Università di Pisa - Registro lezioni - Placido Longo - ALGEBRA LINEARE E ANALISI MATEMATICA II

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Dati registro

moduli: ALGEBRA LINEARE E ANALISI MATEMATICA II
insegnamento: ALGEBRA LINEARE E ANALISI MATEMATICA II (cod. 591AA)
corso di studi: IFO-L - INGEGNERIA INFORMATICA
responsabile: Placido Longo
docenti: Placido Longo
totale ore: 59
( Lezione: 45 ore , Esercitazione: 14 ore )

Calendario lezioni Dettaglio ore

Lezioni di Algebra Lineare

Mer 01/10/2014 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: Introduzione al corso. Lo spazio vettoriale Rn: vettori, scalari, vettore nullo, vettore opposto, uguaglianza di vettori, somma, prodotto per uno scalare, norma (o modulo o lunghezza), prodotto scalare, vettori ortogonali. Verifica delle proprieta` assiomatiche di spazio vettoriale, di spazio normato e di spazio euclideo reale, per lo spazio Rn. Il prodotto scalare non verifica la legge di annullamento del prodotto: esempio. (Placido Longo)
Gio 02/10/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: la proiezione ( ortogonale ); proprieta` fondamentali: linearita` e idempotenza; teorema della proiezione ortogonale ( ortogonalita` del resto ); la legge di annullamento del prodotto per il prodotto scalare per vettore; il prodotto scalare non e` associativo. (Placido Longo)
Ven 03/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: teorema di Pitagora; ortogonalita` dei multipli di vettori ortogonali; forma geometrica della diseguaglianza di Schwartz: la lunghezza della proiezione di un vettore e` non maggiore della lunghezza del vettore originale; condizioni per l'uguaglianza: vettori multipli; diseguaglianza di Schwartz (classica) e condizione per l'uguaglianza, con due dimostrazioni (dalla forma geometrica e diretta, studiando il segno del trinomio k-->|x-ky|^2); disuguaglianza triangolare con lo studio del caso di uguaglianza; identita` del parallelogramma; espressione del prodotto scalare in funzione della norma; teorema di Carnot. Distanza in Rn: verifica degli assiomi; spazi metrici. (Placido Longo)
Mer 08/10/2014 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: proprieta` estremale della proiezione: la proiezione di u su v e` il multiplo di v di minima distanza da u. Cenni agli spazi affini ed interpretazione dei vettori euclidei come spostamenti; equazioni parametriche di rette, semirette, segmenti. Esempi. Punto medio di un segmento e bisettrice di un angolo. Esempi. Interpretazione vettoriale dell'equazione implicita di una retta nel piano: ortogonalita`degli spostamenti sulla retta al vettore dei coefficienti delle incognite. (Placido Longo)
Gio 09/10/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: equazione normale del piano in R^3; retta perpendicolare ad un piano implicito e ad una retta implicita, per un punto dato; ogni vettore del piano e` somma di multipli di una qualunque coppia di vettori del piano non allineati; combinazioni lineari; equazione parametrica di un piano in R^3, anche non passante per l'origine (piano affine); Piano affine per tre punti non allineati. (Placido Longo)
Ven 10/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: sottospazi; esempi in R^2; spazi generati (span) e generatori; spazi di dimensione finita e infinita; esempi: R^n e` generato dalla base canonica; i polinomi sono uno spazio di dimensione infinita (privi di generatori); i polinomi di grado massimo N sono uno spazio di dimensione finita (generato dalle potenze). Rette e piani affini come traslazioni di sottospazi. Coni e combinazioni coniche: angoli fra semirette; convessi e combinazioni convesse: segmenti e triangoli. (Placido Longo)
Mer 15/10/2014 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: alcuni problemi geometrici che conducono alla risoluzione di sistemi lineari: intersezioni di rette e di piani parametrici, collisioni di punti in moto rettilineo uniforme. Altri problemi algebrici: appartenenza di un vettore allo span di alcuni altri; forma generale scalare di un sistema lineare; sistemi quadrati; sistemi omogenei; vettore soluzione, vettore dei termini noti; matrice dei coefficienti: indice di riga e di colonna; forma abbreviata di scrittura dei sistemi; equazione vettoriale equivalente ad un sistema lineare. Classi di sistemi immediatamente risolubili: sistemi identici (risolti), diagonali, triangolari (risolubili per sostituzione all'indietro). (Placido Longo)
