CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA INFORMATICA PROGRAMMA DEL CORSO DI MATEMATICA (L-Z) Anno accad. 2007-2008 *************************************************** ALGEBRA LINEARE LO SPAZIO EUCLIDEO Operazioni fondamentali sui vettori e proprieta` assiomatiche degli spazi vettoriali. Lunghezza (norma, modulo) di un vettore: prime proprieta` della norma. Prodotto scalare in R^n. Calcolo del coseno dell'angolo fra due vettori come funzione della distanza. Proprieta' assiomatiche del prodotto scalare. Relazioni con la norma. Vettori ortogonali. Vettore normale a una retta ed a un piano in forma implicita. Teorema di Pitagora. Proiezione di un vettore nella direzione di un altro. Disuguaglianza di Schwartz. Disuguaglianza triangolare per la norma. Sinossi delle proprieta' di R^n e degli assiomi di spazio vettoriale, spazio euclideo (con prodotto scalare), spazio normato e spazio metrico. Richiami di teoria degli insiemi. INDIPENDENZA LINEARE Definizioni ed esempi di sottospazio. Definizione di combinazione lineare, insieme di generatori, spazio generato da un insieme di vettori. Definizione di vettori linearmente indipendenti e dipendenti. Esempi in R^n. Impostazione del problema della risoluzione dei sistemi di equazioni lineari come equazioni in R^n. Unicita' e indipendenza lineare. Definizione di spazio di dimensione finita. Definizione di base per uno spazio di dimensione finita. Teorema della base*: tutte le basi hanno lo stesso numero d'elementi. Lo spazio vettoriale dei polinomi. Lo spazio dei polinomi e` di dimensione infinita*. Studio della dimensione di R^n: indipendenza dei sistemi di vettori non nulli ortogonali; base canonica. Indipendenza dei sistemi di vettori "triangolari". Calcolo della dimensione del sottospazio dei polinomi di grado non maggiore di N. I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI. Teoria dei sistemi lineari attraverso il metodo vettoriale. Rango e teorema di Rouche'-Capelli sulla risolubilita dei sistemi di equazioni lineari. Sistemi di n equazioni in n incognite: teorema di Cramer. Il metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari. Applicazioni ai problemi dell'indipendenza di un sistema di vettori, al calcolo della dimensione dello spazio generato da un insieme di vettori, alla scelta di una base nello spazio generato da un sistema di vettori: vettori pivot. Scambi di righe e di colonne. Risoluzione in funzione di incognite-parametro per i sistemi con colonne dipendenti. Scelta di un sottinsieme opportuno di righe per i sistemi con piu` equazioni che incognite. Problemi risolubili per riduzione a scala (Gauss). Completamento di un sistema di vettori indipendenti ad una base. APPLICAZIONI LINEARI Definizione di applicazione lineare fra spazi vettoriali. Struttura delle applicazioni lineari da R in R, da R in R^n, da R^n a R e da R^n in R^m. Il nucleo e immagine di un'applicazione lineare sono sottospazi. Teorema di Grassman* sulla relazione fra dimensione del nucleo, dell'immagine e dello spazio di partenza. Iniettivita` e nucleo. MATRICI somma, multiplo scalare e struttura di spazio vettoriale, matrice nulla e opposta. Matrici (riga e colonna) associate ad un vettore. Prodotto di matrici e di matrici per vettori. Relazioni fra il prodotto di matrici e quello di una delle due per le righe o le colonne dell'altra. Matrici quadrate, matrice identica e matrice inversa. Inversa di un prodotto. Il prodotto di matrici e` non commutativo. Matrice trasposta, trasposta di un prodotto. Uguaglianza delle inverse sinistra e destra. Sistemi lineari in forma matriciale. Risoluzione dei sistemi lineari mediante la matrice inversa. Procedimento per il calcolo dell'inversa per riduzione a scala. Una matrice quadrata e` invertibile se e solo se le colonne sono indipendenti. Giustificazione del procedimento per il calcolo dell'inversa. Risoluzione come trasformazione