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ALGEBRA LINEARE

insegnamento

ALGEBRA LINEARE E ANALISI MATEMATICA II (cod. 591AA)

corso di studi

IFO-L - INGEGNERIA INFORMATICA
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Placido Longo

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Placido Longo

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115
( lezione: 91 ore , esercitazione: 24 ore )

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Lezioni

1. Mar 08/03/2011 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Introduzione al corso e alla sua organizzazione. SISTEMI LINEARI: notazione compatta; il caso delle righe e delle colonne nulle; equazioni e sistemi impossibili; sistemi "risolti"; trasformazioni elementari di sistemi in altri equivalenti o tali a meno di manipolazioni note delle soluzioni: permutazioni di righe, di colonne, sostituzione di una riga con un suo multiplo non nullo, sostituzione di una riga con la sua somma con un multiplo di un'altra; Sistemi elementarmente risolubili: diagonali e triangolari con termini diagonali non nulli: il metodo di sostituzione all'indietro. Sistemi "a scala". Determinazioni di tutte le (eventuali) soluzioni di un sistema "a scala": incognite pivot e parametri liberi. (Placido Longo)
2. Mer 09/03/2011 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: l' algoritmo di eliminazione di Gauss , per ridurre un sistema arbitrario ad uno "a scala" mediante trasformazioni elementari; scelta dei pivot. Esempi diversi di sistemi compatibili e impossibili, con numero arbitrario di righe e colonne; riduzione del carico di lavoro mediante permutazioni di righe e colonne in presenza di zeri. Risoluzione simultanea di un sistema con termini noti multipli: versione di Gauss-Jordan dell'algoritmo di eliminazione; esempi. Cenni alla notazione vettoriale applicata ai sistemi (equazioni vettoriali) ed alle loro soluzioni. (Placido Longo)
3. Gio 10/03/2011 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: norma in Rn; sfere aperte; definizione di spazio vettoriale (lezione tenuta dal prof.Berselli) (Placido Longo)
4. Ven 11/03/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: prodotto scalare, proiezione; disuguaglianza di Schwartz.(Lezione tenuta dal Prof. Berselli) (Placido Longo)
5. Sab 12/03/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: matrici e loro operazioni; sottospazi di matrici; matrici e sistemi lineari.(lezione tenuta dal prof.Berselli) (Placido Longo)
6. Mar 15/03/2011 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: prodotto righe per colonne e inversa di matrici.(lezione tenuta dal prof. Berselli) (Placido Longo)
7. Mer 16/03/2011 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: inversa di matrici 2x2; determinante 2x2; prodotto vettore.(lezione tenuta dal prof.Berselli) (Placido Longo)
8. Ven 18/03/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: combinazioni lineari; indipendenza; sistemi di generatori; basi. (lezione tenuta dal prof.Berselli) (Placido Longo)
9. Sab 19/03/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: indipendenza lineare e proiezione sui sottospazi generati da un sistema ortonormale: sviluppo di Fourier. (lezione tenuta dal prof.Berselli) (Placido Longo)
10. Mer 23/03/2011 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Geometria e vettori: equazioni parametriche di: rette, piani, semirette, semipiani, angoli (combinazioni coniche), segmenti, triangoli, poligoni convessi (combinazioni convesse); punto medio di un segmento. (Placido Longo)
11. Gio 24/03/2011 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: equazioni implicite (cartesiane) di rette in R2 e piani in R3: condizione di ortogonalita` degli spostamenti con il vettore dei coefficienti; uso del prodotto vettore per ricavare l'equazione cartesiana di un piano parametrico, e quella parametrica di una retta cartesiana; confronto fra i metodi vettoriale e cartesiano: bisettrice di un angolo; distanza di un punto da una retta. (Placido Longo)
12. Ven 25/03/2011 10:30-12:30 (2:0 h) esercitazione: Intersezione di piani e rette in forma implicita e parametrica; intesezione delle traiettorie e collisioni; rette coincidenti, incidenti, parallele, sghembe. L'algoritmo di Gauss intersezione di rette e piani; distanza e retta di minima distanza fra rette sghembe. Distanza da punti a rette o piani in forma implicita o parametrica; conversioni da rette e piani in forma implicita a quella parametrica. (Placido Longo)