Gio 16/10/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: sistemi scala e loro risoluzione, con esempi: il caso delle righe nulle nella matrice dei coefficienti - sistemi privi di soluzioni se il secondo membro non e` nullo, ed equazione sopprimibile se e` nullo; variabili pivot e non pivot; il caso delle variabili nascoste (colonne di zeri)come particolari variabili non pivot; la sostituzione all'indietro con tutte le variabili non pivot portate al secondo membro come parametri; spazio affine delle soluzioni; conversione da forma implicita a forma parametrica dell'equazione del piano in R^3. (Placido Longo)
Ven 17/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) non tenuta: aule non accessibili per sciopero del personale di custodia (Placido Longo)
Mer 22/10/2014 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: l'algoritmo di Gauss (metodo di eliminazione): ogni sistema lineare e` equivalente ad uno scala, che puo` essere determinato mediante una sequenza opportuna di: 1._ permutazioni di righe 2._ permutazioni di colonne (tenendo traccia dello scambio e ristabilendo l'ordine iniziale delle incognite a risoluzione effettuata) 3._ moltiplicazioni di ambo i membri di una qualunque riga (equazione) per un numero non nullo 4._ sostituzioni di una riga con la sua somma o la sua differenza con un'altra. Esempi vari di sistemi omogenei e non omogenei privi di soluzioni, con soluzione unica (triangolari), e con infinite soluzioni. Il complemento ortogonale di uno span e il sistema associato. Proiezione di un punto su uno spazio affine. (Placido Longo)
Gio 23/10/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: proiezione di un vettore su sottospazi lineari ed affini, generati da un numero finito di vettori. La proprieta` caratteristica della proiezione ortogonale: l'ortogonalita` del "resto". Il caso dei generatori ortogonali: formula della proiezione (con dimostrazione); il caso generale: il sistema lineare fornito dalle condizioni di ortogonalita` con tutti i generatori. Esempi. (Placido Longo)
Ven 24/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: esempi di proiezioni di vettori su spazi affini; Unicita` della proiezione. Espressione dell'area di un parallelogramma (e di un triangolo); il caso piano (legame con la disuguaglianza di Schwartz e con il determinante 2x2 delle coordinate dei lati); il caso generale; il caso affine (area di un triangolo, dati i tre vertici). Giustificazione geometrica della definizione di prodotto scalare e del coseno dell'angolo: il caso piano mediante la formula del coseno della differenza, ed il caso generale. (Placido Longo)
Mer 29/10/2014 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: (minima) distanza fra due rette sghembe; caso generale: coppie di punti di minima distanza fra spazi affini generici in R^n: il sistema lineare che esprime l'ortogonalita` della differenza con tutti i generatori dei due spazi; esempi; spazi vettoriali complessi; C^n e sistema di generatori costituito dalla base canonica; il prodotto scalare (hermitiano) su C^n: confronto con il prodotto in R^n; la norma in C^n e distanza; proiezione di un vettore nella direzione di uno non nullo e teorema della proiezione; la diseguaglianza di Schwartz e quella triangolare. (Placido Longo)
Gio 30/10/2014 12:30-13:30 (1:0 h) non tenuta: per impegno concomitante (Placido Longo)
Ven 31/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) non tenuta: per impegno concomitante (Placido Longo)
Mer 05/11/2014 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: osservazioni sulla proiezione in C^n. Condizione necessaria e sufficiente perche' un vettore possa essere soppresso da un sistema di generatori senza alterare lo span (lemma fondamentale); lemma di scambio; dipendenza lineare, con condizione caratteristica sulle combinazioni lineari nulle; esempi di sistemi dipendenti: sistemi contenenti lo zero, vettori allineati, complanari, vettori con sistemi ripetuti; basi; esempi: base canonica, sistemi triangolari, potenze nello spazio dei polinomi di grado massimo fissato; unicita` dei coefficienti delle combinazioni di vettori di una base, di risultato fissato: coordinate; (Placido Longo)
Gio 06/11/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: teorema di esistenza di basi per gli spazi di dimensione finita non ridotti al solo zero; teorema sul massimo numero di vettori indipendenti; teorema della dimensione: tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi; definizione di dimensione per gli spazi di dimensione finita. (Placido Longo)
