Università di Pisa - Registro lezioni

Registri a.a. 2009/2010

Dati registro

modulo: ALGEBRA LINEARE
insegnamento: ALGEBRA LINEARE E ANALISI MATEMATICA II (cod. 591AA)
corso di studi: IFO-L - INGEGNERIA INFORMATICA
Condiviso con altri corsi di laurea dettaglio
responsabile: Placido Longo
docenti: Placido Longo
totale ore: 112
( lezione: 83 ore e 30 min. , esercitazione: 28 ore e 30 min. )

Dettaglio ore

Lezioni

Mar 02/03/2010 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Organizzazione e sequenza del corso. Introduzione all'Algebra Lineare: sistemi di equazioni lineari, intersezione di piani e il problema della programmazione lineare; i vettori geometrici, equazioni parametriche, operazioni e componenti rispetto ad una base di versori; coordinate lagrangiane di uno scavatore, di una mano meccanica, di un pixel su uno schermo. Le coordinate della somma, dello zero, di un multiplo, del prodotto scalare di versori e vettori. Versore associato ad un vettore non nullo. (Placido Longo)
Mer 03/03/2010 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Il prodotto cartesiano. Definizione degli insiemi Rn e Cn. Lo spazio euclideo Rn: somma, multiplo scalare, zero, opposto. Proprieta` caratteristiche (assiomi): proprieta` commutativa della somma, associativa di somma e prodotto, distributiva del prodotto sulla somma di scalari e vettori, prodotto per lo scalare 1. Altre proprieta` (prodotto per 0 e annullamento del prodotto). Legame fra le proprieta` caratteristiche e algebra delle equazioni vettoriali. Combinazioni lineari, insieme di generatori e insieme generato (span). La base canonica: genera tutto lo spazio e nessun suo sottinsieme lo fa. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite: scrittura in forma di equazione vettoriale. Il prodotto scalare e la norma: definizione. (Placido Longo)
Gio 04/03/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Il prodotto scalare e verifica delle proprieta` caratteristiche: bilinearita`, simmetria, essere definito positivo. La norma e le sue proprieta` caratteristiche con verifica (tranne la dis.triangolare). Altre proprieta`: non associativita`; non annullamento del prodotto. Versore di un vettore non nullo. Teorema di Pitagora. Identita` del parallelogramma. Espressione del prodotto scalare in funzione della norma. Coseno dell'angolo. Proiezione di un vettore su uno non nullo. Ortogonalita` del resto. Relazione fra le norme di un vettore e delle sue proiezioni; il caso dell'uguaglianza. Dimostrazione delle disuguaglianze di Schwartz e triangolare. Distanza euclidea e sue proprieta` caratteristiche. (Placido Longo)
Ven 05/03/2010 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Le proprieta` della distanza euclidea a partire da quelle della norma. Area del parallelogramma definito da due vettori, in funzione di norme e prodotto scalare e a partire dalle componenti. Il prodotto vettoriale in R3 e le sue proprieta`: ortogonalita` con i fattori, determinazione del modulo e del verso (regole della mano destra e della vite), bilinearita` e antisimmetria. Lo spazio euclideo complesso Cn: generalita`. Discussione e definizione di prodotto emisimmetrico o hermitiano: proprieta` del prodotto scalare complesso. (Placido Longo)
Sab 06/03/2010 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Geometria di Rn: equazioni parametriche di rette, semirette, segmenti. Retta per un punto in una direzione. Conversione da equazione implicita a parametrica e viceversa. Intersezione di rette: modello cinematico e discussione delle differenze fra intersezioni di orbite e collisioni. Cenni alle curve parametriche. Condizione di parallelismo. Analisi del significato vettoriale dell'equazione implicita della retta nel piano: perpendicolarita` degli spostamenti al vettore dei coefficienti. Retta per un punto perpendicolare ad un piano in forma implicita. Equazione della retta in forma implicita come intersezione di piani e determinazione del suo vettore direzione attraverso il prodotto vettore dei vettori normali ai rispettivi piani. Problema proposto: la bisettrice di un angolo fra rette date. (Placido Longo)
Mar 09/03/2010 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Bisettrice di un angolo dato in forma parametrica: confronto col metodo classico. Rette nel piano: conversione da forma implicita a forma parametrica e viceversa. Retta per due punti. Piano parametrico per tre punti. Eliminazione dei parametri e conversione da forma implicita a parametrica. Vettore normale al piano parametrico e conversione da forma parametrica a forma implicita senza eliminazione per i piani nello spazio. Punto di minima distanza di una retta da un punto dato. (Placido Longo)
