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		Argomenti di Analisi Matematica per il corso di 
		    Matematica (Ingegneria informatica M-Z)
			    (Anno acc. 2002-2003)

			    (Prof. Placido Longo )			    
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1._    NUMERI NATURALI.

    Principio d'induzione per la verifica di proprieta' dei naturali.
    

2._    NUMERI REALI.

    Allineamenti decimali e doppia rappresentazione periodica dei decimali 
    finiti.   Numeri razionali e allineamenti periodici (*).
    Criteri d'uguaglianza e d'ordine per i numeri in forma decimale.
    Densita' dei razionali e degli irrazionali nei reali.
    Costruzione degli estremi superiore e inferiore di un insieme limitato(*).
    Completezza dei reali: principio di localizzazione (di Cantor).
    Operazioni aritmetiche sui reali mediante approssimazione decimale finita,
    con l'analisi dell'errore ( facoltativa per la divisione ).
    Potenza di base ed esponente reali.
    
    
3._    LIMITI E CONTINUITA'

    Definizione di funzione continua sui reali.
    Permanenza del segno per funzioni continue.
    Il teorema degli zeri per funzioni continue su un intervallo.
    Esistenza delle inverse delle funzioni elementari.

    Spazi metrici e proprieta' assiomatiche della distanza. Intorni.
    Punti interni, esterni, di frontiera, d'accumulazione, isolati.
    Insiemi aperti e chiusi.  Insiemi limitati.
    
    Limite di una funzione fra spazi metrici in un punto d'accumulazione del 
    suo dominio. Limiti all'infinito sui reali e negli spazi metrici.
    Convergenza e divergenza. Continuita' di funzioni fra spazi metrici.
    Limiti di successioni in spazi metrici.
    Limiti di somme, differenze, prodotti, quozienti di funzioni o successioni
    convergenti e divergenti sui reali.
    Limiti di funzioni composte. Limiti di potenze a base ed esponente 
    variabili.
    Limiti e ordinamento: teoremi di confronto.  
    Permanenza del segno per funzioni convergenti.
    Limiti notevoli.
    Forme indeterminate dei limiti di funzioni elementari: i sette tipi.
    Limiti e monotonia: proprieta' di convergenza  e divergenza di funzioni e 
    successioni monotone.  Il numero e di Neper (*).
    Confronto di infinitesimi e infiniti: ordine. I simboli o e O di Landau.

    Limiti e continuita'.
    Continuita' e operazioni algebriche; composizione di funzioni continue.
    Studio dell'insieme di continuita' di una funzione elementare.
    Classificazione delle discontinuita' in base all'esistenza del limite.
    
    
    Funzioni continue in un intervallo: 
      Teorema dei valori intermedi.
      Monotonia di funzioni continue invertibili.
      Continuita' dell'inversa di una funzione continua invertibile.
	     
    Funzioni continue su un insieme chiuso e limitato: teorema di esistenza 
    del massimo e del minimo (*).


3._    CALCOLO DIFFERENZIALE

    La derivata. Il polinomio di primo grado approssimante una funzione 
    nell'intorno di un punto del suo dominio: equazione della tangente.
    Derivata destra e sinistra.
    Derivabilita' e continuita'. Esempio di funzione continua non derivabile.
    Derivazione di funzioni elementari: teoremi di derivazione per le 
    operazioni algebriche, la potenza e la composizione.
    Derivabilita' dell'inversa di una funzione derivabile e invertibile.
    Derivate delle funzioni elementari.
    Derivate successive.
    

4._    APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.

    La condizione necessaria (di Fermat) per un punto di estremo (massimo o
    minimo) interno.   Estremi relativi.
    I teoremi di Rolle e di Lagrange: studio delle funzioni su un intervallo
    aventi derivata identicamente nulla, o monotone, o aventi pendenza limitata
    (condizione di Lipschitz).
    Applicazioni allo studio dei massimi, dei minimi e dell'immagine di una 
    funzione derivabile.
    Teoremi di De L'Hospital (Bernoulli) sulle forme indeterminate (*). Tipo 
    di discontinuita' della derivata.
    Formula di Taylor con resto di Peano(*). Condizioni sufficienti per massimi
    e minimi. Calcolo dell'ordine dell'infinitesimo per funzioni regolari.
    Formula di Taylor con resto di Lagrange (*). Calcolo approssimato di 
    funzioni elementari con stima dell'errore.  Calcolo del numero  e, 
    con errore prefissato.
    

5._     NUMERI COMPLESSI

    Definizione ed operazioni su numeri complessi.
    Modulo e coniugato di un numero complesso.
    Numeri complessi in forma algebrica e trigonometrica.  
    Operazioni sui complessi nelle due forme.  Esponenziale complesso.
    Potenza di un complesso in forma trigonometrica.  
    Formula di De Moivre per le radici n-esime di un complesso.
    
    
6._     CALCOLO INTEGRALE.

    Definizione di integrale esteso ad un intervallo.
    Condizione caratteristica di integrabilita' (*).
    Condizione sufficiente per l'integrabilita' di funzioni continue su 
    intervalli chiusi e limitati (*).
    Integrabilita' delle funzioni monotone.
    Proprieta' di linearita', positivita' e additivita' dell'integrale (*).
    Integrali definiti.
    Teoremi della media integrale per funzioni integrabili e per funzioni 
    continue.
    
    Il problema della primitiva ed il teorema fondamentale del calcolo 
    integrale (di Torricelli).
    Primitive di funzioni elementari: integrazione per somma, per parti, per
    sostituzione.   
    Determinazione di tutte le primitive di una funzione su un'unione finita di
    intervalli, nota una di esse.
    Classi notevoli di funzioni integrabili elementarmente: funzioni razionali,
    e loro composte con esponenziali e funzioni trigonometriche.

    Definizione di integrale improprio al finito e all'infinito.
    Teoremi di confronto per integrali di funzioni positive.
    
  
7._     EQUAZIONI DIFFERENZIALI.

    Derivazione di funzioni a valori complessi(*).
    Risoluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti e
    secondo membro prodotto di polinomi per esponenziali complessi (*). 
    Risonanza (*).
 
 




NOTA:     
	- il programma del corso include anche argomenti di Algebra Lineare.

	- Non e' richiesta la conoscenza delle dimostrazioni per gli argomenti 
	  contrassegnati con l'asterisco (*).



Non esiste un testo ufficiale di riferimento.  La scelta e' libera.

Gran parte del materiale del corso e' reperibile, ad esempio, sul testo di
Acquistapace, Conti e Savojni (ed. McGraw Hill).