Ven 07/11/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: lemma di estensione dei sistemi indipendenti (non basi); teorema dei generatori: ogni sistema indipendente di n vettori in X, con dim X=n, e` una base; ogni sistema di n generatori di X, con dim X=n, e` una base; ogni sistema indipendente in uno spazio di dimensione finita puo` essere esteso ad una base; il caso di R^n, e l'algoritmo di eliminazione: costruito un sistema lineare avente per colonne i vettori dati, il sistema dei vettori corrispondenti alle incognite pivot (nel sistema scala equivalente) e` una base per lo span dei vettori originali. (Placido Longo)
Mar 11/11/2014 16:30-17:30 (1:0 h) esercitazione: recupero della lezione perduta il 30/10/2014. Decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale (zeri del denominatore tutti reali e distinti); esempi. Il prodotto vettore fra vettori di R^3; esempi (Placido Longo)
Mer 12/11/2014 16:30-18:30 (2:0 h) esercitazione: proprieta` fondamentali del prodotto vettore (ortogonalita` al piano da essi definito, modulo del prodotto e area del parallelogramma, la definizione della fisica, verso mediante la regola della vite (o della mano destra) o del simposio greco) ed applicazioni a problemi di geometria vettoriale in R ^3: conversione da forma parametrica a forma implicita dell'equazione del piano e da forma implicita a parametrica di quella della retta; proiezione di un punto su un piano parametrico affine, utilizzando la direzione normale calcolata con il prodotto vettori dei generatori degli spostamenti; (Placido Longo)
Gio 13/11/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: sottospazi somma e intersezione: prova che siano sottospazi; somma diretta di piu` spazi, con condizione caratteristica sulle somme di vettori nulle; condizione caratteristica sulle somme dirette di due spazi: intersezione ridotta a zero; se la somma di piu` spazi di dimensione finita e` diretta, allora la dimensione dello spazio somma e` la somma delle dimensioni degli spazi addendi. (Placido Longo)
Ven 14/11/2014 14:30-16:00 (1:30 h) lezione: la somma fra un sottospazio e il suo complemento ortogonale e` diretta; la somma fra due sottoinsiemi complementari di vettori di una base e` diretta; teorema di Grassmann sulla relazione fra le dimensioni di due spazi e dei loro spazi somma e intersezione; applicazioni a qualche problema di geometria. (Placido Longo)
Ven 14/11/2014 16:00-16:30 (0:30 h) esercitazione: sistemi di generatori per la somma di span; inclusione (e identita`) di sottospazi in R^n, mediante la verifica dell'appartenenza di ogni generatore dello spazio contenuto al contenente: l'algoritmo di Gauss con termini noti multipli; parallelismo di spazi affini: inclusione degli spostamenti. (Placido Longo)
Mer 19/11/2014 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: applicazioni lineari fra spazi vettoriali; A(0)=0; esempi di applicazioni lineari: la derivata; applicazioni lineari fra R^n ed R^m: la struttura di prodotto; nucleo e immagine; A iniettiva <=> ker A={0}; ker A e Im A sono sottospazi; il teorema di Grassmann sulle applicazioni lineari definite su spazi di dimensione finita: i casi dim A(X)=0 e dim ker A=0 (A iniettiva) (Placido Longo)
Gio 20/11/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: il teorema di Grassmann per applicazioni lineari: il caso in cui nucleo ed immagine hanno dimensione positiva; teorema di Cramer sulle applicazioni lineari fra spazi di uguale dimensione. (Placido Longo)
Ven 21/11/2014 14:30-16:30 (2:0 h) esercitazione: soluzioni dell'equazione differenziale u"-u=t; intersezione di sottospazi; somma diretta di sottospazi di R^n; nucleo di un'applicazione lineare da R^n in R^m: base; immagine di un'applicazione lineare, rango e base. (Placido Longo)
Mar 25/11/2014 13:30-15:00 (1:30 h) esercitazione: (lezione di recupero di quella persa il 31/10/2014) somma diretta di piu` spazi (generati da vettori dipendenti); immagine, basi dell'immagine, rango, dimensione del nucleo, nucleo e basi del nucleo di applicazioni fra spazi euclidei. (Placido Longo)
Mar 25/11/2014 15:00-15:30 (0:30 h) lezione: (lezione di recupero di quella persa il 31/10/2014) prodotto di composizione; applicazione identica; applicazioni invertibili e inversa; le applicazioni invertibili sono suriettive. (Placido Longo)
Mer 26/11/2014 16:30-17:30 (1:0 h) lezione: (segue) prova che A e` invertibile se e solo se A e` iniettiva e suriettiva, con il lemma: l'inversa vale 0 nello 0; l'inversa e` lineare; se A:X-->Y e` invertibile allora dim X = dim Y; un'applicazione A fra spazi di uguali dimensioni e` invertible se e solo se e` iniettiva, (oppure suriettiva); calcolo dell'inversa di un'applicazione da R^n in se': risoluzione degli n sistemi lineari A(X_i)=e__i e variante di Jordan dell'algoritmo di Gauss; precauzioni nel caso di permutazioni di colonne. (Placido Longo)
