Complementi di Algebra e Fondamenti di Geometria - Ingegneria Elettrica, a.a. 2009/2010
didattica
...programma del corso...
- Prerequisiti
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Contenuto del modulo di Algebra Lineare e del corso di Analisi Matematica 1.
- Diagonalizzazione: Autovalori ed autovettori
- Teoria
- Definizione di matrice diagonalizzabile. Definizione di autovalore ed autovettore di una matrice, polinomio caratteristico
e autospazi. Procedura per decidere se una matrice sia diagonalizzabile ed eventualmente determinare i fattori della diagonalizzazione.
- Applicazioni
- Studio dei sistemi di equazioni differenziali lineari omogenee.
- Forma canonica di Jordan
- Teoria
- Teorema di esistenza, procedura di calcolo.
- Applicazioni
- Diagonalizzazione di matrici simmetriche e di matrici hermitiane. Studio dei sistemi di equazioni differenziali lineari omogenee,
calcolo della potenza k-esima di una matrice.
- Prodotto scalare: norma ed ortogonalità
- Teoria
- Prodotto scalare in Rn: Definizione e proprietà, norma euclidea, basi ortogonali e basi ortonormali;
sottospazi ortogonali, Ortogonalità di nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Disuguaglianza di Schwarz, angolo tra vettori, procedura di
Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale. Problema dei minimi quadrati. Matrici ortogonali: definizione e proprietà.
Fattorizzazione QR di una matrice.
- Prodotto hermitiano in Cn: Definizione e proprietà, norma. Matrici unitarie.
- Decomposizione ai valori singolari
- Teoria
- Definizione, Teorema di esistenza, interpretazione geometrica, procedura di calcolo.
- Applicazioni
- Sistemi di equazioni lineari: struttura dell'insiene delle soluzioni, soluzione di norma minima, soluzione nel senso dei minimi quadrati,
definizione ed uso della matrice pseudoinversa.
- Forme quadratiche
- Teoria
- Matrici simmetriche definite, semidefinite e indefinite; forma quadratica associata ad una matrice simmetrica;
classificazione: variazione della forma quadratica rispetto al cambio di base, Teorema di classificazione in base al segno
degli autovalori; procedura di classificazione: congruenza, inerzia, Legge di inerzia di Sylvester.
- Applicazioni
- Estremi di una forma quadratica.