Mer 10/03/2010 14:30-16:30 (2:0 h) esercitazione: Forma normale dell'equazione di rette e piani. Intersezione di rette parametriche nel piano: rette coincidenti, parallele, incidenti. Intersezione di rette parametriche e piani in forma normale nello spazio: rette incidenti, parallele e giacenti su un piano. Intersezione di rette parametriche nello spazio: rette coincidenti, parallele, incidenti, sghembe. Proiezione di punti su rette e piani in forma normale. Proiezione su una retta in forma parametrica. (Placido Longo)
Gio 11/03/2010 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Applicazione del metodo vettoriale allo studio dell'intersezione di rette nel piano e nello spazio; intersezione di rette con piani; proiezione di punti su rette e piani impliciti e parametrici; rette sghembe e retta di minima distanza; distanza di un punto da una retta o un piano. (Placido Longo)
Ven 12/03/2010 10:30-12:30 (2:0 h) esercitazione: Esercizi di riepilogo sull'algebra e sulla geometria degli spazi euclidei reali e complessi: proiezione di un vettore su uno non nullo, norma, area, coseno dell'angolo fra due vettori reali. Proiezione di un punto su una retta in forma implicita. Segmento fra due punti, poligono convesso generato da n punti e combinazioni convesse. (Placido Longo)
Sab 13/03/2010 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: Esercizi di riepilogo su: proiezioni di un punto su rette e piani parametrici; intersezioni di rette parametriche nello spazio; retta di minima distanza fra rette sghembe. Intersezioni fra rette in forma implicita. Notazione compatta per i sistemi di equazioni lineari. (Placido Longo)
Mar 16/03/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Risoluzione dei sistemi lineari. Sistemi elementarmente risolubili: diagonali, triangolari, a scala. Operazioni elementari su un sistema ed effetti sulle soluzioni: permutazione delle righe, delle colonne, somma ad una riga di un multiplo non nullo di un'altra. L'algoritmo di Gauss di eliminazione o riduzione a scala. Elementi pivot: criteri di scelta. Esempi di sistemi quadrati a soluzione unica. Esempi di sistemi con incognite in eccesso: scelta dei pivot ed espressione delle soluzioni in funzione dei valori delle incognite non pivot. Esempi di sistemi sovradeterminati privi di soluzioni: riduzione a scala con equazioni impossibili. (Placido Longo)
Mer 17/03/2010 14:30-16:30 (2:0 h) esercitazione: Risoluzione di sistemi lineari mediante l'algoritmo di Gauss di riduzione a scala, per sistemi quadrati e rettangolari, con piu` equazioni che incognite o viceversa. Algoritmo di risoluzione di Gauss-Jordan. Risoluzione simultanea di sistemi con piu` termini noti. Applicazioni geometriche: spazio ortogonale ad un sistema di vettori; intersezione di rette in R3; appartenenza o no di un vettore allo span di un numero finito di altri. (Placido Longo)
Gio 18/03/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: definizione astratta di sistema "a scala". Definizione di insieme convesso e di cono. Combinazioni convesse e combinazioni coniche: l'insieme delle combinazioni convesse e l'insieme delle combinazioni coniche sono convessi. Proprieta` di cono dell'insieme delle combinazioni coniche. Rappresentazione implicita di semispazi mediante soluzioni di disequazioni di primo grado. Introduzione allo studio dei poliedri: discussione del caso di tre rette e delle regioni convesse definite dalle intersezioni dei vari semispazi ad esse relativi; tali regioni sono somma di combinazioni convesse e coniche dei vertici. Matrici reali e complesse. Somma e multiplo scalare. Vettori riga e colonna. Prodotto di matrici e tipo del prodotto. Elemento (i,j) del prodotto come prodotto scalare della riga i del primo fattore per la colonna j del secondo. Non commutativita` del prodotto: esempio di due matrici (2,2) che non commutano. (Placido Longo)
Ven 19/03/2010 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: prodotto matrice per vettore e forma matriciale dei sistemi di equazioni lineari. Prodotto di una matrice per i vettori della base canonica. Prodotto di matrici a blocchi; il caso del primo fattore decomposto in una colonna di righe e del secondo decomposto in una riga di colonne. Il prodotto scalare di vettori riga e colonna. Matrice trasposta (in Rn) e aggiunta (in Cn). Proprieta` fondamentale di aggiunte e trasposte riguardanti i prodotti scalari. Matrici simmetriche e autoaggiunte. Aggiunta di un prodotto. Proprieta` distributiva e associativa del prodotto. (Placido Longo)