Mer 26/11/2014 17:30-18:30 (1:0 h) esercitazione: invertibilita` e calcolo dell'inversa per applicazioni da R^n in se'. (Placido Longo)
Gio 27/11/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: matrici, tipo, somma, multiplo, zero, opposto; matrici quadrate, triangolari (superiori e inferiori), diagonali, identiche; vettori (matrici) riga e colonna; convenzione di Einstein(-Landau); tipo del prodotto e prodotto di matrici. (Placido Longo)
Ven 28/11/2014 14:30-15:30 (1:0 h) esercitazione: prodotto di matrici; esempio di prodotto non commutativo di matrici quadrate. (Placido Longo)
Ven 28/11/2014 15:30-16:30 (1:0 h) lezione: prodotto di matrici per vettori (colonna): notazione matriciale per i sistemi lineari; rappresentazione delle applicazioni lineari tra spazi euclidei di dimensione maggiore di uno come prodotti matrici per vettori; associativita` e distributivita` del prodotto di matrici; non commutativita` (in generale) del prodotto; commutativita` del prodotto di matrici diagonali; matrici identiche e prodotto; inversa destra e sinistra; le inverse destre e sinistre (se esistono) coincidono; colonne del prodotto sono i prodotti del primo fattore per le colonne del secondo; l'algoritmo di Gauss-Jordan e calcolo dell'inversa (destra). (Placido Longo)
Mer 03/12/2014 16:30-17:30 (1:0 h) lezione: l'algoritmo di Gauss in versione matriciale: matrici di permutazione e matrici che sommano ad una riga un multiplo di un'altra e loro invertibilita`. Coordinate rispetto ad una base e matrice associata ad un'ap;licazione lineare e a due basi; la matrice associata alla composizione e` il prodotto delle matrici associate. (Placido Longo)
Mer 03/12/2014 17:30-18:30 (1:0 h) esercitazione: calcolo di matrici associate ad applicazioni lineari e basi: il caso della derivata su polinomi di grado (massimo) fissato, e il caso di applicazioni fra spazi R^n, mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan. (Placido Longo)
Gio 04/12/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: matrici reali e complesse trasposte, aggiunte, autoaggiunte, simmetriche, e loro tipi: definizione ed esempi; aggiunte e prodotto scalare; aggiunta di un prodotto; sistema lineare trasposto. (Placido Longo)
Ven 05/12/2014 14:30-15:00 (1:30 h) lezione: le righe di una matrice quadrata sono indipendenti se e solo se lo sono le colonne; l'inversa sinistra di una matrice e` la trasposta dell'inversa destra della sua trasposta; l'inversa sinistra di una matrice esiste se e solo se esiste quella destra; inversa di un prodotto; inversa della trasposta; inversa di un multiplo. Matrice di cambio di base; cambio di coordinate, in funzione della matrice di cambio di base; trasformazione della matrice associata al variare delle basi del dominio e del codominio. (Placido Longo)
Ven 05/12/2014 15:00-15:30 (0:30 h) esercitazione: matrici di cambio di base in R^n e algoritmo di Gauss-Jordan; trasformazioni di coordinate relative a due basi date. (Placido Longo)
Mer 10/12/2014 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: teoria dei determinanti: tre proprieta` assiomatiche (Artin) come funzione delle colonne (multilineare, alternante, vale 1 sulle colonne della matrice identica); determinante della trasposta e del prodotto (teorema di Binet), senza dimostrazioni; determinanti di matrici con colonne (o righe) uguali sono nulli; condizione necessaria e sufficiente per la dipendenza delle colonne (o delle righe) e` il determinante nullo; sommare ad una colonna (o riga) una combinazione delle altre lascia il determinante inalterato; formula di Cramer per i sistemi lineari non singolari; il determinante di matrici triangolari e diagonali e` il prodotto degli elementi diagonali. Sviluppo di Laplace e complementi algebrici (o cofattori), senza dimostrazione; formule rapide per i determinanti di matrici 2x2 e 3x3. (Placido Longo)
Gio 11/12/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: esempi di sviluppi di Laplace; formula dell'inversa coi cofattori(senza dimostrazione). Operatori diagonali rispetto ad una base; operatori diagonalizzabili, con esempio; autovalori e autovettori; autospazi e spettro. (Placido Longo)
Ven 12/12/2014 14:30-16:30 (2:0 h) non tenuta: aula inaccessibile per sciopero. (Placido Longo)
Mer 17/12/2014 16:30-18:00 (1:30 h) lezione: condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilita`: esistenza di basi spettrali; autovettori in autospazi distinti sono indipendenti: la somma di autospazi e` diretta; condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilita`: la somma delle dimensioni degli autospazi e` pari alla dimensione dello spazio; teorema di esistenza degli autovettori (o degli spazi invarianti) per operatori lineari negli spazi complessi; equazione caratteristica. (Placido Longo)
