Programma del corso di Matematica (Ingegneria informatica, L-Z) (Anno acc. 2004-2005) (bozza n.1) --------- ANALISI MATEMATICA -------- 1._ NUMERI NATURALI. Principio d'induzione per la verifica di proprieta' dei naturali. Fattoriale. Binomio di Newton(*). 2._ NUMERI REALI. Allineamenti decimali e doppia rappresentazione periodica dei decimali finiti. Numeri razionali e allineamenti periodici (*). Uguaglianza e disuguaglianza fra numeri in forma decimale. Densita' dei razionali e degli irrazionali nei reali(*). Costruzione degli estremi superiore e inferiore di un insieme limitato(*). Completezza dei reali: principio di localizzazione (di Cantor)(*). Operazioni aritmetiche sui reali mediante approssimazione decimale finita, con l'analisi dell'errore per somme e prodotti. Potenza di base ed esponente reali. Funzioni e successioni reali. Dominio. codominio, immagine. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzione inversa. Successioni definite per ricorrenza. 3._ LIMITI E CONTINUITA' Definizione di funzione continua in un punto. Permanenza del segno per funzioni continue. Il teorema degli zeri per funzioni continue su un intervallo. Funzioni continue in un intervallo: Il teorema degli zeri per funzioni continue su un intervallo. Teorema dei valori intermedi. Esistenza delle inverse delle funzioni elementari. Determinazione dell'immagine di una funzione continua su un intervallo. Estremi di una funzione: punti di massimo e minimo locali e globali. Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: teorema (di Weierstrass) di esistenza del massimo e del minimo (*). Distanza e Intorni. Punti interni. Limite di una funzione e in un punto, limite destro e sinistro. Limiti all'infinito. Convergenza e divergenza di funzioni e successioni. Funzioni e successioni oscillanti. Limiti di somme, differenze, prodotti, quozienti di funzioni e successioni convergenti e divergenti sui reali. Limiti di funzioni composte(*). Limiti di potenze a base ed esponente variabili. Limiti e ordinamento: teoremi di confronto. Permanenza del segno per funzioni convergenti. Limiti notevoli. Forme indeterminate dei limiti di funzioni elementari: i sette tipi. Limiti e monotonia: proprieta' di convergenza e divergenza di funzioni e successioni monotone. Il numero di Neper e (*). Confronto di infinitesimi e infiniti: ordine. I simboli o e O di Landau. Limiti e continuita'. Continuita' e operazioni algebriche; composizione di funzioni continue. Studio dell'insieme di continuita' di una funzione elementare. Classificazione delle discontinuita' in base all'esistenza del limite. 3._ CALCOLO DIFFERENZIALE La derivata. Il polinomio di primo grado approssimante una funzione nell'intorno di un punto del suo dominio: equazione della tangente. Derivata destra e sinistra. Punti angolosi. Derivabilita' e continuita'. Esempio di funzione continua non derivabile. Derivata di costanti, di funzioni monotone, di funzioni con pendenza limitata (condizione di Lipschitz). Derivazione di funzioni elementari: teoremi di derivazione per le operazioni algebriche, la composizione e la potenza. Derivata dell'inversa di una funzione derivabile e invertibile. Derivate delle funzioni elementari. Primitive (integrazione indefinita). Primitive di funzioni elementari: integrazione per somma, per parti, per sostituzione. Classi notevoli di funzioni integrabili elementarmente: funzioni razionali, e loro composte con esponenziali, radici di polinomi di primo e secondo grado, e funzioni trigonometriche. Funzioni iperboliche. Derivate successive. 4._ APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE. La condizione necessaria (di Fermat) per un punto di estremo (massimo o minimo) locale interno. I teoremi di Rolle e di Lagrange. Applicazioni allo studio delle funzioni su un intervallo aventi derivata identicamente nulla, o di segno costante, o limitata. Determinazione di tutte le primitive di una funzione su un'unione finita di intervalli, nota una di esse. Applicazioni dello studio del segno della derivata a massimi, minimi e immagine di una funzione derivabile. Teoremi di De L'Hospital (Bernoulli) sulle forme indeterminate (*). Formula di Taylor con resto di Peano(*). Condizioni sufficienti per massimi e minimi. Calcolo dell'ordine dell'infinitesimo per funzioni regolari. Formula di Taylor con resto di Lagrange (*). Calcolo approssimato di funzioni elementari con stima dell'errore. Calcolo del numero e, con errore prefissato. 