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Placido Longo

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modulo
ALGEBRA LINEARE
insegnamento
ALGEBRA LINEARE E ANALISI MATEMATICA II (cod. 591AA)
corso di studi
IFO-L - INGEGNERIA INFORMATICA
responsabile
Placido Longo
docenti
Placido Longo
totale ore
117 ore e 20 minuti
( Esercitazione: 38 ore e 50 min. , Lezione: 78 ore e 30 min. )

Calendario lezioni     Dettaglio ore

Lezioni

  1. Lun 30/09/2013 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Organizzazione del corso ed altre informazioni rilevanti. Introduzione all'Algebra Lineare: leggi fisiche che, in opportune condizioni, indicano una proporzionalita` fra grandezza; legge di Hooke/Young e di Ohm. Grandezze vettoriali: forze e spostamenti. Somma, differenza, multiplo, vettore nullo. Componenti di uno spostamento rispetto agli assi; vettore= sistema di componenti; operazioni sui vettori usando le componenti. Sistemi di equazioni di primo grado o lineari: scritture abbreviate usando i vettori. Vettori di componenti come modelli di sistemi complessi: la scavatrice a cucchiaio, l'elicottero, la mano. (Placido Longo)
  2. Gio 03/10/2013 13:30-14:30 (1:0 h) lezione: Le proprieta` fondamentali delle operazioni sui vettori (assiomi di spazio vettoriale). Norma (o lunghezza o modulo) di un vettore: proprieta` assiomatiche. Versore di un vettore non nullo. Il prodotto scalare di due vettori e le sue proprieta`. Il coseno dell'angolo formato da due versori e il prodotto scalare. Il coseno dell'angolo fra due vettori non nulli. (Placido Longo)
  3. Ven 04/10/2013 14:30-16:30 (2:0 h) esercitazione: esempi di risoluzione dei sistemi lineari, nei vari casi (Placido Longo)
  4. Mer 09/10/2013 14:30-15:30 (1:0 h) lezione: prodotto scalare; disuguaglianza di Schwartz e triangolare; esercizi su prodotto scalare e norma. (Placido Longo)
  5. Mer 09/10/2013 15:30-16:30 (1:0 h) non tenuta: Lezione non tenuta per impegno concomitante. (Placido Longo)
  6. Gio 10/10/2013 12:30-13:30 (1:0 h) esercitazione: sistemi lineari con le varie notazioni. (Placido Longo)
  7. Ven 11/10/2013 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: introduzioni alle matrici nei sistemi lineari. (Placido Longo)
  8. Mer 16/10/2013 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: multipli di vettori ortogonali sono ortogonali; teorema della proiezione: il resto della proiezione e` ortogonale alla direzione di proiezione. La diseguaglianza di Schwartz in forma geometrica: la norma della proiezione e` minore o eguale al vettore proiettato; l'uguaglianza vale solo se il vettore da proiettare e` un multiplo di quello che individua la direzione di proiezione; la proiezione di x su y e` il multiplo di y di minima distanza da x; identita` del parallelogramma; espressione del prodotto scalare tramite la norma; "teorema di Carnot" con i vettori; area di un parallelogramma e di un triangolo costruito su due vettori. Equazione parametrica della retta; conversione da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane e viceversa. (Placido Longo)
  9. Gio 17/10/2013 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: la direzione normale ad una retta implicita (equazione cartesiana): il vettore dei coefficienti delle incognite; generalizzazione al piano in R3: vettore normale; interpretazione cinematica dell'equazione parametrica della retta: il moto rettilineo uniforme; spostamenti su un piano ed equazione parametrica del piano; il caso degli spostamenti paralleli; la combinazione lineare di vettori. (Placido Longo)
  10. Ven 18/10/2013 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: retta per un punto normale ad un piano cartesiano; piano parametrico per tre punti; i sistemi lineari delle intersezioni e delle "collisioni" su rette parametriche. SISTEMI LINEARI. Sistemi elementarmente risolubili o privi di soluzioni: "risolti", diagonali, triangolari, "scala"; sistemi triangolari e risoluzione per sostituzione all'indietro; sistemi scala: incognite e colonne pivot; trasferimento al secondo membro di tutte le colonne "non pivot" con il ruolo di parametri liberi e trasformazione in un sistema triangolare risolubile; le righe di zeri e il ruolo dei termini noti: sistemi non risolubili o eliminazione dell'equazione; le colonne di zeri (incognite presenti nel vettore delle soluzioni, ma non espicitamente presenti in nessuna delle equazioni del sistema con esempio : x=0 nel piano cartesiano); le permutazioni di righe e di colonne; l'algoritmo di Gauss: trasformare il sistema in uno a scala (sostanzialmente) equivalente. (Placido Longo)
