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Dati registro

insegnamento: ALGEBRA LINEARE E ANALISI MATEMATICA II (cod. 591AA)
corso di studi: IFO-L - Ingegneria Informatica
titolare: Placido Longo
docenti: Placido Longo , Laura Maffei
totale ore: 110
( esercitazione: 27 ore , lezione: 83 ore )

Dettaglio ore

Lezioni

Mar 03/03/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Organizzazione del corso in due parti. Propedeuticita` dell'algebra lineare e dell'analisi I allo studio dell'analisi in piu` variabili. Introduzione all'Algebra lineare. Vettori geometrici: il piano inclinato, la crocefissione, il carico alare in volo livellato, in salita e in discesa. Modelli numerici per i sistemi complessi: controllo a distanza di uno scavatore o di una mano meccanica. Sistemi di equazioni lineari. Cenno al problema della programmazione lineare. Lo spazio Rn, componenti, eguaglianza, somma, prodotto per uno scalare e loro significato geometrico nel piano. (Placido Longo)
Mer 04/03/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Proprieta` assiomatiche di spazio vettoriale, in Rn. Norma, sue proprieta` assiomatiche e versori in Rn. Formulazione vettoriale dell'equazione di Newton della gravitazione universale. Distanza e assiomi in Rn. Coseno dell'angolo fra versori e vettori in R2 ed R3. Prodotto scalare, ortogonalita` e coseno dell'angolo in Rn. Proprieta` assiomatiche del prodotto scalare in Rn e contresempio per la proprieta associativa. Prodotto scalare e norma. Teorema di Pitagora e identita` del parallelogramma. Proiezione di un vettore nella direzione di un altro: introduzione. (Placido Longo)
Gio 05/03/2009 13:30-15:30 (2:0 h) lezione: Proiezione di un vettore nella direzione di un altro. Ortogonalita` del resto e decomposizione ortogonale. Teorema della proiezione: proprieta` di minima distanza. Area di parallelogrammi (e triangoli): espressione tramite norme e prodotto scalare dei lati e tramite somma dei quadrati dei minori 2x2, in R2 e Rn. Complessita` di calcolo per le due formule. Prodotto vettore. Ortogonalita` coi fattori. Modulo del prodotto vettore e area. Bilinearita` e antisimmetria. Volume del parallelepipedo di spigoli dati e prodotto misto. (Placido Longo)
Ven 06/03/2009 10:30-12:15 (2:0 h) lezione: Il modulo del prodotto vettore e la regola della mano destra. L'equivalenza fra la disuguaglianza triangolare e quella di Schwartz. Dimostrazione in R2 ed R3 usando le proprieta` del coseno. Altra dimostrazione mediante la relazione fra lunghezza del vettore e lunghezza delle sue proiezioni. Altra dimostrazione dedotta delle due formule dell'area. La dimostrazione classica. Il caso dell'uguaglianza. Curve parametriche e traiettorie. Equazione parametrica delle rette per l'origine, e per un altro punto. (Placido Longo)
Sab 07/03/2009 11:03-13:30 (3:0 h) esercitazione: Richiamo di nozioni introdotte a lezione. Esercizi su prodotto scalare euclideo, norma, distanza, proiezioni di un vettore lungo la direzione di un altro, prodotto vettoriale. Formula uv=1/4[|u+v|^2-|u-v|^2]. L'integrale del prodotto e` un prodotto scalare sulle funzioni continue su [0,1]. Esempi di prodotti scalari. Formula dell'area mediante i minori: conteggio delle coppie di interi in ordine crescente da 1 a n. (Laura Maffei)
Mar 10/03/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Equazione parametrica di una retta in R2 ed Rn. Moti rettilinei uniformi. Rette e semirette per un punto in una direzione. Rette e semirette per due punti. Segmenti, punto medio, e poligoni piani. Conversioni fra forma parametrica e algebrica. Vettore normale ad una retta per l'origine in forma implicita. Retta per un punto normale ad un vettore dato. Condizioni di parallelismo e perpendicolarita` per rette parametriche e algebriche. Equazioni algebriche della retta nello spazio. Equazione normale del piano nello spazio. (Placido Longo)
Mer 11/03/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Revisione della forma normale dell'equazione algebrica di rette nel piano e piani nello spazio. Intersezione e sistemi di equazioni lineari. Intersezione di rette parametriche (intersezione delle traiettorie e collisioni) nel piano. Posizione reciproca di rette nello spazio: rette incidenti, parallele, sghembe. Parallelismo di rette con vettori velocita` allineati. Introduzione alle superficie parametriche ed equazione parametrica del piano. Confronto fra metodo algebrico e parametrico e approccio ibrido nei problemi: intersezione di due piani; determinare la retta per un punto perpendicolare ad un dato piano; equazione della bisettrice di un angolo dato; punto simmetrico ad uno dato rispetto ad una retta. (Placido Longo)