Sab 20/03/2010 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Matrice identica e sue proprieta` caratteristiche. Invertibilita` (regolarita`) e matrici singolari: inversa destra e sinistra di una matrice quadrata regolare. Risoluzione di sistemi lineari quadrati mediante la matrice inversa. Esempi di matrici non nulle che non posseggono inversa. Inversa di un prodotto. L'insieme delle matrici quadrate di un dato ordine e` chiuso per somma, multiplo scalare e prodotto: l'algebra non commutativa delle matrici quadrate. Algoritmo di Gauss-Jordan per il calcolo dell'inversa di una matrice. Esempi nei casi singolari e regolari. Inverse di matrici diagonali e triangolari. Prodotto di una matrice per matrici con un unico elemento uguale ad 1 e gli altri nulli: spostamento di singole righe e colonne. (Placido Longo)
Mar 23/03/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: spazi vettoriali. Lo spazio dei polinomi, delle funzioni limitate, continue, derivabili, integrabili. Esempi in negativo: funzioni positive, crescenti, convesse. Sottospazi: intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Condizione sull'intersezione necessaria e sufficiente perche' una somma sia diretta. Lo span di un numero finito di vettori e` un sottospazio. Lemma: uno span non cambia se si aggiunge (o si toglie) ai generatori un vettore combinazione lineare degli altri. (Placido Longo)
Mer 24/03/2010 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: lemma preliminare (scambio di elementi dipendenti in uno span). Spazi di dimensione finita: teorema di esistenza della base; teorema della dimensione sul numero degli elementi in una base e definizione di dimensione; teorema del completamento a base di un sistema indipendente; teorema: un numero di vettori indipendenti pari alla dimensione genera lo spazio. La dimensione di un spazio esprime il massimo numero di vettori (mutuamente) indipendenti in uno spazio e il minimo numero di vettori necessari a generarlo. (Placido Longo)
Gio 25/03/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: coordinate rispetto ad una base. Teorema di Grassmann sulle dimensioni della somma e dell'intersezione di due sottospazi; il caso della somma diretta. Teoria dei sistemi lineari: esistenza di soluzioni e teorema di Rouche`; indipendenza delle colonne e unicita` della soluzione; teorema di Cramer sui sistemi quadrati. Indipendenza della base canonica e dimensione di Rn. Indipendenza di sistemi triangolari e ortogonali. Sistemi "a scala": indipendenza dei vettori relativi alle variabili pivot e dipendenza degli altri. Basi per i polinomi di grado non maggiore di n: indipendenza delle potenze e principio d'identita` dei polinomi. (Placido Longo)
Ven 26/03/2010 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: dipendenza lineare negli spazi di funzioni: sin x e cos x; esponenziali complessi a coeff. distinti; fratti semplici. La decomposizione in fratti semplici di funzioni razionali con grado del numeratore strettamente minore di quello del denominatore e` sempre possibile: il caso in cui le radici del denominatore sono reali, semplici o multiple. Indipendenza e dimensione in Rn: uso dell'algoritmo di Gauss per l'analisi dei sistemi lineari coinvolti in vari problemi legati all'indipendenza (indipendenza di tutte e sole le colonne pivot): estrarre una base da un sistema di generatori; calcolare la dimensione di uno span; stabilire se un insieme di vettori e` completabile ad una base e completarlo con vettori della base canonica scelti opportunamente. (Placido Longo)
Sab 27/03/2010 08:30-10:30 (2:0 h) non tenuta: sospensione delle lezioni per consentire le operazioni elettorali (Placido Longo)
Mar 30/03/2010 11:30-13:30 (2:0 h) non tenuta: lezioni sospese per operazioni elettorali (Placido Longo)
Mer 31/03/2010 14:30-16:30 (2:0 h) non tenuta: lezioni sospese per operazioni elettorali (Placido Longo)