  11. Mer 23/10/2013 16:30-18:30 (2:0 h) esercitazione: l'algoritmo di eliminazione di Gauss: esempi dei vari casi di riduzione a scala e risoluzione (sostituzione all'indietro; permutazione di righe e di colonne; sistemi privi di soluzione; i sistemi triangolari e la soluzione unica; eliminazione di righe e colonne di zeri; criteri per la scelta dei pivot. Algoritmo di Gauss-Jordan: riduzione dei coefficienti alla diagonale di valori 1 con gli altri nulli. (Placido Longo)
  12. Gio 24/10/2013 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: l'algoritmo di Gauss-Jordan con secondi membri multipli. Sottospazio.Sottospazi di R2: rette per l'origine. Lo spazio generato da un numero finito di vettori: spazi di dimensione finita e infinita. Un sistema di generatori di Rn: la base canonica. Un esempio di spazio vettoriale astratto su R: i polinomi a coefficienti reali. I polinomi di grado massimo fissato sono uno spazio di dimensione finita (sono generati dalle potenze di x di esponente non maggiore del grado). Lo spazio dei polinomi (senza limiti di grado) non e` generato da un numero finito di suoi elementi: dimensione infinita. (Placido Longo)
  13. Ven 25/10/2013 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: i polinomi sono uno spazio di dimensione infinita (privo di generatori); appartenenza di un vettore allo span di altri: riduzione ad un sistema lineare; il complemento ortogonale di un sottospazio: definizione e prova che è un sottospazio; determinazione del complemento ortogonale di uno span; esempi; la definizione di prodotto vettore di due vettori in R3: ortogonalità del prodotto vettore coi fattori; equazione implicita di un piano parametrico; classificazione delle posizioni di una coppia di rette: rette coincidenti, parallele, incidenti, sghembe. (Placido Longo)
  14. Mer 30/10/2013 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: verifica sul parallelismo di due vettori; determinazione della minima distanza fra due rette parametriche: il sistema dei due punti sulle due rette a differenza ortogonale ad entrambe le rette; verifica che le soluzioni di tale sistema realizzano la minima distanza fra le due rette; risolubilita` del sistema: il caso delle rette incidenti e sghembe (soluzione unica) e delle rette parallele e coincidenti (infinite soluzioni). Sottospazio somma ed intersezione; determinazione di un sistema di generatori per somme ed intersezioni di spazi di generatori noti; inclusioni ed identita` di sottospazi di generatori noti. (Placido Longo)
  15. Gio 31/10/2013 12:30-13:30 (1:0 h) non tenuta: attivita` didattica sospesa dai direttori dei dipartimenti della Scuola di Ingegneria (Placido Longo)
  16. Mer 06/11/2013 16:30-17:30 (1:0 h) esercitazione: calcolo di intersezioni di sottospazi (Placido Longo)
  17. Mer 06/11/2013 17:30-18:30 (1:0 h) lezione: somma diretta di spazi; condizione caratteristica sulle somme di vettori nulle; condizione caratteristica sull'intersezione, per la somma diretta di due spazi. Proiezione di un vettore sullo spazio generato da un sistema di vettori ortogonali: definizione ed ortogonalita` del resto. Coefficienti di Eulero-Fourier di un vettore rispetto ad un sistema ortogonale. (Placido Longo)
  18. Gio 07/11/2013 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: soppressione di un vettore in uno span: lemma fondamentale. Lemma di scambio. Dipendenza ed indipendenza lineare: esempi. Condizione caratteristica: combinazioni nulle a coefficienti non tutti nulli. (Placido Longo)
  19. Ven 08/11/2013 16:00-17:30 (1:30 h) esercitazione: esercizi vari di riepilogo (Placido Longo)
