ALGEBRA LINEARE


SISTEMI LINEARI: notazione compatta; il caso delle righe e delle colonne nulle; equazioni e sistemi impossibili; sistemi "risolti"; trasformazioni elementari di sistemi in altri equivalenti o tali a meno di manipolazioni note delle soluzioni: permutazioni di righe, di colonne, sostituzione di una riga con un suo multiplo non nullo, sostituzione di una riga con la sua somma con un multiplo di un'altra; sistemi elementarmente risolubili: diagonali e triangolari con termini diagonali non nulli: il metodo di sostituzione all'indietro; sistemi "a scala". Determinazioni di tutte le (eventuali) soluzioni di un sistema "a scala": incognite (o colonne) pivot e parametri liberi.  L' algoritmo di eliminazione di Gauss, per ridurre un sistema arbitrario ad uno "a scala" mediante trasformazioni elementari: scelta dei pivot. Esempi diversi di sistemi compatibili e impossibili, con numero arbitrario di righe e colonne. Riduzione del carico di lavoro mediante permutazioni di righe e colonne in presenza di zeri. Risoluzione simultanea di un sistema con termini noti multipli: versione di Gauss-Jordan dell'algoritmo di eliminazione.

LO SPAZIO EUCLIDEO Rn.
Definizione di spazio vettoriale: le proprieta` delle operazioni algebriche sui vettori. Prodotto scalare, proiezione: disuguaglianza di Schwartz, area di un triangolo. Norma e distanza: disuguaglianza triangolare; sfere aperte e chiuse: intorni. Determinante 2x2; prodotto vettore in R3.
       
MATRICI.
Le  matrici e loro operazioni; sottospazi di matrici; matrici e sistemi lineari. Prodotto righe per colonne e inversa di matrici.

GEOMETRIA IN Rn.
Equazioni parametriche di: rette, piani, semirette, semipiani, angoli (combinazioni coniche), segmenti, triangoli, poligoni convessi (combinazioni convesse); punto medio di un segmento. Equazioni implicite (cartesiane) di rette in R2 e piani in R3: condizione di ortogonalita` degli spostamenti con il vettore dei coefficienti;  uso del prodotto vettore per ricavare l'equazione cartesiana di un piano parametrico, e quella parametrica di una retta cartesiana; confronto fra i metodi vettoriale e cartesiano: bisettrice di un angolo; distanza di un punto da una retta. Intersezione di piani e rette in forma implicita e parametrica; intesezione delle traiettorie e collisioni. Rette coincidenti, incidenti, parallele, sghembe. L'algoritmo di Gauss e intersezione di rette e piani; distanza e retta di minima distanza fra rette sghembe. Distanza da punti a rette o piani in forma implicita o parametrica;  conversioni da rette e piani in forma implicita a quella parametrica. 

DIPENDENZA LINEARE.
Definizione ed esempi: fratti semplici, sistemi di esponenziali complessi; sistemi di vettori "triangolari" e "diagonali". Il caso dei vettori in Rn: uso dell'algoritmo di Gauss per stabilire la dipendenza lineare.  Indipendenza lineare e coordinate rispetto ad un sistema indipendente: unicita`.  Lemma fondamentale sui sistemi di generatori: sopprimibilita` di un generatore dipendente.  Spazi di dimensione finita e infinita; esempi: Rn e polinomi di grado arbitrario. Definizione di base. Teorema di esistenza di basi: gli spazi di dimensione finita non ridotti al solo zero hanno basi. Lemma di scambio. Teorema sul massimo numero di vettori indipendenti: se uno spazio ha una base di n elementi, ogni sistema di m>n elementi e` dipendente. Teorema della dimensione: tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi (dimensione). Indipendenza lineare delle potenze. Aggiunta di un elemento indipendente ad uno span; teorema dei generatori: ogni sistema di n vettori indipendenti in uno spazio di dimensione n e` una base; decomposizione di funzioni razionali in fratti semplici: teoria; completamento ad una base; uso dell'algoritmo di Gauss nei problemi di dipendenza lineare e di calcolo della dimensione in Rn. Sistemi lineari in forma vettoriale:  condizioni di esistenza (teorema di Rouche'), di unicita`, teorema di Cramer sui sistemi quadrati. Sottospazi: definizione, somma, intersezione. Esempi. Teorema di Grassmann sulla dimensione dei sottospazi somma e intersezione. Somma diretta e unicita` della decomposizione. 