Gio 08/04/2010 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Dipendenza, indipendenza, dimensione e basi in Rn. I sistemi di vettori "a scala" e ruolo dei pivot. Impiego dell'algoritmo di Gauss di riduzione "a scala" 1) per stabilire la dimensione dello span di un numero finito di vettori; 2) per stabilire se un vettore appartenga o no allo span di un numero finito di vettori; 3) per stabilire se n vettori in Rn formino o no una base; 4) per completare ad una base un sistema di vettori indipendenti in Rn; 5) per stabilire l'indipendenza o la dipendenza di un sistema di vettori in Rn; 6) per estrarre da un sistema di generatori una base. La dimensione di Cn rispetto a C e ad R (Placido Longo)
Ven 09/04/2010 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Applicazioni lineari, nucleo, immagine. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive (invertibili): comportamento dell'equazione A(x)=y. Immagine di un punto; immagine inversa o controimmagine di un valore nell'immagine; Nucleo e iniettivita`. Struttura dell'insieme delle soluzioni: problema omogeneo associato e soluzione particolare. Esempi di applicazioni lineari fra spazi di dimensione infinita (la derivata) e da uno spazio di dimensione infinita a R (l'integrale). L'immagine e il nucleo sono rispettivamente sottospazi del codominio e del dominio. Immagini inverse arbitrarie di vettori indipendenti sono indipendenti. La dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare su uno spazio di dimensione finita e` minore o eguale a quella del suo dominio. Teorema di Grassmann sulle dimensioni del dominio, del nucleo, dell'immagine (inizio). (Placido Longo)
Sab 10/04/2010 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: teorema di Grassman sulle dimensioni del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare su uno spazio di dimenione finita. I casi nei quali il nucleo o l'immmagine hano dimensione zero. Invarianza della dimensione per le applicazioni iniettive. Rappresentazione come (opportuno) prodotto di applicazioni lineari fra spazi euclidei: da R in R, da R in Rn, da Rn in R e da Rn in Rm. Applicazioni lineari fra spazi di dimensione finita: matrice di rappresentazione relativa a basi fisate del dominio e dell'immagine. Matrice di rappresentazione della derivata dallo spazio dei polinomi di grado minore o eguale a 2 a quello dei polinomi di grado minore o eguale a 1. (Placido Longo)
Mar 13/04/2010 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: studio dell'applicazione : "t per integrale fra zero e uno di p piu` integrale fra zero e due di p" definita sui polinomi p di grado massimo 2 a valori sui polinomi di grado massimo 1: linearita` e matrice di rappresentazione rispetto alle basi (1,t,t^2) e (2,t-1). Esempi di varie funzioni non lineari, studiate usando la definizione. Uso dell'algoritmo di Gauss per il calcolo della dimensione dell'immagine e del nucleo di un'applicazione lineare. Il determinante: proprieta` caratteristiche (di Artin): valore sulla matrice identica, altenanza, multilinearita`. Matrici con righe uguali. Se A1,..,An sono dipendenti il det e` zero. (Placido Longo)
Mer 14/04/2010 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Esistenza, unicita` e formula risolutiva dei sistemi lineari quadrati a determinante non nullo (formula di Cramer). Numero di inversioni, segno di una permutazione e definizione di determinante. Proprieta` conseguenti (senza dimostrazione): il determinante della matrice trasposta; multilinearita` e alternanza rispetto alle righe; determinante della matrice prodotto (teorema di Binet); calcolo diretto del determinante per le matrici 2x2 e 3x3; conteggio delle permutazioni su n interi e valutazione della complessita` di calcolo del determinante. Determinante di una matrice avente il primo vettore della base canonica come prima colonna. Sviluppo di Laplace secondo gli elementi della prima colonna. (Placido Longo)
Gio 15/04/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Cofattori e sviluppo di Laplace di un determinante secondo una riga o una colonna. Inversa di una matrice e cofattori. L'esistenza dell'inversa destra implica quella della sinistra e la loro eguaglianza. Determinanti di matrici diagonali e triangolari. Il determinante non varia sommando ad una riga o colonna un multiplo di un'altra: calcolo del determinante mediante l'algoritmo di Gauss. Valutazione della complessita` di calcolo dei vari metodi di calcolo del determinante. (Placido Longo)