  20. Mer 13/11/2013 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: estensioni di sistemi di vettori indipendenti con elementi esterni allo span; definizione di base; la "base canonica" e` una base per Rn; esistenza di basi per gli spazi di dimensione finita non nulla; teorema sul massimo numero di vettori indipendenti in uno spazio, nota una base; teorema della dimensione (sul numero di elementi di una qualunque base); teorema dei generatori: un sistema di n vettori indipendenti in uno spazio di dimensione n genera lo spazio; teorema di completamento di un sistema indipendente ad una base. (Placido Longo)
  21. Gio 14/11/2013 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: basi e somma diretta; completamento e somma diretta; somma diretta di piu` spazi; unicita` della decomposizione in somma per le somme dirette; contresempio di piu` spazi con intersezione ridotta allo 0 la cui somma non e` diretta; teorema sulla dimensione della somma diretta di piu` spazi; teorema di Grassmann sulla dimensione degli spazi somma ed intersezione (inizio). (Placido Longo)
  22. Ven 15/11/2013 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: teorema di Grassmann sulla dimensione del sottospazio somma(conclusione); il principio di induzione; prova per induzione dell'indipendenza degli esponenziali con coefficienti nell'esponente distinti; span in Rn: uso dell'algoritmo di Gauss per il calcolo della dimensione, per l'estrazione di una base, per la dipendenza e l'indipendenza lineare; indipendenza dei sistemi ortogonali. (Placido Longo)
  23. Mar 19/11/2013 15:30-16:30 (1:0 h) lezione: indipendenza di un sistema di generatori in numero pari alla dimensione; condizione caratteristica per la somma diretta di piu` spazi: la dimensione della somma e` uguale alla somma delle dimensioni degli addendi; criteri pratici perche' una somma sia diretta; proiezione su uno span: il caso di un sistema indipendente con esistenza della soluzione unica per il sistema dell'ortogonalita` del "resto". (Placido Longo)
  24. Mar 19/11/2013 16:30-17:30 (1:0 h) esercitazione: somme, somme dirette ed intersezioni di sottospazi in Rn. (Placido Longo)
  25. Mer 20/11/2013 16:30-18:30 (2:0 h) lezione: La proiezione su un sottospazio di dimensione finita: unicita` ed esistenza nel caso degli spazi con generatori dipendenti. Applicazioni lineari; A(0)=0; nucleo e immagine; nucleo e immagine sono sottospazi; iniettivita` e nucleo; teorema di Grassmann sulle applicazioni lineari su spazi di dimensione finita. (Placido Longo)
  26. Ven 22/11/2013 14:30-16:30 (2:0 h) esercitazione: struttura generale delle applicazioni lineari su Rn. I casi particolari di applicazioni fra R ed R, R ed Rn, Rn ed R e la struttura di prodotto, rispetto ad un prodotto opportuno. Struttura dell'immagine, span delle immagini degli elementi di una qualunque base (base canonica), e sistema lineare del nucleo. Esempi di applicazione dell'algoritmo di eliminazione di Gauss alla risoluzione di vari problemi in Rn: calcolo di dimensioni, estrazione di basi, dipendenza e indipendenza, rango di un'applicazione lineare, base dell'immagine, dimensione e basi del nucleo; somma diretta di piu` spazi attraverso il calcolo delle dimensioni degli addendi e dello spazio somma. (Placido Longo)
  27. Mar 26/11/2013 17:30-18:30 (1:0 h) lezione: decomposizione ortogonale; posizioni reciproche di spazi affini. (Placido Longo)
  28. Gio 28/11/2013 12:30-13:30 (1:0 h) esercitazione: posizioni reciproche e distanza fra spazi affini: esempi. (Placido Longo)
  29. Ven 29/11/2013 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: numeri complessi: forma algebrica e trigonometrica; formule di moltiplicazione per seno e coseno; formula di Moivre per le radici n-esime; il coniugato. Lo spazio Cn; il prodotto scalare su Cn e le sue proprieta`. (Placido Longo)
  30. Mar 03/12/2013 13:30-15:30 (2:0 h) lezione: matrici; lo spazio delle matrici mxn; lo zero; notazioni con indici e presentazione grafica: righe e colonne; prodotto righe per colonne; tipo (numero di righe e colonne) del prodotto; esempi; convenzione di Einstein(-Landau) sugli indici ripetuti; proprieta` associativa e distributiva; identita` e delta di Kronecker; l'algebra delle matrici quadrate; esempio di prodotto non commutativo; (Placido Longo)
  31. Mar 03/12/2013 17:30-18:30 (1:0 h) esercitazione: proiezione su span di vettori ortogonali in Cn. Prodotto a sinistra con matrici con tutti gli elementi nulli meno uno: esempio e teoria; prodotto di una matrice per un vettore colonna: sistemi lineari; (Placido Longo)
