Programma di Analisi Matematica II per Ingegneria Elettronica.
				Anno Accademico 2004-2005.

				( Prof. Placido Longo )





1._	CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIU' VARIABILI
		Derivate direzionali per funzioni di piu' variabili. 
		Teorema di Fermat sui punti estremi in piu' variabili.
    		Differenziale. Equazione del piano tangente al grafico.
    		Teorema sulle derivate direzionali di funzioni differenziabili. 
   		Derivate parziali e rappresentazione del differenziale per  
			funzioni a valori scalari e vettoriali:gradiente, jacobiano.
    		Continuita' di funzioni differenziabili.
    		Esempio di funzione discontinua con tutte le derivate direzionali.
    		Differenziale e derivate di funzioni composte (*).  
    		Differenziabilita' di funzioni regolari (*).
    		Derivate successive:  teorema di Schwarz (*).
		Formula di Taylor (*). 
		Condizioni sufficienti per un estremo: segno della forme quadratiche e 
			matrice hessiana. 

2._	SERIE NUMERICHE
		Serie convergenti,divergenti ed oscillanti: definizioni ed esempi  (serie
			geometrica, di Mengoli).   Serie telescopiche.
		Condizione necessaria per la convergenza. Condizione di Cauchy.
		Divergenza della serie armonica.
		Serie a termini positivi e regolarita'.
		Teoremi di confronto fra serie, e fra serie e integrali.
		Serie armoniche generalizzate.
		Criteri del rapporto e della radice.
		Convergenza assoluta e relazione con la convergenza.
		Teorema di Leibnitz. Esempio di serie convergente semplicemente ma non assolutamente.
		Riordinamenti di serie: proprieta' commutativa* e associativa* delle serie
			assolutamente convergenti.
		Serie prodotto e teoremi relativi*.

3_	SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI.
		Convergenza puntuale e uniforme.
		Esempio di successione convergente puntualmente ma non uniformemente.
		Condizione di Cauchy* per la convergenza uniforme.
		Convergenza totale di serie di funzioni.
		Teoremi che legano le varie forme di convergenza.
		Passaggio al limite sotto il segno d'integrale.   Integrazione per serie.
		Controesempio in ipotesi di sola convergenza semplice.
		Continuita' del limite uniforme di funzioni continue.*
		Derivazione termine a termine.*

4._	SERIE DI POTENZE.
		Definizione e lemma fondamentale.
		Raggio di convergenza e teorema relativo.
		Calcolo del raggio di convergenza: criteri del rapporto e della radice.
		Condizioni caratteristiche per la convergenza uniforme* (Abel) e totale*.
		Raggio di convergenza della serie derivata.
		Serie di Taylor.  Analiticita'. 
		Condizioni sufficienti per l'analiticita'.
		Esempio di funzione con ogni derivata continua, ma non analitica.*

5._	SPAZI METRICI
		Distanza, convergenza, successioni di Cauchy, intorni, limiti, continuita'.
		Completezza.
		Spazi vettoriali di dimensione infinita.
		Spazi normati e di Banach.   Continuita' della norma.
		Spazi euclidei e di Hilbert.
		Disuguaglianza di Schwartz e continuita' del prodotto scalare.
		Esempio di spazio euclideo di dimensione infinita'.

6._	SERIE DI FOURIER
	        	Serie astratte in spazi euclidei.
		Sistemi ortonormali numerabili, coefficienti e serie di Fourier.
		Disuguaglianza di Bessel.
		Teorema di Riesz e Fischer sulla convergenza della serie di Fourier negli spazi di Hilbert.
		Ortogonalita' fra somme parziali e resto della serie di Fourier.
		Basi ortonormali e sviluppabilita' in serie di Fourier negli spazi di Hilbert.
		Identita' di Parseval.
		Proprieta' di minima distanza delle somme parziali della serie di Fourier.

	     		Serie trigonometriche.
	    	Lo spazio delle funzioni di quadrato integrabile.
		Le basi ortonormali* dei soli seni e dei seni e coseni.
		Funzioni periodiche sui reali.
		Invarianza per traslazione dei coefficienti di Fourier delle funzione periodica.
		Funzioni periodiche pari e dispari: serie di soli seni e soli coseni
		Serie trigonometriche complesse: la base* degli esponenziali.

7._	EQUAZIONI DIFFERENZIALI
		Ordine di equazioni e sistemi differenziali.   Forma normale.
		Riduzione di equazioni e sistemi a sistemi del primo ordine.
		Problema di Cauchy: teoremi di Peano* e Picard* sulle soluzioni locali.
		Teorema* di esistenza e unicita' globale per i sistemi lineari.
		Sistemi lineari omogenei: dimensione dello spazio delle soluzioni.
		Basi per lo spazio delle soluzioni: determinante wronskijano.
		Sistemi lineari non omogenei: struttura delle soluzioni.
		Metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
		Classi di equazioni e sistemi risolubili elementarmente:
			equazioni a variabili separabili;
			equazioni lineari a coefficienti costanti nell'insieme dei quasi-polinomi;
			riduzioni dei sistemi a coefficienti costanti ad equazioni;
			sistemi a coefficienti costanti: autovalori.
			



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