13. Sab 26/03/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Approfondimenti sulla dipendenza lineare; esempi: fratti semplici, sistemi di esponenziali complessi; sistemi di vettori "triangolari" e "diagonali". Il caso dei vettori in Rn: uso dell'algoritmo di Gauss per determinare la dipendenza lineare. Indipendenza lineare e coordinate rispetto ad un sistema indipendente: unicita` delle coordinate. Lemma fondamentale sui sistemi di generatori: sopprimibilita` di un generatore dipendente. Spazi di dimensione finita e infinita; esempi: Rn e polinomi di grado arbitrario. Definizione di base. Teorema di esistenza di basi: gli spazi di dimensione finita non ridotti al solo zero hanno basi. Lemma di scambio. Teorema sul massimo numero di vettori indipendenti: se uno spazio ha una base di n elementi, ogni sistema di m>n elementi e` dipendente. Teorema della dimensione: tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi, detto dimensione. (Placido Longo)
14. Mar 29/03/2011 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: indipendenza lineare delle potenze; aggiunta di un elemento indipendente ad uno span; teorema dei generatori: ogni sistema di n vettori indipendenti in uno spazio di dimensione n e` una base; decomposizione in fratti semplici: teoria; completamento ad una base; uso dell'algoritmo di Gauss nei problemi di dipendenza lineare e di calcolo della dimensione in Rn. I teoremi sui sistemi lineari (introduzione): esistenza, unicita`, Rouche', Cramer. (Placido Longo)
15. Mer 30/03/2011 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: teoremi classici sui sistemi lineari: condizioni di esistenza (teorema di Rouche'), di unicita`, teorema di Cramer sui sistemi quadrati. Sottospazi: definizione, somma, intersezione. Esempi. Teorema di Grassmann sulla dimensione dei sottospazi somma e intersezione. Somma diretta e unicita` della decomposizione. Applicazioni lineari; nucleo e immagine. Nucleo e immagine sono sottospazi. (Placido Longo)
16. Gio 31/03/2011 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: applicazioni iniettive, suriettive, biiettive; inversa; nucleo e applicazioni iniettive; rango (dimensione dell'immagine); dim A(X) < = dim X; teorema di Grassmann: dim X=dim Ker A + dim A(X); invarianza della dimensione per applicazioni iniettive. Equazioni lineari: principio di sovrapposizione e struttura delle soluzioni (equazione omogenea associata). Applicazioni lineari fra spazi euclidei: i casi R-->R R-->Rn, Rn-->R, Rn-->Rm. (Placido Longo)
17. Ven 01/04/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: approfondimenti sulla matrice associata ad un'applicazione lineare fra spazi con basi assegnate; esempi; la matrice associata alla composizione di due applicazioni: la matrice prodotto; applicazioni definite dal prodotto per una matrice: immagine dei vettori della base canonica e rango. Determinanti: le tre proprieta` fondamentali; determinanti con due colonne uguali sono nulli; le n colonne sono indipendenti se e solo se il loro determinante e` non nullo. (Placido Longo)
18. Sab 02/04/2011 10:30-12:30 (2:0 h) esercitazione: calcolo di immagine, basi per l'immagine, rango, dimensione del nucleo, base del nucleo di un'applicazione lineare fra spazi euclidei. Matrice associata ad un'applicazione lineare fra spazi di dimensione finita e ad una scelta di basi nel dominio e nel codominio. Determinanti: le tre proprieta` costitutive (di Artin); determinanti con colonne uguali; le colonne sono indipendenti se e solo se il determinante e nullo; (Placido Longo)
19. Mar 05/04/2011 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: un determinante non cambia se si somma ad una colonna una combinazione delle altre; permutazioni e segno di una permutazione: calcolo del numero delle inversioni; definizione di determinante; calcolo del determinante di matrici 2x2, 3x3, triangolari e diagonali; il determinante della trasposta e` uguale a quello della matrice (solo enunciato); proprieta` del determinante rispetto alle righe; calcolo mediante l'algoritmo di Gauss; teorema di Binet sul determinante del prodotto (solo enunciato); (Placido Longo)
20. Mer 06/04/2011 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: determinante dell'inversa; esempi di calcolo di determinanti con lo sviluppo di Laplace; calcolo dell'inversa di una matrice mediante i complementi algebrici; cenni alla analisi della complessita` di calcolo dei determinanti. Spazi vettoriali complessi: lo spazio Cn; la struttura euclidea complessa: il prodotto hermitiano e norma su Cn; teorema di Pitagora; versori; proiezione e ortogonalita` del resto; disuguaglianza di Schwartz e triangolare; (Placido Longo)