  32. Mer 04/12/2013 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: vettori riga e vettori colonna; prodotto matrice per vettore; matrice associata ad un'applicazione lineare ed a due basi; struttura delle applicazioni lineari da Rn ad Rm; matrice trasposta e proprieta` fondamentali; matrici autoaggiunte. (Placido Longo)
  33. Mer 04/12/2013 12:30-13:30 (1:0 h) esercitazione: matrici associate; matrici aggiunte reali e complesse; matrici autoaggiunte complesse e simmetriche reali. (Placido Longo)
  34. Mer 04/12/2013 16:30-17:30 (1:0 h) lezione: matrice associata alla composizione di applicazioni lineari; espressione a blocchi del prodotto, utilizzando il prodotto del primo fattore per le colonne del secondo; il problema dell'inversa sinistra e sistemi lineari equivalenti; risolubilita` nel caso che le colonne di A siano indipendenti; uso dell'algoritmo di Gauss-Jordan; applicazioni lineari che assumono valori prefissati su vettori prefissati. (Placido Longo)
  35. Mer 04/12/2013 17:30-18:30 (1:0 h) esercitazione: calcoli di inverse e di applicazioni lineari di valori assegnati (Placido Longo)
  36. Gio 05/12/2013 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: determinanti; proprieta` assiomatiche del determinante come funzione delle colonne (Artin): 1) e` multilineare (lineare rispetto ad ogni colonna, ferme le altre), 2) e` alternante (cambia segno se si permutano due colonne), e 3) vale 1 sui vettori della base canonica, presi nell'ordine consueto; altre proprieta` conseguenti: vale zero se due colonne sono eguali e non cambia valore se si somma ad una colonna una combinazione delle rimanenti. Teorema: il determinante si annulla se e solo se le colonne sono indipendenti. (Placido Longo)
  37. Ven 06/12/2013 09:30-11:00 (1:30 h) lezione: formula (regola) di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari quadrati non singolari (colonne indipendenti); Il determinante della trasposta e` uguale a quello della matrice originale (SOLO ENUNCIATO); esistenza dell'inversa sinistra nella sola ipotesi dell'esistenza della destra, e loro uguaglianza; inversa di un prodotto; Teorema di Binet sul determinante del prodotto; proprieta` del determinante in funzione delle righe; permutazioni, inversioni e segno delle permutazioni; definizione del determinante (SENZA LA VERIFICA DELLE PROPRIETA` ASSIOMATICHE); (Placido Longo)
  38. Ven 06/12/2013 11:00-11:30 (0:30 h) esercitazione: determinante di matrici 2X2, 3X3, diagonali e triangolari; formula di Cramer; uso dell'algoritmo di Gauss per il calcolo del determinante; (Placido Longo)
  39. Ven 06/12/2013 14:30-15:30 (1:0 h) lezione: sviluppo di Laplace di un determinante (SENZA DIMOSTRAZIONE): cofattori; formula dell'inversa. Cambi di base: matrice associata, formula di trasformazione delle coordinate e di trasformazione della matrice associata ad un'applicazione in funzione delle matrici dei cambi di base. (Placido Longo)
  40. Ven 06/12/2013 15:30-16:30 (1:0 h) esercitazione: sviluppi di Laplace; inversa coi cofattori; matrici associate a cambi di base. (Placido Longo)
  41. Mar 10/12/2013 17:30-18:30 (1:0 h) lezione: operatori diagonali rispetto ad una base ed operatori diagonalizzabili; esempio di operatore diagonalizzabile non diagonale; autovalori, autovettori, autospazi, spettro; condizione necessaria e sufficiente perche' un operatore sia diagonalizzabile e` che esista una base del dominio costituita da autovettori di A (base spettrale): sulla diagonale della matrice associata alla base spettrale appaiono gli autovalori; esempio di operatore non diagonalizzabile. (Placido Longo)
  42. Gio 12/12/2013 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: esempi di operatori diagonalizzabili su C, ma non su R; gli autospazi sono nuclei di operatori e sono quindi sottospazi; il nucleo e` l'autospazio di 0; il teorema di esistenza degli autovalori e autovettori (teorema degli spazi invarianti) negli spazi COMPLESSI di dimensione finita, non nulla: enunciato del teorema fondamentale dell'algebra; polinomio ed equazione caratteristica. (Placido Longo)