Gio 12/03/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Matrici, tipo, righe, colonne, trasposta. Somma, multiplo, zero, opposto e differenza. Matrici quadrate, identiche, diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche, ortogonali. Vettori riga e vettori colonna. Prodotto di matrici per vettori. Prodotto di matrici, e loro tipo. Convenzione di Einstein. Struttura del prodotto decomponendo il primo fattore in righe o il secondo in colonne. Prodotto di una matrice per i vettori della base canonica. Proprieta` fondamentale della matrice identica. Rappresentazione vettoriale e matriciale dei sistemi di equazioni lineari. (Placido Longo)
Ven 13/03/2009 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Trasposta di un prodotto. Proprieta` associativa, distributiva. Contresempio alla proprieta` commutativa. L'algebra delle matrici quadrate: polinomi di matrici. Inversa destra e sinistra. Enunciato: se A ammette inversa sx anche A' l'ammette. Unicita` dell'inversa. La matrice nulla non e` invertibile. Inversa di diagonali e ortogonali. Invertibilita` e risoluzione di sistemi lineari con secondi membri i vettori della base canonica. Prodotti scalari e trasposte. Un primo esempio di risoluzione di un sistema lineare per eliminazione (Gauss). (Placido Longo)
Sab 14/03/2009 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: (Laura Maffei) Richiamo di nozioni introdotte a lezione. Esercizi riguardanti la forma parametrica ed algebrica di rette nel piano e rette e piani nello spazio. Fascio di piani per una retta assegnata, ricerca di piani passanti per punti non appartenenti alla retta. Esercizi su parallelismo fra rette, fra piani e fra rette e piani. Esercizi su posizioni reciproche di rette e piani nello spazio. Esercizi sulle proprietà del prodotto fra matrici, matrici particolari. (Laura Maffei)
Mar 17/03/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Risolubilita` e risoluzione per sostituzione all'indietro di sistemi triangolari. Matrici a scala e risolubilita` di sistemi lineari associati: condizioni di compatibilita` sul secondo membro per sistemi sovradeterminati (piu` equazioni che incognite), e criteri di scelta dei pivot e delle incognite libere (parametri) per i sistemi con incognite sovrabbondanti. Trasformazione di sistemi generici in sistemi a scala: permutazione di righe e colonne e presentazione dell'algoritmo di eliminazione di Gauss. Esempio di sistema risolubile con sole permutazioni e sostituzione all'indietro. Addizione e sottrazione di righe. (Placido Longo)
Mer 18/03/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Algoritmo di eliminazione di Gauss per i sistemi lineari di tipo generale. Le operazioni di permutazione di righe e colonne (tenendo traccia della permutazione). Scelta del pivot e annullamento dei coefficienti seguenti della colonna per addizione e sottrazione. Algoritmo di Gauss-Jordan di riduzione alla matrice identica con pivot tutti non nulli. Risoluzione simultanea di problemi con termini noti diversi e calcolo della matrice inversa di una matrice quadrata. Esempi. (Placido Longo)
Gio 19/03/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Sistemi omogenei: condizioni per l'esistenza di soluzioni non nulle. Il complemento ortogonale e i sistemi omogenei. Spazi vettoriali astratti: le funzioni continue in un intervallo. Combinazioni lineari e span. Dipendenza lineare: definizione e condizione caratteristica. Vettori allineati in R2 e complanari in R3. Sottospazi. Sottospazi somma e intersezione. Quali rette costituiscono un sottospazio di R2? (Placido Longo)
Ven 20/03/2009 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Sottospazi: la somma e l'intersezione sono sottospazi; somma diretta: condizione sull'intersezione perche' la somma sia diretta; somma diretta di spazi ortogonali; il complemento ortogonale e` un sottospazio; lo span di un insieme di vettori e` un sottospazio. Sistemi di generatori e spazi di dimensione finita e infinita: Rn e i polinomi; dipendenza e indipendenza lineare: le varie forme; le potenze sono indipendenti; sistemi di vettori "diagonali", "triangolari" e ortogonali sono indipendenti. Definizione di base. Prova che da un sistema di generatori puo` essere eliminato un vettore dipendente dagli altri, generando lo stesso spazio. (Placido Longo)
