sistema nel senso dei minimi quadrati.
- Introduzione a Scilab
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- Descrizione dell'ambiente di programmazione e dell'interprete. Le funzioni number_properties, nearfloat e log2.
Uso della funzione printf per mostrare la scrittura posizionale in base dieci di un elemento di F (2,53).
Il costrutto function, ciclo for e costrutto if. Matrici ed estensione banale di una funzione e di un operatore alle matrici.
Il comando plot. La struttura ad albero dell'oggetto figure e suo uso per modificare le proprietà di una figura.
Il tipo polinomio: comandi poly e horner. Realizzazione di SA ed SI, la funzione lu. Realizzazione di un semplice simulatore di
circuiti lineari di sole resistenze e generatori indipendenti di corrente. Il tipo numero complesso: realizzazione di un semplice simulatore per l'analisi
fasoriale di circuiti lineari di soli resistori, induttori, condensatori e generatori indipendenti di corrente; uso del simulatore per disegnare il grafico
del modulo della risposta in frequenza in un circuito.