APPLICAZIONI LINEARI. 
Nucleo e immagine. Nucleo e immagine sono sottospazi. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive; inversa; nucleo e applicazioni iniettive; rango (dimensione dell'immagine); dim A(X) < = dim X; teorema di Grassmann: dim X=dim Ker A + dim A(X); invarianza della dimensione per applicazioni iniettive.  Equazioni lineari: principio di sovrapposizione e struttura delle soluzioni (equazione omogenea associata). Applicazioni lineari fra spazi euclidei: i casi R-->R R-->Rn, Rn-->R, Rn-->Rm. La matrice associata ad un'applicazione lineare fra spazi con basi assegnate; la matrice associata alla composizione di due applicazioni e` la matrice prodotto; applicazioni definite dal prodotto per una matrice: immagine dei vettori della base canonica e rango. 


DETERMINANTI. 
Le tre proprieta` fondamentali. Determinanti con due colonne uguali sono nulli; le n colonne sono indipendenti se e solo se il loro determinante e` non nullo. Un determinante non cambia se si somma ad una colonna una combinazione delle altre; permutazioni e segno di una permutazione: calcolo del numero delle inversioni; definizione di determinante; calcolo del determinante di matrici 2x2, 3x3, triangolari e diagonali; il determinante della trasposta e` uguale a quello della matrice (solo enunciato); proprieta` del determinante rispetto alle righe; calcolo mediante l'algoritmo di Gauss; teorema di Binet sul determinante del prodotto (solo enunciato); determinante dell'inversa; lo sviluppo di Laplace; calcolo dell'inversa di una matrice mediante i complementi algebrici; cenni alla analisi della complessita` di calcolo dei determinanti. 

TEORIA SPETTRALE IN SPAZI DI DIMENSIONE FINITA. Spazi vettoriali complessi: lo spazio Cn; la struttura euclidea complessa: il prodotto hermitiano e norma su Cn; teorema di Pitagora; versori; proiezione e ortogonalita` del resto; disuguaglianza di Schwartz e triangolare; il segno delle forma quadratiche su Rn: il caso diagonale ed effetti del cambio di variabili; forme bilineari e forme quadratiche astratte; esistenza ed unicita` di una forma bilineare simmetrica associata ad una forma quadratica; matrice di rappresentazione di una forma bilineare o quadratica rispetto ad una base; il caso euclideo: operatore associato ad una forma bilineare; la matrice di rappresentazione di una forma bilineare e` diagonale se esiste una base ortonormale u_i per la quale Au_i e` un multiplo di u_i.  Definizione di operatore diagonale rispetto ad una base e di operatore diagonalizzabile su uno spazio vettoriale reale o complesso di dimensione finita. Autovalori, autovettori, autospazi, spettro; condizione caratteristica di diagonalizzabilita`: esistenza di una base di autovettori (base spettrale); esempi di applicazione priva di autovalori reali, e di applicazione non diagonalizzabile. Esistenza di autovettori negli spazi complessi (teorema degli spazi invarianti): equazione e polinomio caratteristici; indipendenza di autovettori in autospazi distinti: diagonalizzabilita` di operatori su spazi di dimensione n dotati di n autovalori distinti. Operatori autoaggiunti su spazi euclidei complessi: gli autovalori sono reali; il complemento ortogonale di un autovettore e` invariante; autospazi distinti sono ortogonali. Il teorema spettrale (complesso): se A e` autoaggiunto da X complesso di dimensione finita in se`, X ammette una base ortonormale di autovettori di A. Condizione sulla matrice rispetto ad una base ortonormale necessaria e sufficiente perche' un operatore sia autoaggiunto: matrici autoaggiunte. Operatori definiti su Cn mediante prodotto per una matrice simmetrica reale: esistenza di autovettori reali. Condizione sulle parti reali e immaginarie perche' un vettore complesso sia ortogonale ad uno reale. Estensione del teorema della proiezione al caso della proiezione sul sottospazio generato da un numero finito di vettori ortonormali: sviluppo di Fourier e ortogonalita` del resto; esistenza di una base spettrale per matrici simmetriche reali; segno delle forme quadratiche noto il segno degli autovalori; studio del segno delle radici di un polinomio dotato di radici tutte reali ("segni" di Cartesio): condizioni necessarie e sufficienti perche' le radici siano tutte strettamente positive, tutte strettamente negative, tutte positive, tutte negative; forme simmetriche definite positive, definite negative, semidefinite positive, semidefinite negative, indefinite. L'algoritmo di Gauss e il numero di autovalori nulli, positivi e negativi di una forma reale simmetrica (senza dimostrazione); cenno all'enunciato del teorema di Sylvester. 

CAMBI DI BASE: matrice associata; relazioni fra le coordinate cartesiane di un vettore rispetto a due basi diverse, usando la matrice di cambio di base; relazioni fra le matrici associate ad un'applicazione lineare fra due spazi,rispetto a due diverse scelte delle basi per dominio e codominio; Il polinomio caratteristico di un'applicazione lineare non dipende dalla base scelta per rappresentarlo. Una nuova dimostrazione della condizione caratteristica di diagonalizzabilita` mediante la formula di trasformazione della matrice di rappresentazione di un'applicazione lineare per cambio di base in Rn: la matrice di cambiamento di base ha per colonne autovettori formanti una base. Coordinate rispetto ad una base ortonormale e coefficienti di Eulero-Fourier; algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt: ogni spazio euclideo di dimensione finita possiede basi ortonormali. Note sulla tecnica di Gauss-Sylvester: due modi di operare sulla matrice per ottenere i pivot nel caso in cui i termini voluti siano nulli: sommare una altra riga o permutarle, operando analogamente sulle colonne. 