  43. Ven 13/12/2013 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: invarianza del polinomio caratteristico per cambio di base; indipendenza di autovettori in autospazi distinti; la somma di autospazi distinti e` diretta; condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilita` e` che la somma delle dimensioni di tutti gli autospazi distinti sia uguale alla dimensione del dominio; la dimensione dell'autospazio relativo ad un autovalore e` minore o uguale alla sua molteplicita` algebrica come radice del polinomio caratteristico; un operatore su uno spazio complesso e` diagonalizzabile se e solo se la dimensione di ogni suo autospazio coincide con la molteplicita` algebrica del relativo autovalore; analogo enunciato per gli spazi reali, con l'ipotesi ulteriore che la somma delle molteplicita` di tutti gli autovalori coincida con la dimensione dello spazio; un operatore su uno spazio di dimensione n con n autovalori distinti e` diagonalizzabile; esempi di matrici con autovalori multipli diagonalizzabili; Diagonalizzabilita` su R e su C. (Placido Longo)
  44. Mar 17/12/2013 14:30-15:30 (1:0 h) lezione: teoria spettrale degli operatori autoaggiunti su spazi complessi X di dimensione finita (non nulla): lo spettro e` reale; autospazi distinti sono ortogonali; il complemento ortogonale di uno o piu` autovettori e` invariante; (teorema spettrale complesso) dato un operatore autoaggiunto esiste una sua base spettrale ortonormale in X. (Placido Longo)
  45. Mar 17/12/2013 17:30-18:30 (1:0 h) lezione: condizione necessaria e sufficiente perche' un operatore sia autaggiunto: la matrice associata ad una qialunque base ortonormale e` autoaggiunta; operatori reali su Cn; esistenza di autovettori reali per operatori autoaggiunti reali (simmetrici); teorema spettrale reale per operatori simmetrici. (Placido Longo)
  46. Mer 18/12/2013 16:30-17:30 (1:0 h) lezione: il segno delle forme quadratiche: riduzione a forma simmetrica; il segno delle forme diagonali; forme definite, semidefinite e indefinite; diagonalizzazione e classificazione in base al segno degli autovalori; regola dei segni di Cartesio (senza dimostrazione); algoritmo di Gauss-Sylvester per determinare il segno degli autovalori e la molteplicita` dell'(eventuale) autovalore nullo (senza dimostrazione). (Placido Longo)
  47. Mer 18/12/2013 17:30-18:30 (1:0 h) esercitazione: studio del segno di forme quadratiche. (Placido Longo)
  48. Mar 04/03/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: INIZIO PARTE DI ANALISI MATEMATICA II. Le funzioni definite e a valori in spazi euclidei: i grafici di funzioni cartesiane, le curve (moti) e le superficie parametriche. Introduzione alla topologia in Rn: distanza, norma e intorni; punti interni, esterni e di frontiera; punti isolati e di accumulazione; insiemi aperti, chiusi. Funzioni continue in un punto. Esempi di teoremi sulle funzioni continue: continuita` della somma e disuguaglianza triangolare; composizione di funzioni continue. (Placido Longo)
  49. Mer 05/03/2014 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Il teorema della permanenza del segno per le funzioni scalari continue. Insiemi connessi e teorema di esistenza degli zeri per funzioni scalari continue su un connesso che assumono valori discordi. I convessi sono connessi. Insiemi limitati e teorema di Weierstrass (solo enunciato) sull'esistenza di punti di massimo e minimo; definizione di insieme compatto. Successioni convergenti e divergenti. Limiti della somma. Stima fondamentale della norma di un vettore con il modulo delle componenti: |x_i|<= |x| <= sqrt(n)*max|x_i| e la sua conseguenza: una successione di vettori tende a zero (vettore) se e solo se tutte le sue componenti tendono a zero (scalare). (Placido Longo)
  50. Gio 06/03/2014 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: Convessita` della sfera unitaria; condizioni caratteristiche per la convergenza e la divergenza di successioni mediante la norma; limiti finiti ed infiniti, al finito e all'infinito, di funzioni fra spazi euclidei, includendo il caso scalare con i limiti a +infinito e a -infinito; esempi di polinomi di secondo grado divergenti e oscillanti all'infinito. (Placido Longo)
  51. Mar 11/03/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: i polinomi complessi non costanti divergono all'infinito; il modulo di un polinomio complesso ha minimo in C; se un polinomio complesso non costante non si annulla in un punto, esistono punti sui quali il suo modulo assume valori strettamente minori; il teorema fondamentale dell'algebra di Gauss: ogni polinomio complesso non costante si annulla in qualche punto di C. (Placido Longo)