Mer 17/12/2014 18:00-18:30 (0:30 h) esercitazione: esempi di operatori diagonalizzabili su R, su C ma non su R, e non diagonalizzabili; calcolo di spettri; (Placido Longo)
Gio 18/12/2014 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: invarianza del polinomio caratteristico per cambio di base e cenni alla teoria degli invarianti: determinante e traccia; teoria spettrale per gli operatori autoaggiunti: definizione; lo spettro e` reale; autospazi distinti sono ortogonali; il complemento ortogonale di un autovettore di A e` invariante per A; enunciato del teorema spettrale per gli operatori autoaggiunti su spazi euclidei complessi di dimensione finita (non nulla). (Placido Longo)
Ven 19/12/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: teorema spettrale per operatori autoaggiunti su spazi complessi, di dimensione finita non nulla; condizione necessaria e sufficiente sulla matrice associata rispetto ad una (qualunque) base ortonormale perche' un operatore sia autoaggiunto; operatori reali su C^n (definiti da una matrice reale rispetto alla base canonica: un operatore reale con spettro reale ha autovettori reali (parti reali o immaginarie degli autovettori complessi; ortogonalita` di vettori complessi con vettori reali: ortogonalita` in Rn della parte reale ed immaginaria; teorema spettrale reale per operatori autoautoaggiunti (simmetrici); forme quadratiche: classificazione nel caso diagonale; matrice simmetrica associata ad una forma quadratica ed uso della diagonalizzazione per lo studio del segno. (Placido Longo)
Ven 19/12/2014 16:30-17:30 (1:0 h) esercitazione: (recupero parziale ore perse il 17/10/2014) diagonalizzabilita`, spettro, autospazi. (Placido Longo)
Sab 20/12/2014 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: (recupero della lezione persa il 12/12/2014) esempi di classificazione delle forme quadratiche attraverso la loro matrice (simmetrica) senza calcolarne lo spettro: studio del segno degli zeri del polinomio caratteristico mediante 1) la regola dei segni di Cartesio, e 2) teorema di Sylvester con algoritmo di Gauss modificato. (Placido Longo)

Lezioni di Analisi Matematica II

Mar 03/03/2015 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: funzioni fra spazi euclidei reali come modelli: curve (moti) e superficie parametriche. Metriche o distanze e spazi metrici: assiomi della distanza; gli spazi normati sono metrici; sfere aperte e chiuse: intorni; successioni convergenti in spazi metrici; punti interni, esterni, di frontiera; l'insieme dei punti interni e dei punti di frontiera; punti di accumulazione ed isolati; insiemi aperti e chiusi; i chiusi sono i complementari degli aperti; insiemi limitati (Placido Longo)
Mer 04/03/2015 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: diametro di un insieme; diametro di una sfera aperta e chiusa; insiemi limitati e diametro finito; stime della norma con i moduli delle componenti: condizione caratteristica per la convergenza di successioni di vettori; i chiusi contengono i limiti delle successioni di loro punti; ogni punto d'accumulazione di un insieme e` limite di una successione di suoi punti; funzioni continue a valori vettoriali: continuita` delle componenti scalari; (Placido Longo)
Gio 05/03/2015 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: I punti di accumulazione degli insiemi chiusi appartengono ad essi; limiti di immagini continue di successioni convergenti; continuita` della somma; teorema di permanenza del segno per funzioni scalari di variabile vettoriale continue. (Placido Longo)
Mar 10/03/2015 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: continuita` delle funzioni composte; insiemi connessi; teoremi di Weierstrass per funzioni scalari continue di piu` variabili: teorema degli zeri; teorema del massimo (SOLO ENUNCIATO). Limiti: successioni di vettori divergenti e oscillanti; funzioni scalari e vettoriali al finito (in un punto d'accumulazione del dominio) e all'infinito (per un dominio non limitato): INIZIO; il teorema della permanenza del segno per funzioni scalari di variabile vettoriale convergenti. (Placido Longo)
Mer 11/03/2015 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: limiti di funzioni di piu` variabili all'infinito, finiti e infiniti; condizione di convergenza di Cauchy (solo enunciato); il cambio di variabile nei limiti: le tre ipotesi (alternative); (Placido Longo)
Mer 11/03/2015 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: esempi vari di calcolo dei limiti. (Placido Longo)