           				 	ANALISI MATEMATICA II
 

LE FUNZIONI IN PIU` VARIABILI.
Curve, funzioni scalari di n variabili, superficie cartesiane e parametriche; un modello comune: funzioni da Rn a Rm; Funzioni continue; successioni di vettori e limiti. Cenni ai teoremi sulle funzioni continue: continuita` della somma e della composizione di funzioni continue;  insiemi connessi (per archi) e teorema degli zeri in piu` variabili; componenti scalari di funzioni vettoriali; stima dall'alto e dal basso della norma mediante il modulo delle componenti scalari; convergenza di una successione di vettori equivalente alla convergenza delle componenti scalari e analoga questione per la continuita`; intorni, punti interni, esterni, di frontiera; insiemi aperti e chiusi. punti interni, esterni, di frontiera: esempi; punti di accumulazione: approssimabilita`; punti isolati; limiti al finito (in un punto d'accumulazione) e all'infinito, per funzioni scalari e vettoriali di piu` variabili; limiti per funzioni complesse; i polinomi complessi non costanti divergono all'infinito; controesempio per i polinomi reali. Insiemi chiusi e limitati; la sfera {|x|<=1} e` chiusa. teorema di Weierstrass. Limiti di funzioni omogenee nell'origine. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue o convergenti. Limiti di funzioni composte: cambio di variabile. Il teorema fondamentale dell'algebra di Gauss: 1) Se p e` un polinomio, |p| ha minimo su C; 2) Se p e` un polinomio non costante e p(z) non e` nullo, allora esiste y in C tale che |p(y)|<|p(z)|; 3) Se p e` un polinomio non costante e z e` il punto di minimo per |p(x)| su C, allora p(z)=0. Fattorizzazione su C di un polinomio.  


IL CALCOLO DIFFERENZIALE.
Derivate direzionali e derivate parziali. L'esistenza della derivata in ogni direzione non implica la continuita`: un controesempio. Differenziale di una funzione reale di piu` variabili; piano tangente; la differenziabilita` implica la continuita`; la differenziabilita` implica l'esistenza di tutte le derivate direzionali; formula del differenziale e definizione di gradiente; vettore normale al grafico; la direzione di massima pendenza (ascendente e discendente). 
Il differenziale di funzioni da R in R; il differenziale di funzioni lineari e forme quadratiche; la formula classica del differenziale mediante il calcolo dei differenziali delle proiezioni sugli assi; il differenziale di funzioni da R in Rn, mediante i differenziali delle componenti scalari: velocita` e retta tangente; il differenziale di funzioni composte e` la composizione dei differenziali (solo enunciato); equazione delle curve di livello ed ortogonalita` della velocita` col gradiente nel punto. Teorema del differenziale: differenziabilita` di funzioni C1;  differenziale di funzioni da Rn in Rm: la matrice jacobiana; Derivate successive e notazioni varie; teorema di Schwarz. La formula di derivazione delle funzioni 
f(g(x)) con f:Rn-> R e g:R-> Rn; Formula di Taylor in piu` variabili (con resto di Lagrange): forma estesa, con dimostrazione e forma compatta (con il polinomio di Leibnitz) senza dimostrazione;  stima (di tipo Peano) dell'ordine di infinitesimo del resto (cenni); condizioni necessaria (di Fermat) sul gradiente per i punti di massimo o minimo locale interni. La formula di Taylor e le condizioni sugli autovalori dell'hessiana sufficienti per un estremo locale interno: studio del segno del rapporto (0-omogeneo) fra la forma hessiana e il quadrato della norma; hessiana indefinita e punti di sella; caso indeterminato dell'hessiana semidefinita: esempi di funzioni aventi o non aventi estremo. Discussione sulle difficolta` nell'uso della formula di Taylor per il calcolo dei limiti; 

FUNZIONI IMPLICITE. 
Il teorema di U.Dini sulla struttura locale delle soluzioni dell'equazione f(x,y)=0 vicino ad uno zero dato, con f continua e strettamente monotona in una direzione, e con f di classe C1 con una derivata parziale non nulla nello zero. Gli insiemi di livello non critici e la struttura locale delle curve di livello (grafici cartesiani); il teorema di Dini nel caso di funzioni scalari di tre o piu` variabili, con espressione delle derivate della funzione esplicita (solo enunciato); il caso vettoriale, la condizione dello jacobiano e l'espressione della matrice jacobiana delle componenti della funzione (vettoriale) esplicita (solo enunciato); teorema di inversione locale (solo enunciato). 