Sab 21/03/2009 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Richiamo di nozioni introdotte a lezione. Esercizi riguardanti la risoluzione di sistemi lineari generali col metodo di Gauss. Esercizi su determinazione di matrici inverse con l'eliminazione di Gauss. Esercizi sul riconoscimento di vettori linearmente indipendenti. Esercizi sulla verifica di sottospazio vettoriale. Dimostrazione che la somma e l'intersezione di due sottospazi è un sottospazio. Alcuni esercizi dai compiti degli anni precedenti. (Laura Maffei)
Mar 24/03/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Basi come sistemi minimi di generatori. Lemma: se una base ha n elementi qualunque insieme di m>n vettori e` dipendente. Teorema della base: 1) ogni spazio di dimensione finita ammette una base. 2) Tutte le basi hanno lo stesso numero d'elementi: la dimensione. Teorema del completamento. Se dim(X)<=n, ogni insieme di n vettori indipendenti e` una base. Dimensione di Rn e dei polinomi di grado <=n. Decomposizione in fratti semplici: posizione del problema in termini di algebra lineare. (Placido Longo)
Mer 25/03/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Decomposizione in fratti semplici: indipendenza dei fratti semplici e risolubilita` del problema nel caso di radici reali semplici o multiple. I teoremi classici sui sistemi lineari: condizione di esistenza di Rouche' e Capelli mediante il rango delle matrici completa e incompleta; teorema di esistenza e unicita` di Cramer sui sistemi quadrati; condizione generale di unicita` mediante l'indipendenza delle colonne. Applicazioni lineari: esempi (integrale su C0[0,1]). Nucleo e immagine sono sottospazi. Condizione caratteristica di iniettivita` sul nucleo. Equazioni lineari astratte: soluzione particolare, nucleo (soluzioni dell'omogenea) e struttura generale delle soluzioni. Teorema di Grassmann sulla dimensione del nucleo e dell'immagine: enunciato e parte della dimostrazione. (Placido Longo)
Gio 26/03/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Teorema di Grassmann: dimostrazione completa. Esercizio assegnato: se X e` somma diretta di Y e Z allora dim(X)=dim(Y)+dim(Z). La dimensione non cresce sotto applicazioni lineari: resta uguale solo se sono isomorfismi. L'inversa di un'applicazione lineare e` lineare. Isomorfismo canonico fra gli spazi di dimensione n e Rn, e fra di loro. Struttura delle applicazioni lineari fra R e R, R e Rn, Rn e R, Rn e Rm, n,m >1: rappresentazione delle applicazioni lineari come prodotti opportuni del generico elemento del dominio per oggetti costanti opportuni. Autovalori e autovettori: definizione. (Placido Longo)
Ven 27/03/2009 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Indipendenza di autovettori relativi ad autovalori diversi. Esercizio proposto: esponenziali con diversi coefficienti reali sono indipedenti. Funzioni lineari fra spazi euclidei: ancora sulla rappresentazione come prodotto matrice per vettore. Matrice associata alla funzione composta di due funzioni lineari. Immagine di un'applicazione lineare e` lo span delle colonne della matrice associata. Risoluzione per eliminazione di Gauss di: 1) calcolo del rango; 2) calcolo del nucleo e della sua dimensione; 4) dimensione di uno span; 5) completamento a base; 6) riduzione a base di un sistema di generatori; 7) dipendenza e indipendenza di sistemi di vettori dati; (Placido Longo)
Sab 28/03/2009 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Richiamo di nozioni introdotte a lezione. Esercizi sulle basi di uno spazio vettoriale (Rn, spazio dei polinomi di grado <=n, spazio delle matrici quadrate di ordine 2). Esercizi sulle coordinate rispetto a una base dello spazio dei polinomi di grado <= n e dello spazio delle matrici quadrate di ordine 2. Dimensione di particolari sottospazi di M2 (R), e dei polinomi di grado <=2 (con verifiche di sottospazio). Un'applicazione del teorema di Grassmann a due sottospazi vettoriali di R4. Determinazione di nucleo e immagine di un' applicazione lineare fra R5 e R3 e e di un endomorfismo fra lo spazio dei polinomi di grado <=2. Esercizi sul completamento a base a partire da m, con mn vettori di Rn dati. (Laura Maffei)