Ven 16/04/2010 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Sistemi omogenei equivalenti per eliminazione delle righe dipendenti. Minori estratti e indipendenza di vettori in Rn: condizione necessaria e sufficiente. Rango e ordine dei minori estratti. Valutazione della complessita` del calcolo: numero delle disposizioni con e senza ripetizioni, delle combinazioni, delle permutazioni. Numero dei minori kxk estratti da una matrice mxn. Matrice associata ad un cambio di base: formule di trasformazione delle coordinate e della matrice di rappresentazione di un applicazione lineare da uno spazio in se`. (Placido Longo)
Sab 17/04/2010 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Calcolo di una matrice di cambio di base per una rotazione. Il triangolo di Tartaglia per il calcolo rapido dei coefficienti binomiali. Spazio duale di uno spazio vettoriale e base duale di una sua base fissata. Il problema del segno di una forma quadratica (polinomio omogeneo di secondo grado) in piu` variabili: esempi. Studio nel caso diagonale: coefficienti tutti non nulli e concordi, due coefficienti non nulli e discordi, alcuni coefficienti nulli e gli altri concordi. Forme bilineari su uno spazio euclideo e forme quadratiche astratte associate. Rappresentazione di forme bilineari e quadratiche astratte rispetto ad una base fissata e forme quadratiche elementari. (Placido Longo)
Mar 20/04/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: forma bilineare simmetrica associata alle forme quadratiche: unicita`. Operatore lineare associato alle forme bilineari: unicita`. Forme diagonalizzabili e condizione necessaria e sufficiente: il problema degli autovettori per l'operatore associato. Autovalori, autovettori, autospazi, spettro. Esistenza di soluzioni non nulle per il problema degli autovalori: equazione caratteristica. Esempio di matrice priva di autovalori reali e dotata di autovalori complessi: calcolo degli autospazi. (Placido Longo)
Mer 21/04/2010 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Esempio di applicazione non diagonalizzabile (0,1\\0,0). Indipendenza di autovettori in autospazi distinti. Un'applicazione su uno spazio complesso di dimensione finita con autovalori distinti e` diagonalizzabile. Il caso autoaggiunto complesso: gli autovalori sono reali; il complemento ortogonale di un insieme di autovettori e` mutato in se` dall'operatore; autovettori in autospazi distinti sono ortogonali; ogni operatore autoaggiunto su uno spazio complesso di dimensione finita e` diagonalizzabile (teorema spettrale). (Placido Longo)
Gio 22/04/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Il teorema spettrale per le matrici simmetriche reali: ortogonalita` con vettori reali in Cn; una almeno fra le parti reali e immaginarie di autovettori di una matrice reale e` un autovettore reale; per ogni matrice simmetrica reale esiste una base ortonormale in Rn formata da suoi autovettori. Condizione sulla matrice di rappresentazione necessaria e sufficiente perche' un operatore sia autoaggiunto. Il segno di una forma quadratica (polinomio omogeneo di secondo grado): studio del segno degli autovalori della matrice di rappresentazione simmetrica mediante l'algoritmo di Gauss. (Placido Longo)
Ven 23/04/2010 10:30-11:30 (1:0 h) esercitazione: studio del segno di forme quadratiche in piu` variabili: regola dei segni di Cartesio e uso dell'algoritmo di Gauss assieme al teorema di Sylvester per lo studio del segno degli autovalori senza calcolarli. Diagonalizzazione delle matrici simmetriche: calcolo di autovalori e autovettori e determinazione di una matrice di cambio di base che diagonalizza una matrice data. (Placido Longo)
Ven 23/04/2010 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: introduzione all'analisi matematica in piu` variabili: curve, superficie, funzioni scalari di piu` variabili viste come funzioni fra spazi vettoriali. Distanza euclidea: assiomi. Sfere aperte e chiuse di centro un punto e raggio assegnato. Definizione di funzione continua e di funzione convergente in un punto fra spazi euclidei. (Placido Longo)
Sab 24/04/2010 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: punti interni, esterni, di frontiera. Punti isolati e di accumulazione. Insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti. Limiti finiti e infiniti, al finito e all'infinito, di funzioni scalari e vettoriali; funzioni oscillanti. Limiti di successioni: successioni a valori vettoriali convergenti, divergenti e oscillanti. Condizione di Cauchy per la convergenza. Insiemi connessi (per archi) e teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue su insiemi connessi che assumono valori discordi. (Placido Longo)
