Programma del corso di  Analisi Matematica I
			(Ingegneria Elettronica
			    (Anno acc. 2004-2005)
			    
			    		(bozza n.1)
		

				
1._    NUMERI NATURALI.

    Principio d'induzione per la verifica di proprieta' dei naturali.
    Fattoriale. Binomio di Newton(*).

    
2._    NUMERI REALI.

    Allineamenti decimali e doppia rappresentazione periodica dei decimali 
    	finiti.   Numeri razionali e allineamenti periodici (*).
    Uguaglianza e disuguaglianza fra numeri in forma decimale.
    Densita' dei razionali e degli irrazionali nei reali(*).
    Costruzione degli estremi superiore e inferiore di un insieme limitato(*).
    Completezza dei reali: principio di localizzazione (di Cantor)(*).
    Operazioni aritmetiche sui reali mediante approssimazione decimale finita,
    	con l'analisi dell'errore per somme e prodotti.
    Potenza di base ed esponente reali.
    Funzioni e successioni reali.  Dominio. codominio, immagine.
    Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzione inversa.
    Successioni definite per ricorrenza.
    
    
3._    LIMITI E CONTINUITA'

    Definizione di funzione continua in un punto.
    Permanenza del segno per funzioni continue.
    Il teorema degli zeri per funzioni continue su un intervallo.
    Funzioni continue in un intervallo: 
       Il teorema degli zeri per funzioni continue su un intervallo.
       Teorema dei valori intermedi.
       Esistenza delle inverse delle funzioni elementari.  
       Determinazione dell'immagine di una funzione continua su un intervallo.
    Estremi di una funzione: punti di massimo e minimo locali e globali.
    Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: teorema (di Weierstrass)
    	di esistenza del massimo e del minimo (*).
    
    Distanza e Intorni.  Punti interni.
  
    Limite di una funzione e in un punto, limite destro e sinistro. Limiti all'infinito.
    Convergenza e divergenza di funzioni e successioni. Funzioni e successioni oscillanti.
    Limiti di somme, differenze, prodotti, quozienti di funzioni e successioni
    	convergenti e divergenti sui reali.
    Limiti di funzioni composte(*). Limiti di potenze a base ed esponente variabili.
    Limiti e ordinamento: teoremi di confronto.  
    Permanenza del segno per funzioni convergenti.
    Limiti notevoli.
    Forme indeterminate dei limiti di funzioni elementari: i sette tipi.
    Limiti e monotonia: proprieta' di convergenza  e divergenza di funzioni e 
    	successioni monotone. Il numero di Neper e (*).
    Confronto di infinitesimi e infiniti: ordine.    I simboli o e O di Landau.
    Limiti e continuita'.
    Continuita' e operazioni algebriche; composizione di funzioni continue.
    Studio dell'insieme di continuita' di una funzione elementare.
    Classificazione delle discontinuita' in base all'esistenza del limite.  

3._    CALCOLO DIFFERENZIALE

    La derivata. Il polinomio di primo grado approssimante una funzione 
    	nell'intorno di un punto del suo dominio: equazione della tangente.
    Derivata destra e sinistra.  Punti angolosi.
    Derivabilita' e continuita'. Esempio di funzione continua non derivabile.
    Derivata di costanti, di funzioni monotone, di funzioni con pendenza limitata
      		  (condizione di Lipschitz).
    Derivazione di funzioni elementari: teoremi di derivazione per le 
    	operazioni algebriche, la composizione e la potenza.
    Derivata dell'inversa di una funzione derivabile e invertibile.
    Derivate delle funzioni elementari.
    Primitive (integrazione indefinita).
    Primitive di funzioni elementari: integrazione per somma, per parti, per
    	sostituzione.   
    Classi notevoli di funzioni integrabili elementarmente: funzioni razionali,
    	e loro composte con esponenziali, radici di polinomi 
	di primo e secondo grado, e funzioni trigonometriche.  
	Funzioni iperboliche.
    Derivate successive.
    

4._    APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.

    La condizione necessaria (di Fermat) per un punto di estremo (massimo o
    	minimo)  locale interno. 
    I teoremi di Rolle e di Lagrange.
    Applicazioni allo studio delle funzioni su un intervallo
    		aventi derivata identicamente nulla, o di segno costante, o limitata.
    Determinazione di tutte le primitive di una funzione su un'unione finita di
    	intervalli, nota una di esse.
    Applicazioni dello studio del segno della derivata a massimi, minimi e immagine di una 
   		 funzione derivabile.
    Teoremi di De L'Hospital (Bernoulli) sulle forme indeterminate (*). 
    Formula di Taylor con resto di Peano(*). Condizioni sufficienti per massimi
    	e minimi. Calcolo dell'ordine dell'infinitesimo per funzioni regolari.
    Formula di Taylor con resto di Lagrange (*). Calcolo approssimato di 
    	funzioni elementari con stima dell'errore.  
    Calcolo del numero  e,  con errore prefissato.
    
    
5._     CALCOLO INTEGRALE.

    Definizione di integrale esteso ad un intervallo.
    Condizione caratteristica di integrabilita' (*).
    Condizione sufficiente per l'integrabilita' di funzioni continue su 
    	intervalli chiusi e limitati (*).
    Integrabilita' delle funzioni monotone.
    Proprieta' di linearita' (*), positivita' e additivita' dell'integrale (*).
    Integrali definiti.
    Teoremi della media integrale per funzioni integrabili e per funzioni 
    	continue.
    Il teorema fondamentale del calcolo integrale (di Torricelli).
    Definizione di integrale improprio al finito e all'infinito.
    Teoremi di confronto per integrali di funzioni positive.
    	Assoluta integrabilita'. 
    
  
6._     EQUAZIONI DIFFERENZIALI.
    Equazioni differenziali: definizione e ordine.
    Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili.
    Derivazione di funzioni a valori complessi(*): derivata dell'esponenziale complesso.
    Equazioni differenziali lineari: principio di sovrapposizione.
    	Equazioni omogenee e dimensione(*) dello spazio delle soluzioni.
	Struttura dell'insieme delle soluzioni delle equazioni non omogenee.
    Risoluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti:
    	equazioni omogenee e costruzione dello spazio delle soluzioni(*)
    	non omogenee con secondo membro polinomio esponenziale (*).  Risonanza (*).
 

   
Degli argomenti contrassegnati con l'asterisco (*) sono richiesti gli enunciati, ma non le dimostrazioni.