21. Gio 07/04/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: il segno delle forma quadratiche su Rn: il caso diagonale ed effetti del cambio di variabili; forme bilineari e forme quadratiche astratte; esistenza ed unicita` di una forma bilineare simmetrica associata ad una forma quadratica; matrice di rappresentazione di una forma bilineare o quadratica rispetto ad una base; il caso euclideo: operatore associato ad una forma bilineare; la matrice di rappresentazione di una forma bilineare e` diagonale se esiste una base ortonormale u_i per la quale Au_i e` un multiplo di u_i. (Placido Longo)
22. Ven 08/04/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: definizione di operatore diagonale rispetto ad una base e di operatore diagonalizzabile su uno spazio vettoriale reale o complesso di dimensione finita. Autovalori, autovettori, autospazi, spettro; condizione caratteristica di diagonalizzabilita`: esistenza di una base di autovettori (base spettrale); esempi di applicazione priva di autovalori reali, e di applicazione non diagonalizzabile. Esistenza di autovettori negli spazi complessi (teorema degli spazi invarianti): equazione e polinomio caratteristici; indipendenza di autovettori in autospazi distinti: diagonalizzabilita` di operatori su spazi di dimensione n dotati di n autovalori distinti. (Placido Longo)
23. Sab 09/04/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: operatori autoaggiunti su spazi euclidei complessi; gli autovalori sono reali; il complemento ortogonale di un autovettore e` invariante; autospazi distinti sono ortogonali. Il teorema spettrale (complesso): se A e` autoaggiunto da X complesso di dimensione finita in se`, X ammette una base ortonormale di autovettori di A. Condizione sulla matrice rispetto ad una base ortonormale necessaria e sufficiente perche' un operatore sia autoaggiunto: matrici autoaggiunte. Operatori definiti su Cn mediante prodotto per una matrice simmetrica reale: esistenza di autovettori reali. Condizione sulle parti reali e immaginarie perche' un vettore complesso sia ortogonale ad uno reale. (Placido Longo)
24. Mar 12/04/2011 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: estensione del teorema della proiezione al caso della proiezione sul sottospazio generato da un numero finito di vettori ortonormali: serie di Fourier e ortogonalita` del resto; esistenza di una base spettrale per matrici simmetriche reali; segno delle forme quadratiche noto il segno degli autovalori; studio del segno delle radici di un polinomio dotato di radici tutte reali: condizioni necessarie e sufficienti perche' le radici siano tutte strettamente positive, tutte strettamente negative, tutte positive, tutte negative; forme simmetriche definite positive, definite negative, semidefinite positive e negative, indefinite; (Placido Longo)
25. Mer 13/04/2011 14:30-16:30 (2:0 h) esercitazione: matrici di rappresentazione di una forma quadratica o bilineare rispetto ad una base assegnata: il caso dei polinomi omogenei di grado 2 e il ruolo della base canonica; calcolo della matrice di rappresentazione rispetto ad altre basi; studio del segno di una forma quadratica: riduzione al caso simmetrico e studio del segno degli autovalori mediante le condizioni sui coefficienti ("segni" di Cartesio); calcolo degli autovalori e degli autovettori; (Placido Longo)
26. Gio 14/04/2011 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: L'impiego dell'algoritmo di Gauss per calcolare il numero di autovalori nulli, positivi e negativi di una forma reale simmetrica (senza dimostrazione); cenno all'enunciato del teorema di Sylvester. Cambi di base: matrice associata; relazioni fra le coordinate cartesiane di un vettore rispetto a due basi diverse, usando la matrice di cambio di base; relazioni fra le matrici associate ad un'applicazione lineare fra due spazi,rispetto a due diverse scelte delle basi per dominio e codominio; Il polinomio caratteristico di un'applicazione lineare non dipende dalla base scelta per rappresentarlo. (Placido Longo)
27. Ven 15/04/2011 10:30-12:30 (2:0 h) non tenuta: sospensione dell'attivita` didattica per un'assemblea studentesca. (Placido Longo)
