Calcolo Numerico, a.a. 2017/2018
Ingegneria Elettronica
didattica
...programma del corso...
- Prerequisiti
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Contenuto del corso di Analisi Matematica 1 e del modulo di Algebra Lineare.
- Numeri in virgola mobile e precisione finita
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- Gli insiemi di numeri
- Gli insiemi F (β,m), F (β,m,bmin,bmax),
Fd (β,m,bmin,bmax); proprietà; arrotondamento: errore assoluto, errore relativo.
- Funzioni predefinite ed algoritmi
- Definizione, pseudo-operazioni aritmetiche e funzioni elementari.
- Accuratezza di un algoritmo
- Definizione di accuratezza e stabilità di un algoritmo, condizionamento del calcolo di una funzione. Esempi.
- Zeri di funzioni di variabile reale
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- Metodo di bisezione
- Definizione, rapidità di convergenza, criteri d'arresto.
- Metodi ad un punto
- Definizione, Teorema di convergenza, scelta del punto iniziale, ordine di convergenza, studio locale della
convergenza; studio grafico di un metodo.
- Metodo di Newton
- Definizione, convergenza, scelta del punto iniziale, ordine di convergenza; costruzione grafica della successione.
- Criteri d'arresto e condizionamento
- Criteri d'arresto nei metodi ad un punto; condizionamento in termini di errore assoluto.
- Sistemi di equazioni lineari
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- Risoluzione di sistemi mediante fattorizzazione
- Soluzione in casi elementari (matrice diagonale, triangolare, ortogonale, di permutazione); fattorizzazione LR e
fattorizzazione QR: definizione e loro uso.
- Fattorizzazione LR
- Metodo di eliminazione di Gauss con pivoting: funzione EGP, insieme di definizione della funzione, legame con la
fattorizzazione LR.
- Norme
- Definizione di spazio normato; norme di matrici: definizione e proprietà generali, norma uno, due e infinito.
- Condizionamento
- Definizione di errore sui dati e trasmesso dai dati; Teorema di condizionamento e numero di condizionamento di una
matrice.
- Fattorizzazione QR
- Calcolo con il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt e Teorema di esistenza.
- Stabilità
- Osservazione sul condizionamento del sistema ottenuto utilizzando EGP; uso del pivoting (parziale - EGPP); Osservazione
sul condizionamento del sistema ottenuto utilizzando una fattorizzazione QR.
- Costo
- Definizione e discussione di costo aritmetico. Costo della risoluzione con metodo di Gauss e con fattorizzazione QR.
- Interpolazione
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- Il problema dell'interpolazione polinomiale
- Definizione, esistenza ed unicità del polinomio interpolante, forme del polinomio interpolante.
- Il problema lineare dell'interpolazione
- Definizione ed esempi.
- Campionamento e ricostruzione
- Definizioni, ricostruzione con interpolazione polinomiale e con funzioni continue e lineari a tratti, errore di ricostruzione.
Condizionamento della ricostruzione. Applicazioni: approssimazione numerica di un integrale e approssimazione del grafico di una funzione
- Approssimazione: minimi quadrati
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- Metodo dei minimi quadrati
- Soluzione di un sistema nel senso dei minimi quadrati e migliore approssimazione di dati nel senso dei minimi quadrati: Definizione.
Riformulazione e calcolo in termini di migliore approssimazione in uno spazio con prodotto scalare. Equazioni normali, pseudoinversa. Uso della fattorizzazione QR.
- Introduzione a Scilab
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- Descrizione dell'ambiente di programmazione e dell'interprete. Le funzioni number_properties, nearfloat e frexp. Matrici ed estensione banale
di una funzione e di un operatore alle matrici. Il costrutto function. Il comando plot2d. L'istruzione printf. Realizzazione del metodo di
bisezione e di un metodo ad un punto. Realizzazione delle procedure SA ed SI. Le funzioni lu e qr. Realizzazione di una procedura che determina i valori
del polinomio che interpola dati assegnati in un insieme di punti. La funzione interp1. La funzione backslash.