Mar 31/03/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Ancora sulla matrice associata ad un'applicazione lineare e alle basi: isomorfismi canonici e vettori colonna. Applicazioni lineari e valori su una base. Altri problemi risolubili per eliminazione: iniettivita`, suriettivita`, biiettivita`; verifica che un insieme di n vettori forma una base in Rn; anticipazione sul calcolo efficiente del determinante per matrici di dimensioni consistenti. Le tre proprieta` caratteristiche del determinante: valore sulla matrice identica, alternanza, multilinearita`. Altre proprieta`: colonne uguali e dipendenti. Condizione necessaria e sufficiente per l'indipendenza lineare mediante il determinante. (Placido Longo)
Mer 01/04/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Test d'indipendenza lineare di vettori per estrazioni di minori a determinante non nullo. L'aggiunta ad una colonna di una combinazione delle altre. La formula risolutiva di Cramer per i sistemi lineari quadrati. Permutazioni e numero di inversioni. Definizione di determinante: stima della complessita` di calcolo. Determinanti di matrici 2x2, 3x3, diagonali e triangolari. Il determinante della matrice trasposta (solo enunciato), e proprieta` del determinante rispetto alle righe. Calcolo del determinante per riduzione a forma triangolare. Esistenza dell'inversa sinistra nota quella destra; uguaglianza delle due inverse. Teorema di Binet sul determinante del prodotto (solo enunciato), e determinante dell'inversa. Regola di Laplace di sviluppo secondo gli elementi di una riga o di una colonna. (Placido Longo)
Gio 02/04/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Formula della matrice inversa con i cofattori: valutazione della complessita` di calcolo. Volume del parallelepipedo. Spazio delle applicazioni lineari fra due spazi vettoriali e algebra delle applicazioni lineari da uno spazio in se` (cenni). Spazio duale e base duale di una base data. Autovalori ed autovettori di un'applicazione lineare da uno spazio in se`; autospazi. Indipendenza (richiamo) e intersezione di autospazi di autovalori distinti. Ortogonalita` degli autovettori di autovalori distinti di matrici simmetriche. Equazione caratteristica: esempio di determinazione di autovalori e autospazi di una matrice 2x2 simmetrica. Spazi vettoriali complessi. Struttura euclidea complessa: prodotti hermitiani. (Placido Longo)
Ven 03/04/2009 10:30-12:30 (2:0 h) non tenuta: La lezione non ha avuto luogo per sciopero del personale di portineria. (Placido Longo)
Sab 04/04/2009 11:30-13:30 (2:0 h) non tenuta: Esercitazione non tenuta per sciopero del personale di portineria. (Laura Maffei)
Mar 07/04/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: La disuguaglianza di Schwartz negli spazi euclidei complessi. Basi ortonormali. Esistenza e completamento di basi ortonormali: ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Sviluppo di Fourier rispetto ad una base ortonormale. Lo sviluppo di Fourier rispetto ad un sistema ortonormale e` l'elemento dello span dei vettori del sistema di minima distanza dal punto sviluppato. Applicazioni lineari da uno spazio in se` e cambio di base: matrici associate alla stessa applicazione rispetto a basi diverse. La matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto ad una base ortonormale di autovettori e` diagonale. Un caso particolari di matrici diagonalizzabili: matrici nxn con n autovalori reali distinti. (Placido Longo)
Mer 08/04/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Segno di forme quadratiche e diagonalizzazione. CNS per la diagonalizzabilita` e` l'esistenza di basi ortonormali di autovettori. Esempio di matrice non diagonalizzabile (1,2\\0,1). Calcolo di autovalori e autovettori per una matrice 2x2. Caso in cui non ci sono autovalori reali (0,-1\\1,0). Teorema fondamentale dell'algebra ed esistenza di autovalori e autovettori complessi. Matrici simmetriche reali: tutti gli autovalori sono reali; ogni autospazio contiene autovettori reali; gli autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali; se un vettore w e` ortogonale ad un autovettore anche Aw lo e`. Teorema spettrale: ogni matrice simmetrica reale ammette una base ortonormale di autovettori (base spettrale). (Placido Longo)
Gio 16/04/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Complessita` del calcolo esplicito degli autovalori e problema dello studio del segno di una forma quadratica attraverso lo studio del segno degli autovalori, anche senza la loro conoscenza esplicita. Preliminari al teorema di Sylvester: prodotti ovvero forme bilineari simmetriche non necessariamente definite positive; esistenza di basi ortogonali rispetto ad un prodotto; spazio nullo; uguaglianza fra la sua dimensione e il numero degli elementi di una qualunque base ortogonale a quadrato nullo; teorema di Sylvester sul numero degli elementi di una base ortogonale a quadrato positivo, negativo e nullo; esempio. (Placido Longo)