Gio 12/03/2015 10:30-11:30 (1:0 h) non tenuta: sospensione dell'attivita` didattica per assemblea studentesca. (Placido Longo)
Mar 17/03/2015 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: i polinomi complessi non costanti divergono all'infinito; le funzioni scalari continue in R^n, divergenti all'infinito, hanno minimo; se un polinomio complesso non costante non si annulla in un punto allora esistono punti nei quali il suo modulo e` strettamente minore; il teorema fondamentale dell'algebra, di Gauss: ogni polinomio complesso non costante si annulla in qualche punto di C. Coni e funzioni omogenee su un cono; omogeneita` delle forme quadratiche e della norma; omogeneita` del prodotto, del quoziente, della potenza di funzioni omogenee; il limite in 0 di una funzione 0-omogenea non costante non esiste. (Placido Longo)
Mer 18/03/2015 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: limiti al finito e all'infinito per funzioni omogenee (incluse le forme quadratiche) e non. (Placido Longo)
Gio 19/03/2015 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: l'algoritmo di Euclide per il massimo comune divisore. Derivate nella direzione degli assi coordinati (le derivate parziali) e regola principale del loro calcolo: considerare costanti tutte le altre coordinate e derivare, nel modo consueto, rispetto a quella prescelta; punti di estremo (minimo e massimo) locali e globali; il teorema di Fermat sui punti di estremo interni per le funzioni di piu` variabili (inizio). (Placido Longo)
Mar 24/03/2015 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: teorema di Fermat (condizione necessaria per un estremo locale interno): dimostrazione; esempio di funzione derivabile in un punto in ogni direzione, ma ivi discontinua (Dini); introduzione alla differenziabilita`: la retta tangente in R; definizione di differenziabilita` e di differenziale: notazione; differenziale di funzioni costanti e lineari; continuita` di funzioni differenziabili; esistenza di tutte le derivate direzionali per funzioni differenziabili e relativa formula. (Placido Longo)
Mer 25/03/2015 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: rappresentazione (formula) del differenziale come opportuno prodotto per l'incremento, nei vari casi: da R in R, da R in R^n, da R^n in R e da R^n in R^m (derivata classica, velocita`, gradiente, jacobiana); la formula classica del differenziale di funzioni scalari; le funzioni di classe C^1 in un intorno di un punto sono ivi differenziabili. (Placido Longo)
Gio 26/03/2015 10:30-11:30 (1:0 h) non tenuta: lezione non tenuta per impegni concomitanti. (Placido Longo)
Mar 31/03/2015 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: piano tangente e vettore normale ai grafici cartesiani; differenziale delle funzioni composte (senza dimostrazione); gradiente delle funzioni composte; il caso particolare delle funzioni composte da una da R in R^n e una da R^n ad R: gradiente, curve di livello e direzione di massima pendenza ascendente e discendente; derivate seconde e teorema di Schwartz. (Placido Longo)
Mer 01/04/2015 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Studi di differenziabilita` di funzioni di piu` variabili (Placido Longo)
Gio 09/04/2015 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: la formula di Taylor per funzioni di piu` variabili: la prova con il resto di Lagrange, senza riduzione dei termini simili. (Placido Longo)
Mar 14/04/2015 08:30-10:00 (1:30 h) lezione: condizioni sufficienti per estremi locali: forma hessiana definita e indefinita; punti di sella; hessiane semidefinite: controesempi. (Placido Longo)
Mar 14/04/2015 10:00-10:30 (0:30 h) esercitazione: esempi di ricerca degli estremi interni in piu` variabili (Placido Longo)
Mer 15/04/2015 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: la formula di Taylor per funzioni di piu` variabili, con riduzione dei termini simili (coefficienti polinomiali di Leibnitz): ordine lessicografico per le partizioni dell'intero N in somme di interi non negativi; un esempio. Introduzione al problema delle funzioni implicite; teorema di Ulisse Dini sulla struttura degli zeri di una funzione continua strettamente monotona nell'intorno di uno zero dato interno: esistenza di una "formula risolutiva locale" continua. (Placido Longo)
Gio 16/04/2015 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: teorema di Dini (segue): continuita` della funzione esplicita; il teorema delle funzioni implicite Dini) per funzioni di classe C^1: sostituzione dell'ipotesi di stretta monotonia nell'intorno con quella di segno dell'opportuna derivata parziale nello zero dato. (Placido Longo)
