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			Modulo di Analisi Matematica I
			  Ingegneria Elettronica.
			   (Anno acc. 2003-2004)

			   ( Prof. Placido Longo )
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				Bozza n.1
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1._    NUMERI NATURALI.

    Principio d'induzione per la verifica di proprieta' dei naturali.
    Cenni di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. 
    

2._    NUMERI REALI.

    Allineamenti decimali e doppia rappresentazione periodica dei decimali 
    finiti.   
    Numeri razionali e allineamenti periodici (*).
    Criteri d'uguaglianza e d'ordine per i numeri in forma decimale.
    Densita' dei razionali e degli irrazionali nei reali.
    Costruzione degli estremi superiore e inferiore di un insieme limitato(*).
    Completezza dei reali: principio di localizzazione (di Cantor).
    Operazioni aritmetiche sui reali mediante approssimazione decimale finita,
    con l'analisi dell'errore ( facoltativa per la divisione ).
    Potenza di base ed esponente reali.
    
    
3._    LIMITI E CONTINUITA'

    Definizione di funzione continua sui reali.
    Permanenza del segno per funzioni continue.
    Il teorema degli zeri per funzioni continue su un intervallo.
    Il teorema dei valori intermedi.
    Inverse delle funzioni elementari.

    Spazi metrici e proprieta' assiomatiche della distanza. Intorni.
    Punti interni, esterni, di frontiera, d'accumulazione, isolati.
    Insiemi aperti e chiusi.  Insiemi limitati.
    
    Limite di una funzione fra spazi metrici in un punto d'accumulazione del 
    suo dominio. Limiti all'infinito sui reali e negli spazi metrici.
    Relazione fra convergenza negli spazi euclidei e convergenza delle componenti.
    Convergenza e divergenza di funzioni e successioni. 
    Condizione di Cauchy sufficiente* e necessaria per la convergenza.
    Continuita' di funzioni fra spazi metrici.
    Limiti di successioni in spazi metrici.
    Limiti di somme, differenze, prodotti, quozienti di funzioni o successioni
    convergenti e divergenti sui reali.
    Limiti di funzioni composte. Limiti di potenze a base ed esponente 
    variabili.
    Limiti e ordinamento: teoremi di confronto.  
    Permanenza del segno per funzioni convergenti.
    Limiti notevoli.
    Forme indeterminate dei limiti di funzioni elementari: i sette tipi.
    Limiti e monotonia: proprieta' di convergenza e divergenza per funzioni 
    e successioni monotone.
    Confronto di infinitesimi e infiniti: ordine. I simboli o e O di Landau.

    Limiti e continuita'.
    Continuita' e operazioni algebriche; composizione di funzioni continue.
    Studio dell'insieme di continuita' di una funzione elementare.
    Classificazione delle discontinuita' in base all'esistenza del limite.
  
    Funzioni continue su un insieme chiuso e limitato: teorema di esistenza 
    del massimo e del minimo (*).

    Funzioni (positivamente) omogenee: esistenza del limite nell'origine.
    
    
3._    CALCOLO DIFFERENZIALE

    La derivata. Il polinomio di primo grado approssimante una funzione 
    nell'intorno di un punto del suo dominio: equazione della tangente.
    Derivata destra e sinistra.
    Derivabilita' e continuita'. Esempio di funzione continua non derivabile.
    Derivazione di funzioni elementari: teoremi di derivazione per le 
    operazioni algebriche, la potenza e la composizione.
    Derivate delle funzioni elementari.
    Derivate direzionali per funzioni di piu' variabili.
    Differenziale. Equazione del piano tangente al grafico.
    Esistenza delle derivate direzionali per funzioni differenziabili. 
    Derivate parziali e rappresentazione del differenziale: gradiente.
    Continuita' di funzioni differenziabili.
    Esempio di funzione discontinua con tutte le derivate direzionali.
    Rappresentazione del differenziale di funzioni a valori vettoriali: matrice jacobiana.
    Differenziale e derivate di funzioni composte (*).  
    Differenziabilita' di funzioni regolari (*).
    Derivate successive:  teorema di Schwarz (*).
    

4._    APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.

    La condizione necessaria (di Fermat) per un punto di estremo (massimo o
    minimo) interno.   Estremi relativi.
    I teoremi di Rolle e di Lagrange: studio delle funzioni su un intervallo 
    aventi derivata identicamente nulla, o positiva o limitata: derivata e 
    funzioni costanti, monotone, lipschitziane.
    Applicazioni allo studio dei massimi, dei minimi e dell'immagine di una 
    funzione derivabile.
    Teoremi di De L'Hospital (Bernoulli) sulle forme indeterminate (*). Tipo 
    di discontinuita' della derivata.
    Formula di Taylor con resto di Peano(*). Condizioni sufficienti per massimi
    e minimi. Determinazione dell'ordine dell'infinitesimo per funzioni regolari.
    Formula di Taylor con resto di Lagrange(*).  Calcolo approssimato di 
    funzioni elementari con stima dell'errore: calcolo del numero e, 
    con errore prefissato.
    Condizione di Fermat per i massimi e minimi interni in piu' variabili.
    Formula di Taylor in piu' variabili (*): rapporti di infinitesimi 
    continui con le loro derivate e funzioni omogenee.

5._ INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI.

    Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: tecniche di risoluzione.
    Equazioni omogenee e sottospazio delle soluzioni: principio di sovrapposizione.
    L'equazione omogenea associata e costruzione(*) di una base delle soluzioni nello spazio 
    dei quasi-polinomi: equazione caratteristica.
    Equazioni non omogenee: struttura dell'insieme delle soluzioni.
    Equazioni non omogenee con secondo membro somma di quasi-polinomi: costruzione di una 
    soluzione(*).   Risonanza.



    

NOTA:  Non e' richiesta la conoscenza delle dimostrazioni per gli argomenti 
       contrassegnati con l'asterisco (*).