Ven 17/04/2009 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Indici di Sylvester. Matrice associata ad una funzione bilineare simmetrica (prodotto). Prodotti associati a matrici diagonali: indici di Sylvester e numero di elementi sulla diagonale maggiori, minori e uguali a zero. Trasformazione della matrice associata ad un prodotto per effetto di un cambio di base. Il cambio ad una base di autovettori di norma uno della matrice associata la trasforma in una matrice diagonale, con gli autovalori come elementi diagonali e conseguente determinazione del segno degli autovalori di una matrice simmetrica senza risolvere l'equazione caratteristica. Teorema spettrale di decomposizione in somma di proiettori: polinomi e funzioni di matrici (cenni). Esempi di funzioni fra spazi euclidei: curve parametriche, funzioni reali di piu` variabili, superficie parametriche. Topologia di Rn: sfere e intervalli; insiemi limitati; punti interni, di frontiera, esterni, di accumulazione, isolati; funzioni continue e funzioni convergenti. (Placido Longo)
Sab 18/04/2009 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Richiamo di nozioni introdotte a lezione. Esercizi sul determinante (con il metodo di Laplace e con l'eliminazione di Gauss). Esercizi sull'invertibilità di una matrice, calcolo di inverse di matrici contenenti parametri. Esercizi riguardanti il calcolo dell'inversa di una matrice attraverso la matrice aggiunta. Esercizi di applicazione della formula di Cramer.. (Laura Maffei)
Mar 21/04/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Insiemi chiusi e aperti. Successioni convergenti. Estensione dei teoremi dell'analisi in una variabile reale ai vettori: il caso del limite della somma di successioni convergenti, e ruolo della disuguaglianza triangolare. Approssimazione di punti d'accumulazione con punti dell'insieme. Gli insiemi chiusi contengono i limiti delle successioni convergenti di propri punti. Disuguaglianze fra la norma e i moduli delle componenti. La convergenza in Rn equivale alla convergenza delle componenti. Convergenza in C. Limiti all'infinito. Funzioni divergenti. Connessione: definizione e teorema degli zeri in piu` variabili. (Placido Longo)
Mer 22/04/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Completezza di spazi metrici, normati, euclidei. Esempio di spazio metrico non completo: ]0,1]. Completezza di Rn. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. Da ogni successione limitata se ne puo` estrarre una convergente. Gli insiemi chiusi contengono i limiti delle successioni convergenti di loro punti. Successione massimizzante di una funzione. Il teorema di Weierstrass sull'esistenza del massimo. (Placido Longo)
Gio 23/04/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Contresempi per il teorema di Weierstrass. Funzioni a valori vettoriali: rappresentazione, continuita` e continuita` delle componenti. Richiamo degli enunciati principali della teoria dei limiti e delle funzioni continue. Condizione di Cauchy per la convergenza di successioni e funzioni. Funzioni omogenee definite su un cono. Limite nell'origine di funzioni omogenee: le funzioni 0-omogenee non costanti non convergono; le funzioni omogenee di grado strettamente positivo limitate sull'insieme dei versori appartenenti al loro dominio sono infinitesime. Esempio di funzione omogenea di grado strettamente positivo non infinitesima. Esempio di funzione con limiti nulli su tutti le semirette dell'origine ma non infinitesima. (Placido Longo)
Ven 24/04/2009 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Continuita` della norma. Esempi di polinomi in due variabili non divergenti all'infinito. I polinomi complessi divergono all'infinito in C. Le funzioni continue reali divergenti all'infinito hanno minimo assoluto. Il teorema fondamentale dell'algebra (di Gauss): ogni polinomio complesso ha zeri complessi. Osservazione sulla divisibilita` per z-z0 ed fattorizzazione completa di un polinomio in un prodotto di fattori di primo grado, eventualmente coincidenti. Derivate direzionali e derivate parziali. Esempi di calcolo di derivate direzionali e parziali usando la definizione. Osservazione sulle regole di derivazione parziale in pratica. (Placido Longo)