28. Sab 16/04/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: nuova dimostrazione della condizione caratteristica di diagonalizzabilita` mediante la formula di trasformazione della matrice di rappresentazione di un'applicazione lineare per cambio di base in Rn: la matrice di cambiamento di base ha per colonne autovettori formanti una base. Coordinate rispetto ad una base ortonormale e coefficienti di Eulero-Fourier; algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt: ogni spazio euclideo di dimensione finita possiede basi ortonormali. Note sulla tecnica di Gauss-Sylvester: due modi di operare sulla matrice per ottenere i pivot nel caso in cui i termini voluti siano nulli: sommare una altra riga o permutarle, operando analogamente sulle colonne. (Placido Longo)
29. Mar 19/04/2011 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: esercitazione su temi d'esame, riguardante tutto il programma di algebra. (Placido Longo)
30. Gio 28/04/2011 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Introduzione alle funzioni di piu` variabili: curve, funzioni scalari di n variabili, superficie cartesiane; un modello comune: funzioni da Rn a Rm; Funzioni continue; successioni di vettori e limiti. Cenni ai teoremi sulle funzioni continue: continuita` della somma e della composizione di funzioni continue; insiemi connessi (per archi) e teorema degli zeri in piu` variabili; componenti scalari di funzioni vettoriali; stima dall'alto e dal basso della norma mediante il modulo delle componenti scalari; convergenza di una successione di vettori equivalente alla convergenza delle componenti scalari e analoga questione per la continuita`; intorni, punti interni, esterni, di frontiera; insiemi aperti e chiusi. (Placido Longo)
31. Ven 29/04/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: punti interni, esterni, di frontiera: esempi; punti di accumulazione: approssimabilita`; punti isolati; limiti al finito (in un punto d'accumulazione) e all'infinito, per funzioni scalari e vettoriali di piu` variabili; limiti per funzioni complesse; i polinomi complessi non costanti divergono all'infinito; controesempio per i polinomi reali. (Placido Longo)
32. Sab 30/04/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Esercizi sui limiti. Insiemi chiusi e limitati; teorema di Weierstrass. Limiti di funzioni omogenee nell'origine. (Placido Longo)
33. Mar 03/05/2011 11:30-12:30 (1:0 h) non tenuta: sospensione dell'attivita` didattica per elezioni studentesche. (Placido Longo)
34. Mar 03/05/2011 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: Il teorema fondamentale dell'algebra di Gauss: 1) Se p e` un polinomio, |p| ha minimo su C; 2) Se p e` un polinomio non costante e p(z) non e` nullo, allora esiste y in C tale che |p(y)|<|p(z)|; 3) Se p e` un polinomio non costante e z e` il punto di minimo per |p(x)| su C, allora p(z)=0. (Placido Longo)
35. Mer 04/05/2011 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: fattorizzazione su C di un polinomio. La sfera {|x|<=1} e` chiusa. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue o convergenti. Limiti nell'origine di funzioni 0-omogenee. Limiti di funzioni composte:cambio di variabile. Derivate direzionali e derivate parziali. L'esistenza della derivata in ogni direzione non implica la continuita`: esempio. (Placido Longo)
36. Gio 05/05/2011 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: calcolo di alcune derivate direzionali; differenziale di una funzione reale di piu` variabili; piano tangente; la differenziabilita` implica la continuita`; la differenziabilita` implica l'esistenza di tutte le derivate direzionali; formula del differenziale e definizione di gradiente; vettore normale al grafico; la direzione di massima pendenza (ascendente e discendente); Condizione necessaria (di Fermat) per gli estremi interni. (Placido Longo)
37. Sab 07/05/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: il differenziale di funzioni da R in R; il differenziale di funzioni lineari e forme quadratiche; la formula classica del differenziale mediante il calcolo dei differenziali delle proiezioni sugli assi; il differenziale di funzioni da R in Rn, mediante i differenziali delle componenti scalari: velocita` e retta tangente; il differenziale di funzioni composte e` la composizione dei differenziali (solo enunciato); equazione delle curve di livello ed ortogonalita` della velocita` col gradiente nel punto; campi di vettori, integrale di linea; campi conservativi e differenza di potenziale. (Placido Longo)