Mar 21/04/2015 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: fine della dimostrazione della formula della derivata della funzione che esplicita y in funzione di x nell'equazione f(x,y)=0; generalizzazioni a una singola equazione di piu` variabili, ed a sistemi di equazioni di piu` variabili (SENZA DIMOSTRAZIONI): l'ipotesi sullo jacobiano; inversione locale di applicazioni da R^n in R^n aventi determinante jacobiano non nullo. (Placido Longo)
Mer 22/04/2015 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: estremi di una funzione su insiemi chiusi: lo studio sulla frontiera; massimi e minimi vincolati; tre tecniche di rappresentazione del vincolo: come grafico cartesiano, come sostegno di una parametrizzazione e in forma implicita; determinazione di max e min con il vincolo espresso nelle tre forma; il metodo dei moltiplicatori di Lagrange nel caso del vincolo implicito (SENZA DIMOSTRAZIONE). (Placido Longo)
Mer 22/04/2015 12:30-13:30 (1:0 h) esercitazione: esempi di studio di estremi di funzioni regolari su insiemi chiusi e limitati: esempi, con le varie tecniche di rappresentazione della frontiera. (Placido Longo)
Gio 23/04/2015 10:30-11:30 (1:0 h) esercitazione: il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la ricerca di estremi vincolati. (Placido Longo)
Mar 28/04/2015 08:30-10:00 (1:30 h) lezione: introduzione al problema della primitiva: campi vettoriali e forme differenziali lineari; forma associata ad un campo e campo associato ad una forma; integrabilita` e primitive (o potenziali) di un campo (conservativo o potenziale) o di una forma (esatta); integrale di un campo o di una forma esteso ad una curva regolare" cenno alla differenza di potenziale, nel caso integrabile; (Placido Longo)
Mar 28/04/2015 10:00-10:30 (0:30 h) esercitazione: calcolo di potenziali di forme e campi per integrazione diretta del sistema differenziale del gradiente: il ruolo delle costanti (funzioni delle variabili residue) arbitrarie e riduzione successiva del numero delle variabili. (Placido Longo)
Mer 29/04/2015 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: condizione necessaria di integrabilita` dei campi C0: indipendenza dal cammino dell'integrale; corollario sull'integrale sulle curve chiuse; condizione di integrabilita` per i campi di classe C1 (condizione del rotore): campi irrotazionali e forme chiuse; esempio di forma chiusa non integrabile (e di campo irrotazionale non integrabile); il metodo di integrazione diretta del gradiente applicato nel caso del controesempio precedente: potenziali locali ma non globali; (Placido Longo)
Gio 30/04/2015 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: estensione del teorema di Torricelli a piu` variabili: invarianza dell'integrale di un campo per cambio di scala dei tempi; cammino inverso; additivita` dell'integrale per cammini consecutivi; condizione necessaria e sufficiente perche' un campo di classe C0 sia integrabile e` che il suo integrale non dipenda dal cammino, ma solo dagli estremi con costruzione della primitiva del campo integrandolo su un cammino arbitrario fra un punto fisso e il suo argomento. (Placido Longo)
Mar 05/05/2015 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: condizione necessaria e sufficiente di integrabilita` per i campi di classe C0: l'integrale su ogni curva chiusa e` nullo; omotopia o deformazione di curve con estremi comuni o chiuse: invarianza omotopica dell'integrale di un campo irrotazionale (senza dimostrazione); insiemi semplicemente connessi e relativo teorema di integrabilita` : un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso e` integrabile; classi particolari di insiemi semplicemente connessi: insiemi convessi e insiemi stella; esempio di insieme non semplicemente connesso. (Placido Longo)
Mar 05/05/2015 09:30-10:30 (1:0 h) esercitazione: costruzione di potenziali per integrazione del campo da un punto fisso ad uno mobile (Torricelli); funzioni con gradiente nullo su un aperto connesso e determinazione di tutte le primitive di un campo definito su un insieme sconnesso: componenti connesse. (Placido Longo)
Mer 06/05/2015 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: integrale e integrabilita` di campi e forme. (Placido Longo)
Gio 07/05/2015 10:30-11:30 (1:0 h) esercitazione: integrabilita` di campi e forme; costruzioni di potenziali: integrazione diretta del gradiente, per integrazione su un cammino da un punto fisso, per prolungamento di potenziali locali; (Placido Longo)
Mar 12/05/2015 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: area racchiusa da una curva parametrica per integrazione su di essa di xdy, o di -ydx, o della loro semisomma; curve in coordinate polari e trasformazione in coordinate cartesiane. (Placido Longo)