Mar 28/04/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Teorema di Fermat sui punti di estremo interni. Esempio di funzione discontinua con tutte le derivate direzionali nulle. Il differenziale e il piano tangente al grafico. Le funzioni differenziabili sono continue. Le funzioni differenziabili hanno tutte le derivate direzionali. Formula di rappresentazione del differenziale mediante le derivate parziali: il gradiente. (Placido Longo)
Mer 29/04/2009 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Differenziabilita` di funzioni lineari: il caso delle proiezioni sugli assi e la formula classica del differenziale. Teorema di differenziabilita` delle funzioni con derivate parziali continue. Stima del modulo della derivata direzionale: il gradiente e la direzione di massima pendenza. (Placido Longo)
Mer 29/04/2009 10:30-11:30 (1:0 h) non tenuta: sospensione dell'attivita` didattica per la campagna elettorale studentesca. (Placido Longo)
Gio 30/04/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Vettori normali al grafico. Differenziale di funzioni composte (enunciato). Rappresentazione dei differenziali per funzioni da R a R, da R a Rn, da Rn a Rm: velocita` di una curva e jacobiano. Derivata di una funzione composta da una da R in Rn e una da Rn a R. Equazione delle curve di livello e perpendicolarita` al gradiente. Derivate successive e teorema di Schwarz (enunciato). Formula di Taylor in piu` variabili (resto di Lagrange). Condizioni sufficienti per un estremo: impostazione del problema. (Placido Longo)
Sab 02/05/2009 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Richiamo di nozioni introdotte a lezione. Esercizi sulla diagonalizzabilita` di un endomorfismo e l'esistenza di basi ortonormali di autovettori. Osservazione sull'esistenza di endomorfismi diagionalizzabili non simmetrici in cui una base di autovettori non è ortonormale. Ricerca di autovalori e autovettori. Applicazione del teorema spettrale, determinazione di una base spettrale. La derivata di una funzione a due variabili nella direzione del vettore (cosα,sinα), il legame con le derivate parziali rispetto a x e a y. Derivabilità di una funzione a due variabili e calcolo delle derivate parziali. (Laura Maffei)
Mar 05/05/2009 09:30-10:30 (1:0 h) non tenuta: Sospensione attivita` didattica per elezioni studentesche (Placido Longo)
Mar 05/05/2009 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: Il resto n-esimo di Lagrange della formula di Taylor e` infinitesimo di ordine superiore rispetto a |x-x0|^n. Condizioni sufficienti per un estremo locale in termini di segno dei massimi e dei minimi della forma hessiana sulla sfera unitaria. Punti di sella in caso di estremi discordi. Esempi sul caso in cui un valore estremo e` nullo (punto critico degenere). La condizione di Fermat applicata agli estremi della forma hessiana mediante il suo prolungamento omogeneo di grado 0 a tutto il complementare dell'origine, H(w)/|w|^2. I punti critici della forma hessiana sulla sfera unitaria sono autovettori della matrice associata, i cui autovalori corrispondono al valore che la forma assume su tali punti. (Placido Longo)
Mer 06/05/2009 09:30-10:30 (1:0 h) non tenuta: sospensione attivita` didattica per elezioni studentesche (Placido Longo)
Mer 06/05/2009 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: Condizioni sufficienti per un estremo, sugli autovalori della matrice hessiana. Discussione dei punti critici nel caso non degenere: massimi, minimi, punti di sella. Il caso degenere (determinante dell'hessiana nullo): hessiana indefinita; hessiana semidefinita (rilevanza dei termini di ordine superiore. Il segno degli autovalori in pratica: condizione sui minori principali dell'hessiana (enunciato) perche' gli autovalori siano dello stesso segno. Metodo alternativo mediante il teorema di Sylvester. Il problema della primitiva in piu` variabili: campi di vettori e integrabilita`. Condizione necessaria di integrabilita` per campi C1, sulle derivate delle componenti del campo (Condizione del rotore). (Placido Longo)
Mer 06/05/2009 10:30-11:30 (1:0 h) lezione: Condizioni sufficienti per un estremo, sugli autovalori della matrice hessiana. Discussione dei punti critici nel caso non degenere: massimi, minimi, punti di sella. Il caso degenere (determinante dell'hessiana nullo): hessiana indefinita; hessiana semidefinita (rilevanza dei termini di ordine superiore. Il segno degli autovalori in pratica: condizione sui minori principali dell'hessiana (enunciato) perche' gli autovalori siano dello stesso segno. Metodo alternativo mediante il teorema di Sylvester. Il problema della primitiva in piu` variabili: campi di vettori e integrabilita`. Condizione necessaria di integrabilita` per campi C1, sulle derivate delle componenti del campo (Condizione del rotore). (Placido Longo)