  52. Mer 12/03/2014 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: condizione necessaria di Cauchy per la convergenza; limiti in zero e al'infinito di funzioni positivamente omogenee su un cono, con esempi: funzioni 0-omogenee non costanti non convergono in 0; funzioni continue omogenee di grado positivo limitate sui versori appartenenti al dominio sono infinitesime; esempio di non limitatezza; uso delle coordinate polari; divergenza all'infinito per funzioni ad inf positivo (o sup negativo) sull'insieme dei versori appartenenti al proprio dominio. (Placido Longo)
  53. Gio 13/03/2014 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: limiti all'infinito delle forme quadratiche: le forme definite sono divergenti e quelle semidefinite o indefinite sono oscillanti. Ogni punto di accumulazione di un insieme e` limite di una successione convergente di punti dell'insieme distinti da esso; il luogo dei versori e` chiuso, cosi` come gli insiemi di livello di funzioni continue su Rn. Composizione di funzioni convergenti: tecnica "pratica" scorretta e controesempio. (Placido Longo)
  54. Mar 18/03/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: teoremi sul limite di composizioni di funzioni convergenti (cambio di variabile nei limiti). Introduzione al teorema di U.Dini sulle funzioni implicite e la struttura dell'insieme di livello di una funzione continua e strettamente monotona: inizio della dimostrazione. (Placido Longo)
  55. Mer 19/03/2014 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: teorema delle funzioni implicite: dimostrazione, per una funzione continua e strettamente monotona in una variabile. Derivate parziali e direzionali, con esempi. (Placido Longo)
  56. Gio 20/03/2014 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: Estremi e punti di estremo locali e globali. La condizione necessaria (di Fermat) sulle derivate direzionali in un estremo (max o min) locale interno. Controesempio di funzione discontinua in un punto, ed ivi dotata di tutte le derivate direzionali nulle. (Placido Longo)
  57. Mar 25/03/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: continuazione del controesempio precedente: la funzione e` discontinua in (0,0). Introduzione al differenziale in R. Funzioni differenziabili in Rn. Le funzioni lineari sono differenziabili. Le funzioni differenziabili sono continue. Le funzioni differenziabili hanno tutte le derivate direzionali, pari al differenziale calcolato nella direzione. Formula di rappresentazione del differenziale: il gradiente. Unicita` del differenziale. Studio della differenziabilita` di |xy| e |xy|^1/2 in (0,0). (Placido Longo)
  58. Mer 26/03/2014 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: piano tangente e vettore normale al grafico di una funzione differenziabile, direzione (nel dominio) di massima pendenza ascendente e discendente e gradiente, con esempi. Teorema di differenziabilita` delle funzioni C1 (teorema del differenziale totale). (Placido Longo)
  59. Gio 27/03/2014 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: Rappresentazione del differenziale di applicazioni da Rn in Rm (n,m arbitrari) come prodotto per l'incremento: derivata (R1->R1), velocita` (R1->Rn), gradiente (RN->R1), matrice jacobiana (Rn->Rm). Differenziale di una funzione composta (enunciato): il caso R1_>R1 ed il legame con la formula classica della derivazione di funzioni composte. (Placido Longo)
  60. Mar 01/04/2014 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: limiti, gradiente, jacobiana, differenziale, piano tangente, vettore normale, direzione di max. pendenza. (Placido Longo)
  61. Mer 02/04/2014 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Le curve di livello regolari di una funzione sono ortogonali al suo gradiente in ogni loro punto. Lemma di tipo Lagrange per funzioni di classe C1. Teorema delle funzioni implicite di U.Dini, per funzioni C1, con formula per la derivata della funzione esplicita. Sistemi di funzioni implicite: versione vettoriale del teorema di Dini (senza dimostrazione). Il teorema di invertibilita` locale per trasformazioni da Rn in se': il caso delle coordinate cartesiane e polari piane. (Placido Longo)