Mar 27/04/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: proprieta` delle funzioni convergenti: permanenza del segno, teorema di Weierstrass sui punti estremi (senza dimostrazione). Cambio di variabile nei limiti: Controesempio senza ipotesi addizionali e prova nelle tre ipotesi alternative. Convergenza di vettori ed equivalenza alla convergenza delle componenti: convergenza e continuita` per funzioni a valori vettoriali. Convergenza in C. Esempi di polinomi in due variabili di secondo grado non divergenti all'infinito. Prova della divergenza all'infinito dei polinomi nel campo complesso. Una funzione continua divergente all'infinito ha minimo globale: il caso particolare del modulo di un polinomio complesso. (Placido Longo)
Mer 28/04/2010 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Il teorema di Gauss di esistenza degli zeri complessi per un polinomio non costante. Coni e funzioni omogenee. Funzioni omogenee di grado positivo su Rn sono infinitesime. (Placido Longo)
Gio 29/04/2010 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: funzioni 0-omogenee non costanti: (non) esistenza del limite in 0. Reciproco di un infinitesimo: il segno e il caso delle forme quadratiche con uso degli autovalori. Funzioni omogenee di grado negativo. Limiti di forme indeterminate. Esempio di funzione infinitesima sulle rette per l'origine e ivi non convergente. Uso del cambio di variabile nei limiti di funzioni composte: le varie ipotesi che lo rendono lecito in casi pratici. (Placido Longo)
Ven 30/04/2010 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: uso dello studio del segno delle forme quadratiche nel calcolo dei limiti e nello studio del dominio di funzioni di piu` variabili. Effetti delle velocita` di convergenza a zero diverse per le diverse variabili: x^(x+y) in (0,0) non ha limite. Derivate direzionali. Derivate parziali e loro calcolo. Notazioni ed esempi. Esempi. Esempio di funzione che ha tutte le derivate direzionali nulle ma che non e` convergente in (0,0). (Placido Longo)
Mar 04/05/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Il teorema di Fermat sull'annullamento delle derivate direzionali negli estremi locali interni. Differenziale e differenziabilita`. Le funzioni lineari e le forme quadratiche sono differenziabili. Differenziabilita` e continuita`. Differenziabilita` e derivate direzionali: formula del differenziale di una funzione di n variabili. (Placido Longo)
Mer 05/05/2010 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Il gradiente e rappresentazione del differenziale di funzioni fra Rn ed R. Rappresentazione del differenziale come prodotto opportuno negli altri casi di funzioni fra spazi euclidei: funzioni da R in R (derivabilita`), da R in Rn (esistenza della velocita`), da Rn in Rm (matrice Jacobiana). Funzioni lineari in w di tipo o(|w|) e unicita` del differenziale. Piano tangente e vettore normale al grafico. Esempio di funzione continua non differenziabile in un punto: la norma. Calcolo delle derivate direzionali facendo uso delle derivate parziali per le funzioni differenziabili. (Placido Longo)
Gio 06/05/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: funzioni di classi C1 e differenziabilita`. Differenziale di funzioni composte(enunciato). Impiego della rappresentazione del differenziale come prodotto nelle applicazioni del teorema di composizione: la formula classica in R e la derivata di f(g(x)) con g:R--> Rn ed f:Rn-->R. Equazione delle curve di livello. Valore massimo e minimo della derivata nella direzione dei versori: direzione di massima pendenza ascendente e discendente. (Placido Longo)
Ven 07/05/2010 10:30-11:30 (1:0 h) esercitazione: Differenziabilita` di funzioni: impiego del teorema di differenziabilita` delle funzioni C1 o studio del gradiente (anche attraverso la definizione, nei casi che lo richiedano) per individuare la funzione lineareper il differenziale da verificare con la definizione. Il caso f(x,y)=|xy|^k, k in R, in tutti i punti. Il caso f(x,y)= sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2) fuori di (0,0) e f(0,0)=1 (Placido Longo)
Ven 07/05/2010 11:30-12:30 (1:0 h) non tenuta: sospensione attivita` didattica per assemblea elettorale degli studenti. (Placido Longo)
Sab 08/05/2010 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: ancora sul limite di funzioni omogenee di grado negativo non identicamente nulle. Calcolo di differenziali, piani tangenti e derivate direzionali di alcune funzioni definite da leggi diverse in regioni diverse, nei punti di frontiera fra tali regioni. Cenno alla linearizzazione. (Placido Longo)