Gio 07/05/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Integrabilita` di forme differenziali lineari: forme chiuse ed esatte (integrabili), campi irrotazionali e integrabili. L'integrale curvilineo di un campo o di una forma. Invarianza rispetto al cammino dell'integrale di campi integrabili: differenza di potenziale. Esempio di campo irrotazionale non integrabile. Accodamento di curve: additivita` dell'integrale curvilineo rispetto a curve accodate. Condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita` di campi continui: l'indipendenza dal cammino e l'integrale sulle curve chiuse. Deformazione (omotopia) di curve. Invarianza per deformazione dell'integrale di campi irrotazionali (enunciato). Integrabilita` di campi irrotazionali su aperti semplicemente connessi. Insiemi stellati. (Placido Longo)
Ven 08/05/2009 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: Funzioni con gradiente identicamente nullo e forma generale dei potenziali di un campo su un aperto. Calcolo di uno dei potenziale di un campo, mediante la verifica dell'integrabilita` e il calcolo dell'integrale curvilineo su un cammino conveniente. Integrazione diretta del sistema di equazioni differenziale del gradiente: struttura delle costanti arbitrarie; verifica sul dominio del potenziale trovato coincida con quello voluto. Esame del comportamento del "differenziale d'angolo" -(y/x^2+y^2)dx+(x/x^2+y^2)dy. Studio (sommario) del caso dei campi irrotazionali con un numero finito di singolarita`: riduzione per omotopia ad un numero finito di cicli attorno alle singolarita`. (Placido Longo)
Sab 09/05/2009 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Richiamo di alcune nozioni introdotte a lezione. Esercizi sulla determinazione dei punti di massimo e minimo relativo e di sella. Casi in cui l'hessiano non è semidefinito positivo o semidefinito negativo. Forme lineari esatte e chiuse, l'integrale curvilineo di una forma. (Laura Maffei)
Mar 12/05/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Curve regolari e generalmente regolari. Curve semplici e chiuse. Enunciato del teorema di Jordan sul complementare di una curva regolare semplice e chiusa. Immagine o sostegno. Esempio di curva C1 la cui immagine e` un grafico di funzione non regolare. Rettificabilita` e lunghezza. Cenni al controesempio di Peano. Integrale di funzioni vettoriali (secondo Mengoli-Cauchy). Stima della norma dell'integrale con l'integrale della norma. Rettificabilita` delle curve C1. Formula per il calcolo della lunghezza (enunciato). (Placido Longo)
Mer 13/05/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Supplemento al capitolo sui massimi e minimi: un criterio sui coefficienti dei polinomi con tutte le radici reali e dello stesso segno. Lunghezza di un grafico di funzione. Parametrizzazioni equivalenti: invarianza della lunghezza. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo e formula per il calcolo. Coordinate polari piane: formule di conversione. (Placido Longo)
Gio 14/05/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Ancora sui polinomi a radici di segno concorde: condizione necessaria e sufficiente. Curve in coordinate polari: formula per la lunghezza. Curve di tipo r=f(theta). La spirale di Archimede r=theta e la curva r=sin theta: lunghezze. Coordinate polari cilindriche: formule di conversione e lunghezza. Elica. Coordinate polari sferiche: formule di conversione. (Placido Longo)
Ven 15/05/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Calcolo della lunghezza di una curva in coordinate sferiche. Equazioni differenziali a variabili separabili e luoghi di zeri di funzioni di due variabili. Enunciato del teorema di Picard di esistenza ed unicita` della soluzione del problema di Cauchy per un'equazione differenziale del primo ordine. Teorema di U. Dini sulle funzioni implicite: esistenza di una funzione u=f(t) che risolve localmente l'equazione G(t,u)=0. (Placido Longo)
Sab 16/05/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: Esercizio sull'equazione polare della circonferenza unitaria centrata in (1,0). Teorema delle funzioni implicite: continuita` della funzione esplicita. Il caso di una funzione C1: espressione della derivata della funzione esplicita. Enunciato senza dimostrazione della versione vettoriale (sistemi di funzioni implicite): condizione dello jacobiano. (Placido Longo)
