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			Modulo di Analisi Matematica I
			  Ingegneria Elettronica.
			   (Anno acc. 2002-2003)

			   ( Prof. Placido Longo )
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1._    NUMERI NATURALI.

    Principio d'induzione per la verifica di proprieta' dei naturali.
    

2._    NUMERI REALI.

    Allineamenti decimali e doppia rappresentazione periodica dei decimali 
    finiti.   Numeri razionali e allineamenti periodici (*).
    Criteri d'uguaglianza e d'ordine per i numeri in forma decimale.
    Densita' dei razionali e degli irrazionali nei reali.
    Costruzione degli estremi superiore e inferiore di un insieme limitato(*).
    Completezza dei reali: principio di localizzazione (di Cantor).
    Operazioni aritmetiche sui reali mediante approssimazione decimale finita,
    con l'analisi dell'errore ( facoltativa per la divisione ).
    Potenza di base ed esponente reali.
    
    
3._    LIMITI E CONTINUITA'

    Definizione di funzione continua sui reali.
    Permanenza del segno per funzioni continue.
    Il teorema degli zeri per funzioni continue su un intervallo.
    Esistenza delle inverse delle funzioni elementari.

    Spazi metrici e proprieta' assiomatiche della distanza. Intorni.
    Punti interni, esterni, di frontiera, d'accumulazione, isolati.
    Insiemi aperti e chiusi.  Insiemi limitati.
    
    Limite di una funzione fra spazi metrici in un punto d'accumulazione del 
    suo dominio. Limiti all'infinito sui reali e negli spazi metrici.
    
Convergenza e divergenza di funzioni e successioni. 
    Condizione di Cauchy sufficiente* e necessaria per la convergenza. 
    Continuita' di funzioni fra spazi metrici.
    Limiti di successioni in spazi metrici.
    Limiti di somme, differenze, prodotti, quozienti di funzioni o successioni
    convergenti e divergenti sui reali.
    Limiti di funzioni composte. Limiti di potenze a base ed esponente 
    variabili.
    Limiti e ordinamento: teoremi di confronto.  
    Permanenza del segno per funzioni convergenti.
    Limiti notevoli.
    Forme indeterminate dei limiti di funzioni elementari: i sette tipi.
    Limiti e monotonia: proprieta' di convergenza e divergenza per funzioni 
    e successioni monotone.  Il numero e di Neper (*).
    Confronto di infinitesimi e infiniti: ordine. I simboli o e O di Landau.

    Limiti e continuita'.
    Continuita' e operazioni algebriche; composizione di funzioni continue.
    Studio dell'insieme di continuita' di una funzione elementare.
    Classificazione delle discontinuita' in base all'esistenza del limite.
    
    Funzioni continue in un intervallo: 
      Teorema dei valori intermedi.
      Monotonia di funzioni continue invertibili.
      Continuita' dell'inversa di una funzione continua invertibile.
	     
    Funzioni continue su un insieme chiuso e limitato: teorema di esistenza 
    del massimo e del minimo (*).

    Funzioni (positivamente) omogenee.  Esistenza del limite nell'origine.
    Insiemi connessi (per archi) e teorema degli zeri in piu' variabili.
    
    
3._    CALCOLO DIFFERENZIALE

    La derivata. Il polinomio di primo grado approssimante una funzione 
    nell'intorno di un punto del suo dominio: equazione della tangente.
    Derivata destra e sinistra.
    Derivabilita' e continuita'. Esempio di funzione continua non derivabile.
    Derivazione di funzioni elementari: teoremi di derivazione per le 
    operazioni algebriche, la potenza e la composizione.
    Derivabilita' dell'inversa di una funzione derivabile e invertibile.
    Derivate delle funzioni elementari.
    Derivate direzionali per funzioni di piu' variabili.
    Differenziale. Equazione del piano tangente al grafico.
    Esistenza delle derivate direzionali per funzioni differenziabili. 
    Derivate parziali e rappresentazione del differenziale: gradiente.
    Continuita' di funzioni differenziabili.
    Esempio di funzione discontinua con tutte le derivate direzionali.
    Funzioni a valori vettoriali, derivate, differenziali:
 jacobiano.
    Differenziale e derivate di funzioni composte (*).  
    Differenziabilita' di funzioni regolari (*).
    Derivate successive:  teorema di Schwarz (*).
    

4._    APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.

    La condizione necessaria (di Fermat) per un punto di estremo (massimo o
    minimo) interno.   Estremi relativi.
    I teoremi di Rolle e di Lagrange: studio delle funzioni su un intervallo 
    aventi derivata identicamente nulla, o monotone, o aventi pendenza limitata
    (condizione di Lipschitz).
    Applicazioni allo studio dei massimi, dei minimi e dell'immagine di una 
    funzione derivabile.
    Teoremi di De L'Hospital (Bernoulli) sulle forme indeterminate (*). Tipo 
    di discontinuita' della derivata.
    Formula di Taylor con resto di Peano(*). Condizioni sufficienti per massimi
    e minimi. Calcolo dell'ordine dell'infinitesimo per funzioni regolari.
    Formula di Taylor con resto di Lagrange(*).  Calcolo approssimato di 
    funzioni elementari con stima dell'errore.  Calcolo del numero e, 
    con errore prefissato.
    Condizione di Fermat per i massimi e minimi interni in piu' variabili.
    Formula di Taylor in piu' variabili (*): rapporti di infinitesimi 
    continui con le loro derivate e funzioni omogenee.




    

NOTA:  Non e' richiesta la conoscenza delle dimostrazioni per gli argomenti 
       contrassegnati con l'asterisco (*).