AnalisiMatematica_II_2003.txt

		
		
		
		Programma di Analisi Matematica II per Ingegneria Elettronica.
				Anno Accademico 2002-2003.

				( Prof. Placido Longo )





1._	INTEGRALI.
		Integrabilita' e integrale esteso.   Esempio di funzione non integrabile.
		Integrabilita' delle funzioni continue e delle funzioni monotone.
		Proprieta' dell'integrale: additivita', linearita'*, positivita'.
		Teorema della media integrale per funzioni integrabili e per funzioni continue.
		Disuguaglianza fra integrale del modulo e modulo dell'integrale.
		Integrali definiti.   Teorema fondamentale del calcolo integrale.   
		Determinazione di tutte le primitive di una funzione continua.
		Teoremi di integrazione elementare (parti, sostituzione).
		Classi di funzioni elementarmente integrabili: razionali (decomposizione in 
			fratti semplici), composizione di funzioni razionale con esponenziali, seni,
			coseni, radici quadrate di polinomi di secondo grado.
		Le funzioni iperboliche e le loro inverse.
		Integrali impropri al finito e all'infinito.
		Teoremi di confronto per integrandi positivi. Classi di funzioni test integrabili
			e non integrabili in senso improprio (1/x, 1/x lg(x)   etc.).
		Assoluta integrabilita'.   Esempio di funzione integrabile ma non assolutamente
			integrabile.
			
2._	SERIE NUMERICHE
		Serie convergenti,divergenti ed oscillanti: definizioni ed esempi  (serie
			geometrica, di Mengoli).   Serie telescopiche.
		Condizione necessaria per la convergenza. Condizione di Cauchy. Serie armonica.
		Serie a termini positivi e regolarita'.
		Teoremi di confronto fra serie, e fra serie e integrali. 
		Serie armoniche generalizzate.
		Criteri del rapporto e della radice.
		Convergenza assoluta e relazione con la convergenza.
		Teorema di Leibnitz. Esempio di serie convergente semplicemente ma non assolutamente.
		Riordinamenti di serie: proprieta' commutativa* e associativa* delle serie
			assolutamente convergenti.
		Serie prodotto e teoremi relativi*.

3_	SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI.
		Convergenza puntuale e uniforme.   
		Esempio di successione convergente puntualmente ma non uniformemente.
		Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme.   
		Convergenza totale di serie di funzioni.
		Teoremi che legano le varie forme di convergenza.
		Passaggio al limite sotto il segno d'integrale.   Integrazione per serie.
		Controesempio in ipotesi di sola convergenza semplice.
		Continuita' del limite uniforme di funzioni continue.*
		Derivazione termine a termine.*

4._	SERIE DI POTENZE.
		Definizione e lemma fondamentale.
		Raggio di convergenza e teorema relativo.
		Calcolo del raggio di convergenza: criteri del rapporto e della radice.
		Condizioni caratteristiche per la convergenza uniforme* (Abel) e totale*.
		Raggio di convergenza delle serie derivate.
		Analiticita'.   Serie di Taylor.   Condizioni sufficienti per l'analiticita'.
		Esempio di funzione con ogni derivata continua, ma non analitica.*
		Principio di identita' delle serie.
		
5._	SPAZI METRICI
		Distanza, convergenza, successioni di Cauchy, intorni, limiti, continuita'.
		Spazi vettoriali di dimensione infinita.
		Spazi normati e di Banach.   Continuita' della norma.
		Lo spazio delle funzioni continue con la norma del massimo modulo: completezza.
		Spazi euclidei e di Hilbert.  
		Disuguaglianza di Schwartz e continuita' del prodotto scalare.
		Esempio di spazio euclideo di dimensione infinita'.

6._	SERIE DI FOURIER
	     Serie astratte.
		Sistemi ortonormali numerabili e coefficienti di Fourier.
		Disuguaglianza di Bessel.   Teorema di Riesz e Fischer.
		Ortogonalita' fra somme parziali e resto della serie di Fourier.
		Basi ortonormali e sviluppo in serie di Fourier.
		Identita' di Parseval.
		Lo spazio l2: isomorfismo con ogni spazio di Hilbert a base numerabile.
		Proprieta' di minima distanza delle somme parziali della serie di Fourier.
	     Serie trigonometriche.
	     	Lo spazio delle funzioni di quadrato integrabile.
		Le basi ortonormali* dei soli seni e dei seni e coseni. 
		Funzioni periodiche pari e dispari.
		Serie trigonometriche complesse: la base* degli esponenziali.
		
7._	EQUAZIONI DIFFERENZIALI
		Ordine di equazioni e sistemi differenziali.   Forma normale.
		Riduzione di equazioni e sistemi a sistemi del primo ordine.
		Problema di Cauchy: teoremi di Peano* e Picard* sulle soluzioni locali.
		Teorema* di esistenza e unicita' globale per i sistemi lineari.
		Sistemi lineari omogenei: dimensione dello spazio delle soluzioni.
		Basi per lo spazio delle soluzioni: determinante wronskijano.
		Sistemi lineari non omogenei: struttura delle soluzioni.
		Metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
		Classi di equazioni e sistemi risolubili elementarmente:
			equazioni a variabili separabili;
			equazioni lineari a coefficienti costanti nell'insieme dei quasi-polinomi;
			riduzioni dei sistemi a coefficienti costanti ad equazioni;
			sistemi a coefficienti costanti: autovalori.
			
8._	CURVE
		Rettificabilita' e definizione di lunghezza di una curva parametrica.
		Teorema di rettificabilita' delle curve con derivate continue.
		Formula* per il calcolo della lunghezza di curve cartesiane e parametriche.
		
9._	TEORIA DEI CAMPI
		Campi di vettori e forme differenziali.
		Integrale curvilineo di campi e forme.
		Campi (forme) integrabili o esatti.
		Indipendenza dal cammino dell'integrale di un campo (forma) integrabile.
		Condizione necessaria di integrabilita' per i campi con derivate continue: 
			campi e forme chiuse (condizione del rotore).
		Condizione sul dominio* che assicura l'integrabilita' delle forme (campi) chiuse.
		L'integrale sulle curve chiuse: condizioni caratteristica di integrabilita'*.
		Esempio di campo (forma) chiuso non esatto.




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