Mar 19/05/2009 09:30-11:30 (2:0 h) lezione: Il teorema di invertibilita` locale: enunciato. Regolarita` di curve parametriche piane e rappresentabilta` locale come grafici di funzioni regolari. Introduzione all'integrazione secondo Lebesgue (solo enunciati per tutto il capitolo): dalla partizione del dominio a quella del codominio; misurabilita` di intervalli, plurintervalli, aperti, compatti; misura esterna e interna di un insieme limitato arbitrario, misurabilita` e misura di Lebesgue; insiemi non limitati; operazioni insiemistiche sui misurabili; proprieta` della misura: numerabile additivita` e altre proprieta` (monotonia, subaditivita`, finita additivita`, continuita` verso l'alto e verso il basso). Numerazione di Cantor dei razionali e verifica per subadditivita` che hanno misura nulla. (Placido Longo)
Mer 20/05/2009 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: (solo enunciati di tutti i seguenti argomenti) Integrale di Lebesgue di una funzione. Funzioni misurabili e loro proprieta`. Integrabilita` di una funzione misurabile e limitata su un insieme di misura finita. Definizione alternativa di integrale di Lebesgue: funzioni semplici misurabili. La funzione di Dirichlet e` integrabile su ogni insieme di misura finita e l'integrale vale 0. (Placido Longo)
Mer 20/05/2009 10:30-11:30 (1:0 h) non tenuta: Per sospensione dell'attivita` didattica comunicata a mezzo pagina web di Facolta`. (Placido Longo)
Gio 21/05/2009 11:30-13:30 (2:0 h) lezione: (Solo enunciati) Integrabilita` di funzioni non limitate su insiemi di misura infinita: parte positiva e negativa, integrabilita` del modulo. Integrale di Riemann e di Lebesgue, relazioni e teorema di Lebesgue-Vitali. Teoremi di Beppo Levi e di Lebesgue di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Teoremi di Fubini e Tonelli sugli integrali iterati. Domini normali. Cambio di variabile e jacobiano. Formule di Gauss-Green sugli integrali di una derivata parziale. L'area di una regione piana come un integrale curvilineo sul suo bordo. (Placido Longo)
Ven 22/05/2009 10:30-12:30 (2:0 h) lezione: (Solo enunciati) Superficie regolari, piano tangente e vettore normale: vettori tengenti alle curve interamente giacenti sulla superficie. Area di una (porzione di) superficie regolare. Regolarita` delle coordinate polari sferiche su una sfera centrata nell'origine. Area della sfera e della porzione di superficie del paraboloide di rotazione interna al cilindro di raggio unitario attorno all'asse z. Integrale superficiale di una funzione esteso ad una superficie regolare. Area di una superficie cartesiana (grafico di una funzione di due variabili). FINE PROGRAMMA. (Placido Longo)
Sab 23/05/2009 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Esercizi riepilogativi su superficie, piano tangente e vettore normale, area, integrali superficiali, baricentri, momenti d'inerzia. (Placido Longo)
Mar 26/05/2009 09:30-11:30 (2:0 h) esercitazione: Esercizi di riepilogo su aree di superficie cartesiane e parametriche; aree e volumi di rotazione. Coordinate polari. (Placido Longo)
Mer 27/05/2009 09:30-11:30 (2:0 h) esercitazione: Esercizi di riepilogo su: area di superficie, massimi e minimi vincolati, con vincolo in forma cartesiana, parametrica e implicita (moltiplicatori di Lagrange). Estremi assoluti su insiemi chiusi e limitati. Organizzazione del ricevimento al di fuori del periodo delle lezioni, e in prossimita` degli esami. Organizzazione delle comunicazioni fra studenti e docente. Modalita` di pubblicazione del programma effettivo del corso. (Placido Longo)
Gio 28/05/2009 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Prova di esame sulla parte di Algebra lineare. Correzione alla lavagna. Chiarimento di dubbi su alcuni argomenti dei quesiti. (Laura Maffei)
Ven 29/05/2009 10:30-12:30 (2:0 h) esercitazione: Richiamo di nozioni introdotte a lezione. Esercizi su massimi e minimi vincolati. Vincoli in forma cartesiana, parametrica, implicita. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Casi particolari in due variabili. Integrali doppi. Formule di riduzione per domini semplici. (Laura Maffei)
Sab 30/05/2009 11:30-13:30 (2:0 h) esercitazione: Richiamo di nozioni introdotte a lezione. Esercizi sul cambiamento delle variabile di integrazione per gli integrali doppi. Coordinate polari. Coordinate cilindriche e sferiche. Chiarimento di dubbi. (Laura Maffei)

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