alla forma diagonale unitaria. Uguaglianza dell'inversa a destra e a sinistra. Invertibilita` di una matrice e della sua trasposta. Invarianza dello spazio generato da un insieme di vettori per addizione a uno di essi di una combinazione lineare dei rimanenti. DETERMINANTI proprieta' caratterizzanti*. Determinanti con colonne uguali. Determinante di matrici diagonali e triangolari. Il determinante non nullo e' condizione necesaria e sufficiente per l'indipendenza delle colonne. Regola di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari non singolari. La matrice inversa mediante i determinanti: complementi algebrici. Regola di Laplace* per lo sviluppo di un determinante secondo una riga o una colonna. Sviluppo di un determinante di ordine due e tre. Indipendenza lineare mediante i determinanti: minori estratti da una matrice. Invarianza del determinante per addizione ad una colonna di una combinazione lineare delle rimanenti: calcolo del determinante per riduzione alla forma triangolare. Determinante della trasposta*, del prodotto* (teorema di Binet), dell'inversa. ***************************** ANALISI MATEMATICA INTRODUZIONE ALL'ANALISI MATEMATICA La quadratura del segmento di parabola*. l'esistenza della radice quadrata. Condizione di Fermat sulla pendenza nei massimi e minimi: definizione della pendenza e limite. NUMERI REALI serie decimali e troncate a n cifre. Doppia rappresentazione* dei decimali finiti. Uguaglianza* e disuguaglianza* dei numeri reali. Massimi e minimi di insiemi di reali. Estremo superiore e inferiore*. Esempi. Completezza dei reali: esistenza dell'estremo superiore per gli insiemi superiormente limitati. Principio di localizzazione di Cantor (enunciato) * e legami con gli algoritmi per la radice, con il metodo di bisezione, con le stime per difetto e per eccesso di somma e prodotto*. Lemma sulla separazione delle classi degli estremi degli intervalli nelle ipotesi del principio di localizzazione. Principio di Localizzazione di Cantor* . Forma forte e debole. Definizione di somma e prodotto di numeri reali: maggiorazione dell'errore e verifica della proprieta` commutativa. CONTINUITA` Il problema generale dell'esistenza degli zeri: ipotesi necessarie e controesempi. Funzioni continue. Proprieta` di permanenza del segno. Teorema degli zeri e algoritmo di bisezione. Teorema dei valori intermedi. Monotonia stretta delle funzioni invertibili e continue su intervalli. Inverse delle funzioni elementari*. Continuita` dell'inversa*. Proprieta` delle funzioni continue*: continuita` delle funzioni elementari. Punti di massimo e minimo. Punti interni, esterni, di frontiera, d'accumulazione, isolati. Insiemi aperti e chiusi. Teorema di Weierstrass* sul massimo. LIMITI DI SUCCESSIONI Successioni convergenti, divergenti e oscillanti:definizioni ed esempi. Condizione sufficiente* e necessaria di Cauchy. Limitatezza delle successioni convergenti. Teoremi di convergenza e divergenza delle successioni monotone. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Successioni infinitesime e prodotti di infinitesime per limitate. Somme, opposto, differenze, prodotti, reciproco* e quoziente* di successioni convergenti. Comportamenti dei quozienti di infinitesimi (forma indeterminata). Azione di una funzione continua su una successione convergente. Teoremi algebrici sulle successioni divergenti. Altre forme indeterminate: quozienti di infiniti; prodotti di infinitesimi per infiniti, differenze di infiniti concordi. Comportamento di potenze a termini variabili; le altre tre forme indeterminate: un infinitesimo ad un infinitesimo, un infinito ad un infinitesimo e successione convergente ad 1 ad un infinito. I simboli "o piccolo" e "O grande" di Landau. LIMITI DI FUNZIONI Limiti finiti e infiniti nei punti di accumulazione del dominio; limiti destri, sinistri. Limiti a + e - infinito. Funzioni oscillanti. Esempi. Teorema