38. Mar 10/05/2011 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: teorema del differenziale: differenziabilita` di funzioni C1; differenziale di funzioni da Rn in Rm: la matrice jacobiana; esempi; derivate successive e notazioni varie; teorema di Schwarz; (Placido Longo)
39. Mer 11/05/2011 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Riepilogo della formula di derivazione delle funzioni f(g(x)) con f:Rn-> R e g:R-> Rn; Formula di Taylor in piu` variabili (con resto di Lagrange): forma estesa, con dimostrazione e forma compatta (con il polinomio di Leibnitz) senza dimostrazione; esempi; stima (di Peano) dell'ordine di infinitesimo del resto (cenni); condizione di Fermat sul gradiente nei punti di massimo o minimo locale interni, per funzioni differenziabili; (Placido Longo)
40. Gio 12/05/2011 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: la formula di Taylor e le condizioni sugli autovalori dell'hessiana sufficienti per un estremo locale: studio del segno del rapporto (0-omogeneo) fra la forma hessiana e il quadrato della norma; hessiana indefinita e punti di sella; hessiana semidefinita ed esempi di funzioni aventi o non aventi estremo; discussione dell'uso della formula di Taylor per il calcolo dei limiti; (Placido Longo)
41. Ven 13/05/2011 10:30-12:30 (2:0 h) esercitazione: convergenza e divergenza, continuita`, derivabilita`, e differenziabilita` di funzioni di piu` variabili. (Placido Longo)
42. Sab 14/05/2011 10:30-12:30 (2:0 h) esercitazione: massimi e minimi di funzioni di piu` variabili; il caso di due sole variabili e gli invarianti: determinante e traccia. Il caso degenere. La formula di Taylor ed il polinomio di Leibnitz in pratica. Alcune risoluzioni di funzioni implicite, in casi particolari. (Placido Longo)
43. Mar 17/05/2011 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: il teorema di U.Dini sulla struttura locale delle soluzioni dell'equazione f(x,y)=0 vicino ad uno zero dato, con f continua e strettamente monotona in una direzione, e con f di classe C1 con una derivata parziale non nulla nello zero. (Placido Longo)
44. Mer 18/05/2011 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: gli insiemi di livello non critici e la struttura locale delle curve di livello (grafici cartesiani); il teorema di Dini nel caso di funzioni scalari di tre o piu` variabili, con espressione delle derivate della funzione esplicita (solo enunciato); il caso vettoriale, la condizione dello jacobiano e l'espressione della matrice jacobiana delle componenti della funzione (vettoriale) esplicita (solo enunciato); teorema di inversione locale (solo enunciato). Campi di vettori e forme differenziali lineari: definizioni e legame; forme e campi integrabili; il problema della primitiva; determinazione diretta del potenziale per integrazione del sistema del gradiente. (Placido Longo)
45. Gio 19/05/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: condizione necessaria (del rotore) per l'integrabilita` dei campi C1; integrale curvilineo; congiunzione di cammini e integrale sulla congiunzione di due cammini; condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita` dei cammpi C0: l'indipendenza dell'integrale curvilineo dal cammino; l'integrale sulle curve chiuse; esempio di campo irrotazionale non integrabile; (Placido Longo)
46. Ven 20/05/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: esempio di determinazione della primitiva mediante integrazione del campo su una spezzata con lati paralleli agli assi; condizione caratteristica di integrabilita`: l'integrale sulle curve chiuse e` nullo; omotopia (o deformazione) di curve; campi irrotazionali ed invarianza omotopica dell'integrale (solo enunciato); rot A=0 e` condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita` su insiemi semplicemente connessi; campi irrotazionali sul complementare di un punto: valori possibili dell'integrale sulle curve chiuse; insiemi a stella: definizione. (Placido Longo)
47. Sab 21/05/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: gli insiemi "a stella" sono semplicemente connessi; i convessi sono "a stella" e quindi semplicemente connessi; l'integrazione diretta del gradiente nel caso di campi irrotazionali non integrabili: prolungamento delle primitive. Campi irrotazionali nel complementare di un numero finito di punti: integrabilita`, tagli ed integrali sui cicli che circondano ogni punto; determinazione di tutte le primitive, nota una di esse: funzioni con gradiente nullo su un aperto connesso. (Placido Longo)