Sab 08/05/2010 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Derivate parziali di ordine superiore: definizione e notazioni. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz (enunciato) sull'inversione dell'ordine di derivazione e simmetria della matrice Hessiana per le funzioni C2. Formula di Taylor. Condizioni sul segno degli autovalori della matrice Hessiana sufficienti perche' un punto sia di massimo o minimo locale (inizio). (Placido Longo)
Mar 11/05/2010 11:30-12:00 (0:30 h) non tenuta: distribuzione e compilazione dei questionari sulla didattica. (Placido Longo)
Mar 11/05/2010 12:00-13:30 (1:30 h) lezione: (segue) condizioni sufficienti per un estremo locale basate sul segno degli autovalori dell'hessiana: il caso degli autovalori non nulli e concordi (massimi o minimi locali propri); il caso di due autovalori non nulli e discordi (punti di sella non degeneri); il caso degenere (autovalore 0) quando gli autovalori non nulli siano concordi: ruolo dei termini di ordine superiore ed esempi. Introduzione alla teoria del potenziale: campi di vettori, forme differenziali lineari; rappresentazione delle forme differenziali lineari mediante campi di vettori mediante il prodotto scalare. Il problema della primitiva. Integrale di un campo (o di una forma differenziale) su una curva regolare. (Placido Longo)
Mer 12/05/2010 14:30-15:30 (1:0 h) non tenuta: sospensione delle lezioni per le elezioni studentesche. (Placido Longo)
Mer 12/05/2010 15:30-16:30 (1:0 h) lezione: integrabilita` di campi vettoriali e forme differenziali: primitive o potenziali (scalari); forme esatte o integrabili; campi integrabili o potenziali. Campi irrotazionali e forme chiuse: una condizione necessaria per l'integrabilita` di campi e forme di classe C1. L'integrale di un campo o di una forma esteso ad una curva regolare a tratti; congiunzione di curve e additivita` dell'integrale rispetto alla congiunzione. Una condizione necessaria per l'integrabilita` di campi e forme continue: l'indipendenza dell'integrale dal cammino e dipendenza solo dagli estremi (differenza di potenziale). Esempio di campo irrotazionale non integrabile: (y/(x^2+y^2 , -x/(x^2+y^2). (Placido Longo)
Gio 13/05/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Condizione sufficiente per l'integrabilita` di campi C0: l'indipendenza dell'integrale dal cammino. Costruzione pratica del potenziale di un campo mediante integrale su cammini opportuni. Integrazione diretta del sistema delle derivate parziali: costanti di integrazione come funzioni delle variabili residue. Comportamento del metodo nel caso di campi non integrabili: il caso di (y/x^2+y^2) , -x(x^2+y^2) (Placido Longo)
Ven 14/05/2010 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: effetto dell'inversione del verso di percorrenza della curva sull'integrale di un campo arbitrario. Campi continui integrabili (dotati di potenziale) e integrale sulle curve chiuse: nuova formulazione della condizione caratteristica. Curve equivalenti e invarianza dell'integrale di un campo arbitrario per curve equivalenti (a meno del segno). Omotopia o deformazione di curve. Aperti semplicemente connessi. Aperti "a stella" ("convessi rispetto ad un punto") e costruzione dell'omotopia di una qualunque curva chiusa su una curva costante. Teorema di invarianza omotopica dell'integrale di un campo irrotazionale (enunciato). I campi irrotazionali su aperti semplicemente connessi sono integrabili. (Placido Longo)
Sab 15/05/2010 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: Integrabilita` e costruzione di tutti i potenziali di campi (forme) sul loro dominio, connesso o sconnesso. La forma 1/2(xdy-ydx) e l'area di regioni piane. Costruzione di potenziali di ( y/(x^2+y^2) , -x/(x^2+y^2) ) nel piano tagliato lungo una semiretta uscente dall'origine. (Placido Longo)
Mar 18/05/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: curve regolari ed esempio di curva C1 non regolare il cui sostegno e` un grafico cartesiano con una cuspide (t^3,t^2). Curve rettificabili: lunghezza delle poligonali inscritte e definizione di lunghezza. Esempio di curva continua non rettificabile. Rettificabilita` delle curve C1. La lunghezza di curve equivalenti e` uguale, indipendentemente dal verso di percorrenza (scala dei tempi strettamente crescente o decrescente). Calcolo di lunghezze (elica cilindrica). (Placido Longo)