  62. Gio 03/04/2014 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: derivate successive e teorema di Schwartz sull'uguaglianza delle derivate miste (senza dimostrazione). Matrice hessiana. La formula di Taylor con resto di tipo Lagrange: deduzione da quella in una variabile. (Placido Longo)
  63. Mar 08/04/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: condizioni sufficienti per un estremo locale mediante la formula di Taylor: forma hessiana definita positiva (minimo), definita negativa (massimo), e indefinita (sella); esempio di due funzioni per cui (0,0) e` stazionario (gradiente nullo) e con (identica) hessiana semidefinita positiva, ma l'una avente minimo in (0,0), mentre l'altra non ha in (0,0) ne' massimo ne' minimo. Come semplificare la formula di Taylor: conteggio degli elementi che risultano uguali nello sviluppo, per effetto del teorema di Schwartz; introduzione all'analisi combinatoria; calcolo del numero delle disposizioni con e senza ripetizioni (e cioe` delle funzioni da {1,..,k} in un insieme finito, arbitrarie o iniettive), e del numero delle combinazioni (cioe` del numero dei sottinsiemi di un insieme finito con un fissato numero di elementi); convenzione sul valore di 0! ; il binomio di Newton. (Placido Longo)
  64. Mer 09/04/2014 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: sviluppo (di Leibnitz) delle potenze di un polinomio : coefficienti polinomiali; forma "breve" della formula di Taylor in piu` variabili mediante i coefficienti polinomiali, con esempi. Caratterizzazione delle funzioni con gradiente ovunque nullo: costanti nel caso degli aperti connessi (prova per connessi per archi di classe C1), e costanti sui sottinsiemi connessi del dominio, nel caso generale. (Placido Longo)
  65. Gio 10/04/2014 10:30-11:30 (1:0 h) non tenuta: concomitante assemblea studentesca (Placido Longo)
  66. Mar 15/04/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: discussione, senza dimostrazioni, dei vari metodi per studiare i punti estremi di una funzione su sottinsiemi del dominio privi di punti interni; estremi globali: decomposizione della frontiera in porzioni di grafico di una funzione, o in sostegni di curve parametriche o, nel caso dei vincoli definiti da funzioni implicite, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, con un esempio (xy su x^2+y^2<=1) per il confronto delle varie tecniche. Curve parametriche come leggi orarie di movimenti; curve chiuse; retta tangente ad una curva parametrica in un punto del suo sostegno; (Placido Longo)
  67. Mer 16/04/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: curve semplici, regolari e generalmente regolari; integrali di funzioni vettoriali; teorema di Torricelli e stima della norma dell'integrale con l'integrale della norma; rettificabilita` e lunghezza di una curva: poligonali inscritte; le curve di classe C1 sono rettificabili; la lunghezza di una curva C1 e` l'integrale del modulo della velocita` (senza dimostrazione); (Placido Longo)
  68. Mer 16/04/2014 12:30-13:30 (1:0 h) esercitazione: rette tangenti al sostegno di una curva parametrica; il caso della circonferenza unitaria; calcolo della lunghezza dell'arco di parabola canonica y=x^2 per x in [0,1] . Razionalizzazione di integrali contenente radici di polinomi di secondo grado. (Placido Longo)
  69. Gio 17/04/2014 10:30-11:30 (1:0 h) esercitazione: lunghezza di grafici cartesianie e di curve espresse in coordinate polari piane (la spirale di Archimede) e cilindriche (elica cilindrica a passo costante); espressione della lunghezza per le curve in coordinate sferiche (senza dimostrazione). (Placido Longo)
  70. Mar 29/04/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: esempio di curva continua non rettificabile; la formula (senza dimostrazione) dell'integrale curvilineo di una funzione esteso ad una curva regolare il cui sostegno e` contenuto nel dominio. Introduzione alla teoria del potenziale: definizione di campo vettoriale; definizione di campo integrabile; condizione necessaria di integrabilita` per i campi vettoriali di classe C1: la condizione del rotore (nullo). (Placido Longo)