IL PROBLEMA DELLA PRIMITIVA IN PIU` VARIABILI.
Campi di vettori e forme differenziali lineari: corrispondenza reciproca.  Il problema dell'integrabilita` di campi o forme: campi integrabili e forme esatte o integrabili; determinazione diretta del potenziale per integrazione del sistema del gradiente. La condizione necessaria (del rotore) per l'integrabilita` dei campi C1: forme chiuse e campi irrotazionali; integrale curvilineo; congiunzione di cammini e integrale sulla congiunzione di due cammini; condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita` dei cammpi C0: l'indipendenza dell'integrale curvilineo dal cammino; condizione caratteristica di integrabilita`: l'integrale sulle curve chiuse e` nullo; esempio di campo irrotazionale non integrabile; determinazione della primitiva mediante integrazione del campo su una spezzata con lati paralleli agli assi;  omotopia (o deformazione) di curve; campi irrotazionali ed invarianza omotopica dell'integrale (solo enunciato); rot A=0 e` condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita` su insiemi semplicemente connessi; insiemi a stella; gli insiemi "a stella" sono semplicemente connessi; i convessi sono "a stella" e quindi semplicemente connessi. L'integrazione diretta del gradiente nel caso di campi irrotazionali non integrabili: prolungamento delle primitive. Campi irrotazionali nel complementare di un numero finito di punti: integrabilita`, tagli ed integrali sui cicli che circondano ogni punto (senza dimostrazioni). Determinazione di tutte le primitive, nota una di esse: struttura delle funzioni con gradiente nullo su un aperto connesso. 

CURVE PARAMETRICHE ED INTEGRALI CURVILINEI.
Curve parametriche semplici e chiuse; sostegno e curve diverse con uguale sostegno; cenno al teorema di Jordan; curve regolari; retta tangente ad una curva regolare; le curve piane C1 e regolari sono (localmente) grafici di funzioni C1; esempio di curva singolare (non regolare) che non e` grafico di funzione C1; Rettificabilita` e lunghezza di una curva; ascissa curvilinea. Esempio di curva continua non rettificabile; le curve C1 sono rettificabili; formula generale della lunghezza (solo enunciato); formule particolari per lunghezza di curve il cui sostegno e` un grafico cartesiano, o espresse in coordinate polari piane, cilindriche o sferiche; curve equivalenti e invarianza della lunghezza. Integrali curvilinei di funzioni estesi ad una curva parametrica; invarianza dell'integrale per cambio di parametrizzazione equivalente; 

MISURA ED INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE (senza dimostrazioni).
Misura di intervalli, plurintervalli, aperti, compatti; insiemi misurabili secondo Lebesgue: misura interna ed esterna; proprietà della misura di Lebesgue: monotonia, subadditivita` numerabile, additivita` numerabile sui disgiunti.  Continuita` verso l'alto e verso il basso della misura; numerazione e misura dei razionali. Integrabilita` e integrale secondo Lebesgue di funzioni limitate su insiemi di misura finita; condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita`; integrabilita` della funzione di Dirichlet; esempio di insieme non limitato di misura finita (sottografico di 1/(1+x^2)); l'integrale nel caso delle funzioni positive non limitate su insiemi di misura infinita; parte positiva e negativa; l'integrale per funzioni di segno variabile; l'integrabilita` del modulo come conseguenza dell'integrabilita`: differenze con l'integrale (improprio) di Riemann. Integrabilita` di funzioni misurabili e limitate su insiemi di misura finita. Proprieta` generali dell'integrale: linearita`, positivita`, monotonia, additivita` (numerabile) rispetto al dominio. Controesempio e teoremi di Beppo Levi e Lebesgue di passaggio al limite sotto il segno d'integrale; integrazione per serie. Proprieta` vere quasi-ovunque: la funzione di Dirichlet e` quasi-ovunque nulla.  Teoremi di Fubini e Tonelli sugli integrali iterati; applicazioni al calcolo pratico degli integrali multipli; domini normali. Cambio di variabili per integrali multipli; coordinate polari piane. Formule elementari di Gauss-Green-Ostrogradskij; applicazione al calcolo dell'area di una regione piana. 


SUPERFICIE PARAMETRICHE  (senza dimostrazioni)..

Superficie parametriche regolari; sostegno. Generatori degli spostamenti sul piano tangente in un punto del sostegno ed  equazione cartesiana e parametrica del piano tangente: direzione normale in un punto. Formula dell'area di una superficie parametrica regolare. Integrale (superficiale) di una funzione esteso al sostegno di una superficie parametrica.