5._ CALCOLO INTEGRALE. Definizione di integrale esteso ad un intervallo. Condizione caratteristica di integrabilita' (*). Condizione sufficiente per l'integrabilita' di funzioni continue su intervalli chiusi e limitati (*). Integrabilita' delle funzioni monotone. Proprieta' di linearita' (*), positivita' e additivita' dell'integrale (*). Integrali definiti. Teoremi della media integrale per funzioni integrabili e per funzioni continue. Il teorema fondamentale del calcolo integrale (di Torricelli). Definizione di integrale improprio al finito e all'infinito. Teoremi di confronto per integrali di funzioni positive. Assoluta integrabilita'. 6._ EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni differenziali: definizione e ordine. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Derivazione di funzioni a valori complessi(*): derivata dell'esponenziale complesso. Equazioni differenziali lineari: principio di sovrapposizione. Equazioni omogenee e dimensione(*) dello spazio delle soluzioni. Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni non omogenee. Risoluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: equazioni omogenee e costruzione dello spazio delle soluzioni(*) non omogenee con secondo membro polinomio esponenziale (*). Risonanza (*). ------- ALGEBRA LINEARE ------- 1._ SPAZI EUCLIDEI. Vettori geometrici e operazioni sui vettori: equazione vettoriale della retta e del piano. Lo spazio euclideo a n dimensioni. Base canonica e componenti di un vettore. Operazioni sui vettori e loro proprieta'. Elemento neutro e opposto. Prodotto scalare e norma (modulo) di un vettore. Disuguaglianza di Schwartz(*). Proiezione di un vettore nella direzione di un altro. Vettori ortogonali. Rette e piani come luoghi di vettori normali ad un vettore dato. 2._ SPAZI VETTORIALI. Definizione di spazio vettoriale sui reali. Sottospazi. Insiemi di generatori di un sottospazio. Dipendenza lineare. Decomposizione di un vettore rispetto ad un sistema di generatori: sistemi di equazioni lineari. Unicita' della decomposizione e indipendenza lineare. Metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari. Risolubilita' di un sistema lineare: teorema di Rouche'- Capelli. Spazi con un numero finito di generatori: ogni sottinsieme minimo di generatori ha lo stesso numero di elementi. Dimensione. Spazi di dimensione infinita: un esempio. 3._ APPLICAZIONI LINEARI. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali. Nucleo e immagine. Applicazioni fra spazi di dimensione finita: relazione fra le dimensioni del dominio, del nucleo e dell'immagine dell'applicazione(*). Applicazioni lineari e basi: rappresentazione mediante matrici di numeri. Operazioni sulle matrici: somme, prodotti per uno scalare, trasposizione. Prodotto righe per colonne. Trasposta e inversa di un prodotto. Vettori come matrici ad una riga, o ad una colonna. Sistemi lineari in forma di prodotti di matrici. Matrici con un solo elemento diverso da zero e operazioni algebriche su sistemi lineari. Applicazione del metodo di Gauss alla diagonalizzazione e all'inversione di matrici. Rango (caratteristica) di una matrice. 4._ DETERMINANTI. Proprieta' caratteristiche del determinante come funzione delle colonne. Conseguenze delle proprieta' dei determinanti: condizione d'indipendenza lineare regola di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari. Determinante delle matrici triangolari e diagonali(*), della matrice trasposta(*), della matrice prodotto(*), della matrice inversa(*). Regola di Laplace per il calcolo dei determinanti(*). Rappresentazione dell'inversa di una matrice(*). 5._ NUMERI COMPLESSI Definizione ed operazioni su numeri complessi. Modulo e coniugato di un numero complesso. Numeri complessi in forma algebrica e trigonometrica: parte reale, immaginaria, argomento. Operazioni sui complessi nelle due forme. Esponenziale complesso. Formule di Eulero per il seno e il coseno.. Potenza di un complesso in forma trigonometrica. Formula di De Moivre per le radici n-esime di un complesso. Degli argomenti contrassegnati con l'asterisco (*) sono richiesti gli enunciati, ma non le dimostrazioni.