  71. Mer 30/04/2014 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: forme differenziali lineari; integrabilita` di forme; campo vettoriale associato ad una forma; forme esatte e forme chiuse; studio dell'integrabilita` di un campo o di una forma per integrazione diretta del sistema del gradiente; Integrale di un campo o di una forma esteso ad una curva (generalmente) regolare; condizione necessaria per l'integrabilita` dei campi continui: invarianza dal cammino e differenza di potenziale. Esempio di campo irrotazionale non integrabile (Placido Longo)
  72. Mar 06/05/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita` di campi C0: l'indipendenza dell'integrale dal cammino; costruzione del potenziale su un insieme connesso mediante un integrale fra un punto fisso e uno mobile (Torricelli) (Placido Longo)
  73. Mar 06/05/2014 09:30-10:30 (1:0 h) non tenuta: attivita` didattica sospesa per attivita` elettorale studentesca. (Placido Longo)
  74. Gio 08/05/2014 10:30-11:30 (1:0 h) esercitazione: esempi di campi integrabili definiti su insiemi a connessione multipla; criterio di integrabilita` di campi irrotazionali sul complementare di un numero finito di punti; integrazione diretta del "differenziale dell'angolo" (-y/(x^2+y^2) , x/(x^2+y^2) ) e costruzione di potenziali in un piano "tagliato". (Placido Longo)
  75. Mar 13/05/2014 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: teoria dei campi vettoriali e delle forme: esercizi; integrabilita`, calcolo di un potenziale e di tutti i potenziali; potenziali di campi irrotazionali non integrabili in insiemi stella preassegnati; uso dell'invarianza omotopica per agevolare il calcolo dell'integrale di un campo irrotazionale su una curva data. (Placido Longo)
  76. Mer 14/05/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Introduzione alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue (senza dimostrazioni): misura di intervalli, plurintervalli, aperti, compatti. Insiemi misurabili e loro misura. Proprieta` degli insiemi misurabili (unione,intersezione differenza) e della misura (monotonia, subadditivita`, additivita`). Integrale di Lebesgue di funzioni limitate e di funzioni non limitate positive su insiemi di misura finita, di funzioni positive su insiemi misurabili arbitrari, e di funzioni di segno variabile su insiemi misurabili arbitrari: parte positiva e negativa di una funzione; integrabilita` di f e di |f| : differenza con l'integrale improprio di Riemann. (Placido Longo)
  77. Mer 14/05/2014 12:30-13:30 (1:0 h) esercitazione: i teoremi di Fubini e Tonelli per il calcolo degli integrali multipli mediante integrazioni iterate su proiezioni e sezioni. Il caso semplificato dei domini normali rispetto ad uno degli gli assi: esempi. (Placido Longo)
  78. Gio 15/05/2014 10:30-11:30 (1:0 h) esercitazione: integrali tripli per proiezioni e sezioni (per "fili" e per "strati"). Il cambio di variabile negli integrali multipli. (Placido Longo)
  79. Mar 20/05/2014 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: integrali doppi in coordinate polari. Integrali tripli in coordinate cilindriche. Volume dei solidi di rotazione. (Placido Longo)
  80. Gio 22/05/2014 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: Superficie parametrica regolare: generatori degli spostamenti tangenti, piano tangente in forma parametrica ed implicita, vettore normale "standard". Formula per l'area di una superficie parametrica; parametrizzazione standard di un grafico cartesiano e relativa formula dell'area. (Placido Longo)
  81. Mar 27/05/2014 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: aree di superficie parametriche; parametrizzazione ed area delle superficie di rotazione; forme alternative del "differenziale dell'area". Calcolo degli integrali superficiali (Placido Longo)
  82. Mer 28/05/2014 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: esercizi di riepilogo (Placido Longo)
  83. Gio 29/05/2014 10:30-11:30 (1:0 h) esercitazione: esercizi di riepilogo (Placido Longo)
  84. Ven 06/06/2014 10:00-13:50 (3:50 h) esercitazione: recupero ore perdute per sospensione attivita` didattica. Esercizi di riepilogo sull'intero programma. (Placido Longo)

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