Calcolo Numerico, a.a. 2018/2019

Ingegneria Elettronica

didattica


...programma del corso...

Prerequisiti

Contenuto del corso di Analisi Matematica 1 e del modulo di Algebra Lineare.

Numeri in virgola mobile e precisione finita
Gli insiemi di numeri
Gli insiemi F (β,m), F (β,m,bmin,bmax), Fd(β,m,bmin,bmax); proprietà; arrotondamento: errore assoluto, errore relativo.
Funzioni predefinite ed algoritmi
Definizione, pseudo-operazioni aritmetiche e funzioni elementari.
Accuratezza di un algoritmo
Definizione di accuratezza e stabilità di un algoritmo, condizionamento del calcolo di una funzione. Esempi.
Zeri di funzioni di variabile reale
Metodo di bisezione
Definizione, rapidità di convergenza, criteri d'arresto.
Metodi ad un punto
Definizione, Teorema di convergenza, scelta del punto iniziale, ordine di convergenza, studio locale della convergenza; studio grafico di un metodo.
Metodo di Newton
Definizione, convergenza, scelta del punto iniziale, ordine di convergenza; costruzione grafica della successione.
Criteri d'arresto e condizionamento
Criteri d'arresto nei metodi ad un punto; condizionamento in termini di errore assoluto.
Sistemi di equazioni lineari
Risoluzione di sistemi mediante fattorizzazione
Soluzione in casi elementari (matrice diagonale, triangolare, ortogonale, di permutazione); fattorizzazione LR e fattorizzazione QR: definizione e loro uso.
Fattorizzazione LR
Metodo di eliminazione di Gauss con pivoting: funzione EGP, insieme di definizione della funzione, legame con la fattorizzazione LR.
Norme
Definizione di spazio normato; norme di matrici: definizione e proprietà generali, norma uno, due e infinito.
Condizionamento
Definizione di errore sui dati e trasmesso dai dati; Teorema di condizionamento e numero di condizionamento di una matrice.
Fattorizzazione QR
Calcolo con il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt e Teorema di esistenza.
Stabilità
Osservazione sul condizionamento del sistema ottenuto utilizzando EGP; uso del pivoting (parziale - EGPP); Osservazione sul condizionamento del sistema ottenuto utilizzando una fattorizzazione QR.
Costo
Definizione e discussione di costo aritmetico. Costo della risoluzione con metodo di Gauss e con fattorizzazione QR.
Interpolazione
Il problema dell'interpolazione polinomiale
Definizione, esistenza ed unicità del polinomio interpolante, forme del polinomio interpolante.
Il problema lineare dell'interpolazione
Definizione ed esempi.
Campionamento e ricostruzione
Definizioni, ricostruzione con interpolazione polinomiale e con funzioni continue e lineari a tratti, errore di ricostruzione. Condizionamento della ricostruzione. Applicazioni: approssimazione numerica di un integrale e approssimazione del grafico di una funzione
Approssimazione: minimi quadrati
Metodo dei minimi quadrati
Soluzione di un sistema nel senso dei minimi quadrati e migliore approssimazione di dati nel senso dei minimi quadrati: Definizione. Riformulazione e calcolo in termini di migliore approssimazione in uno spazio con prodotto scalare. Equazioni normali, pseudoinversa. Uso della fattorizzazione QR.
Introduzione a Scilab
Descrizione dell'ambiente di programmazione e dell'interprete. Le funzioni number_properties, nearfloat e frexp. Matrici ed estensione banale di una funzione e di un operatore alle matrici. Il costrutto function. Il comando plot2d. L'istruzione printf. Realizzazione del metodo di bisezione e di un metodo ad un punto. Realizzazione delle procedure SA ed SI. Le funzioni lu e qr. Realizzazione di una procedura che determina i valori del polinomio che interpola dati assegnati in un insieme di punti. La funzione interp1. La funzione backslash.