48. Mar 24/05/2011 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: insiemi aperti, chiusi, limitati, e loro frontiera, definiti da disuguaglianze fra funzioni continue. Limiti in piu` variabili. (Placido Longo)
49. Mer 25/05/2011 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: curve parametriche semplici e chiuse; sostegno e curve diverse con uguale sostegno; cenno al teorema di Jordan; curve regolari; retta tangente ad una curva regolare; le curve piane C1 e regolari sono (localmente) grafici di funzioni C1; esempio di curva singolare (non regolare) che non e` grafico di funzione C1; Rettificabilita` e lunghezza di una curva; ascissa curvilinea; (Placido Longo)
50. Mer 25/05/2011 14:30-16:30 (2:0 h) esercitazione: limiti in piu` variabili; differenziabilita`; tutte le primitive di un campo nel suo dominio, nota una di esse. (Placido Longo)
51. Gio 26/05/2011 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Esempio di curva continua non rettificabile; le curve C1 sono rettificabili; formula generale della lunghezza (solo enunciato); formule particolari per lunghezza di curve il cui sostegno e` un grafico cartesiano, o espresse in coordinate polari piane, cilindriche o sferiche; curve equivalenti e invarianza della lunghezza. (Placido Longo)
52. Ven 27/05/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: integrali curvilinei di funzioni estesi ad una curva parametrica; invarianza dell'integrale per cambio di parametrizzazione equivalente; esempio. Misura di intervalli, plurintervalli, aperti, compatti; insiemi misurabili secondo Lebesgue: misura interna ed esterna; proprietà della misura di Lebesgue: monotonia, subadditivita` numerabile, additivita` numerabile sui disgiunti. (Placido Longo)
53. Sab 28/05/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: continuita` verso l'alto e verso il basso della misura; numerazione e misura dei razionali; integrabilita` e integrale secondo Lebesgue di funzioni limitate su insiemi di misura finita; condizione necessaria e sufficiente; integrabilita` della funzione di Dirichlet; esempio di insieme non limitato di misura finita (sottografico di 1/(1+x^2)); il caso delle funzioni positive non limitate su insiemi di misura infinita; parte positiva e negativa; l'integrale per funzioni di segno variabile; l'integrabilita` del modulo come conseguenza dell'integrabilita`: differenze con l'integrale (improprio) di Riemann; teorema di integrabilita`: introduzione (Placido Longo)
54. Mar 31/05/2011 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Integrabilita` di funzioni misurabili e limitate su insiemi di misura finita; proprieta` generali dell'integrale: linearita`, positivita`, monotonia, additivita` (numerabile); controesempio e teoremi di Beppo Levi e Lebesgue di passaggio al limite sotto il segno d'integrale; integrazione per serie; proprieta` vere quasi-ovunque; la funzione di DIrichlet e` quasi-ovunque nulla. (Placido Longo)
55. Mer 01/06/2011 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: teoremi di Fubini e Tonelli sugli integrali iterati; applicazioni al calcolo pratico degli integrali multipli; domini normali; cambio di variabili per integrali multipli; coordinate polari piane; (Placido Longo)
56. Ven 03/06/2011 10:30-12:30 (2:0 h) esercitazione: funzioni iperboliche: proprieta` elementari; classi di funzioni irrazionali e trascendenti elementarmente integrabili; funzioni razionali di -- sin e cos; -- radici di polinomi di primo grado; -- e^t; -- radici di polinomi di secondo grado: i vari casi e le sostituzioni con funzioni circolari o iperboliche appropriate. (Placido Longo)
57. Sab 04/06/2011 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: formule elementari di Gauss-Green-Ostrogradskij; applicazione al calcolo dell'area di una regione piana; superficie parametriche regolari; sostegno; generatori degli spostamenti sul piano tangente in un punto del sostegno e sua equazione; direzione normale in un punto; formula dell'area di una superficie parametrica; integrale (superficiale) di una funzione esteso al sostegno di una superficie parametrica. (Placido Longo)
58. Lun 06/06/2011 09:30-11:30 (2:0 h) esercitazione: esercizi di riepilogo su tutto il programma d'Analisi II. (Placido Longo)
59. Mar 07/06/2011 09:30-11:30 (2:0 h) esercitazione: esercizi di riepilogo sull'intero programma d'Analisi II. (Placido Longo)
60. Mer 08/06/2011 09:30-11:30 (2:0 h) esercitazione: esercizi di riepilogo sull'intero programma d'Analisi II. (Placido Longo)

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