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		Argomenti di Analisi Matematica per il corso di 
		    Matematica (Ingegneria informatica M-Z)
			    (Anno acc. 2003-2004)

			    (Prof. Placido Longo )			    
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				Bozza n.1
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1._    NUMERI NATURALI.

    Principio d'induzione per la verifica di proprieta' dei naturali.
    Cenni di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni.
    
    

2._    NUMERI REALI.

    Allineamenti decimali e doppia rappresentazione periodica dei decimali 
    finiti.   Numeri razionali e allineamenti periodici (*).
    Criteri d'uguaglianza e d'ordine per i numeri in forma decimale.
    Densita' dei razionali e degli irrazionali nei reali.
    Costruzione degli estremi superiore e inferiore di un insieme limitato(*).
    Completezza dei reali: principio di localizzazione (di Cantor).
    Operazioni aritmetiche sui reali mediante approssimazione decimale finita,
    con l'analisi dell'errore ( facoltativa per la divisione ).
    Potenza di base ed esponente reali.
    
    
3._    LIMITI E CONTINUITA'

    Definizione di funzione continua sui reali.
    Permanenza del segno per funzioni continue.
    Il teorema degli zeri per funzioni continue su un intervallo.
    Il teorema dei valori intermedi.
    Inverse delle funzioni elementari.

    Spazi metrici e proprieta' assiomatiche della distanza. Intorni.
    Punti interni, esterni, di frontiera, d'accumulazione, isolati.
    Insiemi aperti e chiusi.  Insiemi limitati.
    
    Limite di una funzione fra spazi metrici in un punto d'accumulazione del 
    suo dominio. Limiti all'infinito sui reali e negli spazi metrici.
    Convergenza e divergenza. Continuita' di funzioni fra spazi metrici.
    Limiti di successioni in spazi metrici.
    Limiti di somme, differenze, prodotti, quozienti di funzioni e successioni
    convergenti e divergenti sui reali.
    Limiti di funzioni composte. Limiti di potenze a base ed esponente 
    variabili.
    Limiti e ordinamento: teoremi di confronto.  
    Permanenza del segno per funzioni convergenti.
    Limiti notevoli.
    Forme indeterminate dei limiti di funzioni elementari: i sette tipi.
    Limiti e monotonia: proprieta' di convergenza  e divergenza di funzioni e 
    successioni monotone.  Il numero e di Neper (*).
    Confronto di infinitesimi e infiniti: ordine. I simboli o e O di Landau.

    Limiti e continuita'.
    Continuita' e operazioni algebriche; composizione di funzioni continue.
    Studio dell'insieme di continuita' di una funzione elementare.
    Classificazione delle discontinuita' in base all'esistenza del limite.
    	     
    Funzioni continue su un insieme chiuso e limitato: teorema di esistenza 
    del massimo e del minimo (*).


3._    CALCOLO DIFFERENZIALE

    La derivata. Il polinomio di primo grado approssimante una funzione 
    nell'intorno di un punto del suo dominio: equazione della tangente.
    Derivata destra e sinistra.
    Derivabilita' e continuita'. Esempio di funzione continua non derivabile.
    Derivazione di funzioni elementari: teoremi di derivazione per le 
    operazioni algebriche, la composizione e la potenza.
    Derivate delle funzioni elementari.
    Derivate successive.
    

4._    APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.

    La condizione necessaria (di Fermat) per un punto di estremo (massimo o
    minimo) interno.   Estremi relativi.
    I teoremi di Rolle e di Lagrange: studio delle funzioni su un intervallo
    aventi derivata identicamente nulla o positiva o limitata: la derivata e le
    funzioni costanti, monotone, lipschitziane.
    Applicazioni allo studio dei massimi, dei minimi e dell'immagine di una 
    funzione derivabile su un intervallo.
    Teoremi di De L'Hospital (Bernoulli) sulle forme indeterminate (*). Tipo 
    di discontinuita' della derivata.
    Formula di Taylor con resto di Peano(*). Condizioni sufficienti per massimi
    e minimi. Determinazione dell'ordine dell'infinitesimo per funzioni regolari.
    Formula di Taylor con resto di Lagrange (*). Calcolo approssimato di 
    funzioni elementari con stima dell'errore:  calcolo del numero  e, 
    con errore prefissato.
    
  
6._     CALCOLO INTEGRALE.

    Definizione di integrale esteso ad un intervallo.
    Condizione necessaria e sufficiente di integrabilita' (*).
    Condizione sufficiente per l'integrabilita' di funzioni continue su 
    intervalli chiusi e limitati (*).
    Integrabilita' delle funzioni monotone.
    Proprieta' di linearita'(*), positivita' e additivita' dell'integrale.
    Integrali definiti.
    Teoremi della media integrale per funzioni integrabili e per funzioni 
    continue.
    
    Il problema della primitiva ed il teorema fondamentale del calcolo 
    integrale (di Torricelli).
    Primitive di funzioni elementari: integrazione per somma, per parti, per
    sostituzione.   
    Determinazione di tutte le primitive di una funzione su un'unione finita di
    intervalli, nota una di esse.
    Classi notevoli di funzioni integrabili elementarmente: funzioni razionali,
    e loro composte con esponenziali e funzioni trigonometriche.

    Definizione di integrale improprio al finito e all'infinito.
    Teoremi di confronto per integrali di funzioni positive.
    



NOTA:     
	- il programma del corso include anche argomenti di Algebra Lineare.

	- Non e' richiesta la conoscenza delle dimostrazioni per gli argomenti 
	  contrassegnati con l'asterisco (*).



Non esiste un testo ufficiale di riferimento.  La scelta e' libera.

Gran parte del materiale del corso e' reperibile, ad esempio, sul testo di
Acquistapace, Conti e Savojni (ed. McGraw Hill).