Mar 12/05/2015 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: introduzione alla rettificabilita`; lunghezza della poligonale associata ad una partizione dell'intervallo dei parametri; curve rettificabili e non rettificabili; definizione di lunghezza di una curva rettificabile; esempio di curva di classe C0 non rettificabile. (Placido Longo)
Mer 13/05/2015 11:30-13:00 (1:30 h) lezione: rettificabilita` di curve C^1: teorema di Torricelli per funzioni vettoriali, stima "triangolare" della norma dell'integrale con l'integrale della norma (cenno di dimostrazione), rettificabilita` e stima della lunghezza con l'integrale del modulo della velocita` per curve C^1; formula della lunghezza (senza dimostrazione). (Placido Longo)
Mer 13/05/2015 13:00-13:30 (0:30 h) esercitazione: funzioni iperboliche e loro proprieta` fondamentali; calcolo della lunghezza di un arco di parabola. (Placido Longo)
Gio 14/05/2015 10:30-11:30 (1:0 h) esercitazione: riepilogo sulle funzioni elementarmente integrabili; lunghezze di grafici cartesiani e polari (Placido Longo)
Mar 19/05/2015 08:30-10:00 (1:30 h) lezione: coordinate cilindriche e sferiche: elemento di linea; ascissa curvilinea; integrale curvilineo di una funzione su una curva; invarianza dell'integrale per parametrizzazioni equivalenti (concordi o discordi). Introduzione alla teoria della misura: misura di Lebesgue di intervalli, plurintervalli, insiemi aperti. (Placido Longo)
Mar 19/05/2015 10:00-10:30 (0:30 h) esercitazione: lunghezze ed integrali curvilinei: uso delle coordinate cilindriche. (Placido Longo)
Mer 20/05/2015 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: misura di Lebesgue di compatti (chiusi limitati); insiemi misurabili secondo Lebesgue: misura interna ed esterna; misurabilita` per insiemi non limitati; proprieta` degli insiemi misurabili: misurabilita` di unione, intersezione, differenza; proprieta` della misura di Lebesgue: monotonia, subadditivita`, additivita`, continuita` verso l'alto e il basso; insiemi numerabili: i razionali; numerabile additivita` e misura dei razionali; integrale di Lebesgue per funzioni limitate su insiemi misurabili di misura finita. (Placido Longo)
Gio 21/05/2015 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: integrabilita` e integrale (nullo) della funzione di Dirichlet; l'integrale di Lebesgue per funzioni positive non limitate o definite su insiemi di misura infinita; parte positiva e parte negativa di una funzione; l'integrale di Lebesgue per funzioni di segno variabile. (Placido Longo)
Mar 26/05/2015 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Integrabilita` e assoluta integrabilita`: confronto fra integrale di Lebesgue e di Riemann (improprio). I teoremi di Fubini e Tonelli sugli integrali iterati: proiezioni e sezioni; insiemi "normali" rispetto ad un asse; integrazione per "fili" o per "strati" in tre variabili; esempi; cambio di variabili per gli integrali multipli: l'esempio delle coordinate polari piane (rimozione della frontiera, invertibilita`); la trasformazione del dominio in coordinate polari: alcuni esempi. (Placido Longo)
Mer 27/05/2015 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: formule di Gauss-Green-Ostrogradskij (senza dimostrazione): orientamento positivo della frontiera; dimostrazione delle formule per l'area della regione racchiusa da una curva mediante le formule di Gauss. Superficie parametriche: superficie regolari, sostegno; base di vettori tangenti (colonne della Jacobiana della superficie); equazione parametrica del piano tangente ad una superficie regolare; vettore normale e forma implicita dell'equazione del piano tangente; formula dell'area di una superficie regolare; area dei grafici cartesiani di funzioni.Esempi. (Placido Longo)
Gio 28/05/2015 10:30-11:00 (0:30 h) lezione: integrali superficiali su superficie parametriche e grafici cartesiani; coordinate cilindriche e solidi di rotazione: volume e superficie. (Placido Longo)
Gio 28/05/2015 11:00-11:30 (0:30 h) esercitazione: L'integrale su R della distribuzione gaussiana e^(-x^2); esempi di integrali superficiali. (Placido Longo)
Sab 30/05/2015 09:00-12:00 (3:0 h) esercitazione: (recupero delle due ore di lezione perse il 12/3/2015 e 26/3/2015, ed un'ora di riepilogo supplementare) integrali multipli e superficiali; solidi di rotazione; cambi di variabili notevoli; baricentro e momenti d'inerzia rispetto agli assi; esercizi proposti dagli studenti. (Placido Longo)

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