della permanenza del segno. Condizione di Cauchy. Limitatezza locale delle funzioni convergenti. Teoremi di confronto. Teoremi algebrici. Limiti di funzioni monotone. Il cambio di variabile* nei limiti: teoremi* e contresempio. Forme indeterminate: limiti notevoli e limiti ad essi riconducibili: limiti di rapporti incrementali di funzioni elementari. DERIVATE La derivata, derivata destra e sinistra. Derivabilita` e continuita`: teorema e contresempio. Polinomio di primo grado "ottimale": derivata e retta tangente al grafico. Regole di derivazione delle funzioni elementari*: derivazione di somme, differenze, prodotti, quozienti, funzioni composte, potenze. APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Punti di estremo locale: condizioni sufficienti in ipotesi di derivabilita` (Fermat). Punti stazionari o critici. Teoremi di Rolle e Lagrange. Monotonia e segno della derivata; monotonia stretta. Esempio di funzione strettamente monotona con derivata non strettamente positiva. Le funzioni con derivata identicamente nulla. Studio dell'immagine di una funzione derivabile con derivata di segno costante su intervalli. Studio della natura dei punti stazionari mediante lo studio del segno della derivata in un intorno. Teoremi di Bernoulli* (de l'Hospital) sui rapporti di infinitesimi e di infiniti. Esempio di funzione derivabile con derivata discontinua*. Relazione fra il limite delle derivate in un punto e la derivata in quel punto. Derivate seconde e successive. Funzioni di classe C_m e C_infinito. Polinomio di Taylor. Teorema di Taylor con resto di Peano*. Condizioni sufficienti per un estremo locale*. Studio dei limiti di rapporti di infinitesimi riduzione al rapporto dei polinomi di Taylor. Teorema di Taylor con resto di Lagrange*. Calcolo approssimato di funzioni regolari e stima del resto. Derivata seconda di segno costante in un intervallo: convessita`, concavita`; flessi. PRIMITIVE Struttura. Conseguenze delle regole di derivazione di una somma, di un prodotto e di una funzione composta: regole di integrazione per decomposizione in somma, di integrazione per parti, per sostituzione diretta e per sostituzione inversa*. Esempi. Integrazione per decomposizione in somma di rapporti di polinomi con zeri del denominatore reali, semplici e distinti. Cenni allo studio della risolubilita` del sistema lineare risultante*. Le primitive di funzioni razionali con denominatore con fattori irriducibili di secondo grado. Classi di funzioni riconducibili a funzioni razionali: funzioni razionali di esponenziali, e di seno e coseno. Funzioni di radici di polinomi di primo e secondo grado: le funzioni iperboliche. NUMERI COMPLESSI Operazioni in forma algebrica, modulo, coniugato, zeri di polinomi a coefficienti reali. Forma trigonometrica: argomento, argomento principale ed esponenziale complesso. Formule di Eulero. Prodotto in forma trigonometrica, potenza e radici: formula di De Moivre. Teorema fondamentale dell'algebra e fattorizzazione completa di polinomi nei complessi. EQUAZIONI DIFFERENZIALI* Ordine. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari a coefficienti costanti. Problema di Cauchy. Equazione caratteristica delle equazioni omogenee. Equazioni nei quasi-polinomi complessi: struttura delle soluzioni e calcolo della soluzione particolare. Risonanza. Equazioni a coefficienti reali: Parte reale e immaginaria della soluzione complessa. Altri secondi membri riconducibili a quasi-polinomi. L'INTEGRALE L'Integrale di Riemann: definizione e Condizione caratteristica*. Esempio di funzione non integrabile. Relazioni e differenze fra l'integrale e l'area*. Proprieta` fondamentali*. Integrabilita` delle funzioni continue* e monotone. Integrali definiti. Teoremi della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Per gli argomenti contrassegnati con l'asterisco *, non e` richiesta la conoscenza delle dimostrazioni.