Mer 19/05/2010 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: lunghezza di curve in coordinate polari piane, cilindriche e sferiche, di grafici cartesiani e polari. La spirale d'Archimede. Ascissa curvilinea, integrale curvilineo di funzioni e relativa formula per il calcolo. Introduzione al problema delle funzioni definite mediante equazioni (funzioni implicite). (Placido Longo)
Gio 20/05/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: teorema delle funzioni implicite di U.Dini: il caso di funzioni di due variabili continue e strettamente monotone rispetto ad una delle due. Enunciato e inizio della dimostrazione del caso delle f C1. (Placido Longo)
Ven 21/05/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Derivabilita` della funzione phi definita implicitamente da f(x,y)=0; formula della derivata. Continuita` e derivabilita` in tutto l'intervallo di definizione. Generalizzazioni (solo enunciato): equazione singola in piu` di due variabili; sistemi di m equazioni (non lineari) in n+m incognite: condizione sul determinante Jacobiano ed espressione delle derivate delle funzioni definite implicitamente dal sistema. Teorema di inversione locale. (Placido Longo)
Sab 22/05/2010 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Esempi riguardanti il teorema delle funzioni implicite e quello di inversione locale: struttura delle soluzioni di un sistema di due equazioni in tre incognite; curve regolari; invertibilita` delle coordinate polari. Misura degli intervalli, dei plurintervalli, degli aperti, dei compatti. Insiemi misurabili secondo Lebesgue: misura interna, esterna e misura di Lebesgue di un insieme misurabile. Proprieta` della misura: monotonia, numerabile e finita additivita` e subadditivita`. (Placido Longo)
Mar 25/05/2010 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: Esercitazione di recupero sulla risoluzione di temi d'esame a richiesta degli studenti. Uso delle funzioni iperboliche per l'integrazione delle radici di polinomi di secondo grado. (Placido Longo)
Mar 25/05/2010 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: proprieta` della misura e degli insiemi misurabili. Misura del punti e degli insiemi finiti o numerabili. Aperti densi di misura arbitrariamente piccola. Integrale di Lebesgue di funzioni limitate su insiemi di misura finita: partizioni misurabili, somme superiori ed inferiori. L'integrale di funzioni positive non limitate e definite su insiemi di misura infinita. La parte positiva e negativa: integrale di funzioni di segno variabile su insiemi arbitrari. Misurabilita` di funzioni. (Placido Longo)
Mer 26/05/2010 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Proprieta` delle funzioni misurabili (solo enuncato): misurabilita` ed operazioni aritmetiche, sup, inf. Integrabilita` delle funzioni misurabili e limitate su insiemi di misura finita. Integrabilita` e assoluta integrabilita`: confronto fra integrale di Lebesgue e integrali impropri di Riemann. Teoremi di Beppo Levi e di Lebesgue di passaggio al limite sotto il segno d'integrale (enunciati). Teoremi di Fubini e Tonelli sugli integrali iterati. (enunciati). Domini normali rispetto agli assi e formule pratiche di riduzione di integrali multipli ad integrali semplici. (Placido Longo)
Gio 27/05/2010 11:30-12:30 (1:0 h) non tenuta: scambiata con la collega di Fisica per una prova scritta. (Placido Longo)
Gio 27/05/2010 12:30-13:30 (1:0 h) lezione: Cambi di variabili per gli integrali multipli. Calcolo dell'integrale della gaussiana su R. Integrabilita` all'infinito di (x^2+y^2)^k Formule di Gauss-Green-Ostrogradskij-Stokes... (Placido Longo)
Ven 28/05/2010 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: area di una regione piana mediante le formule di Gauss-Green integrando sul bordo opportune forme differenziali. Frontiere interne ed esterne: orientamento positivo. Superficie parametriche regolari; sistema di generatori dello spazio tangente; piano parametrico tangente; vettore normale mediante il prodotto vettore dei generatori . Area di una superficie regolare. Integrale superficiale di una funzione su una porzione superficie regolare. (Placido Longo)
Sab 29/05/2010 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: Integrali doppi, curvilinei e superficiali. (Placido Longo)
Sab 29/05/2010 10:30-12:00 (1:30 h) esercitazione: recupero ora scambiata con la collega di Fisica. Domande libere degli studenti su tutto il programma del corso. (Placido Longo)

Dettaglio ore