Seminari 2005-2006

Mercoledi' 23 novembre 2005, 15.30, sala seminari.

Elisabetta Colombo (Milano)

"Superfici cubiche marcate"

Abstract: Si discutono risultati recenti sullo spazio dei moduli delle superfici cubiche di P³ marcate con al piu' nodi, identificato da
Allcock, Carlson Toledo con un quoziente della palla complessa 4-dimensionale. Si illustrano in particolare l'embedding proiettivo in P⁹,
il gruppo di Chow e modelli della famiglia universale.

Mercoledi' 30 novembre 2005, 15.30, sala seminari.

Antonio Rapagnetta (Pisa)

"Varieta' simplettiche irriducibili I"

Abstract: Le varieta' simplettiche irriducibili sono varieta' di kahler compatte che hanno un ruolo centrale nella classificazione delle varieta' con canonico banale. Nonostante la loro rilevanza sono pochi gli esempi noti di queste varieta'. Nel seminario si studieranno gli esempi classici e si discuteranno alcuni risultati importanti della teoria generale delle varieta' simplettiche irriducibili.

Mercoledi' 7 dicembre 2005, 15.15, sala seminari.

Antonio Rapagnetta (Pisa)

"Varieta' simplettiche irriducibili II"

Abstract: In questo seminario saranno introdotti gli esempi di Beauville e sara' messa in relazione la teoria generale delle varieta' simplettiche irriducibili con quella delle superfici K3.

Mercoledi' 14 dicembre 2005, 15.00, sala seminari.

Mauro Beltrametti (Genova)

"Varieta' proiettive contenenti curve speciali"

Abstract: Sia Y una curva non singolare immersa in una varieta' proiettiva complessa X di dimensione n maggiore di 1 con fibrato normale ampio N. Per ogni intero non negativo p, denotiamo con a_p la mappa di restrizione Pic(X)--->Pic(Y(p)), dove Y(p) e' il p-mo intorno infinitesimale di Y in X. Si prova innanzi tutto che esiste un isomorfismo di gruppi abeliani Coker(a_p) = Coker(a_0)\oplus K_p(Y,X), dove K_p(Y,X) e' un quoziente dello spazio vettoriale complesso L_p(Y,X) := \oplus_{i=1}^p H^1(Y,S^i N)*) con un sottogruppo libero di L_p(Y,X) di rango inferiore al numero di Picard di X (dove S^i N denota la i-ma potenza simmetrica di N).
Si prova poi che L_1(Y,X) = 0 se e solo se Y e' razionale ed N e' somma diretta di n-1 copie di O(1) (cioe' Y e' una quasi-line).
Le curve speciali in questione sono quelle per cui L_1(Y,X) ha dimensione uno. Questa situazione e' strettamente collegata con un risultato classico di B. Segre. Si prova che Y e' speciale se e soltanto se o Y e' razionale con N somma diretta di O(2) e n-2 copie di O(1), oppure Y e' ellittica con N di grado 1. Si discutono alcuni risultati generali ed esempi in dimensione qualsiasi e si fornisce una classificazione completa delle coppie (X,Y) nel caso n = 2.

Mercoledi' 21 dicembre 2005, ore 15.30, sala seminari.

Antonio Rapagnetta (Pisa)

"Varieta' simplettiche irriducibili III"

Abstract: Nel seminario si discuteranno due risultati di Huybrechts sulle varieta' simplettiche irriducibili: la suriettivita' della mappa dei periodi (introdotta nel precedente seminario) e l'equivalenza per deformazione di varieta' simplettiche irriducibili birazionali.

Mercoledi' 18 gennaio 2006, ore 15,30, sala seminari.

Giuseppe Pareschi (Roma II)

"Il lemma di Castelnuovo per le varieta' abeliane"

Abstract: Presentero' alcuni risultati sulle varieta' abeliane principalmente polarizzate (v.a.p.p.), ottenuti in collaborazione con MihneaPopa. L'osservazione di partenza e' che la famiglia dei traslati del divisore theta in una v.a.p.p. e la famiglia degli iperpiani nelllo spazio proiettivo hanno proprieta' simili. Ne segue che alcuni fatti elementari alla base della Teoria di Castelnuovo per lo spazio proiettivo hanno un naturale corrispettivo nelle v.a.p.p.. Il risultato principale di queste osservazioni e' una nuova caratterizzazione geometrica delle Jacobiane, come le p.p.a.v. che verificano il "Lemma di Castelnuovo". Verranno discussi anche possibili sviluppi e conseguenze congetturali dell'analogia tra spazi proiettivi e varieta' abeliane.

Mercoledi' 15 febbraio 2006, 15.30, sala dei seminari.

Chiara Brambilla (Firenze)

"Fibrati di Steiner e di Fibonacci"

Abstract: I fibrati di Steiner sullo spazio proiettivo P^n sono conucleo di matrici di forme lineari. In questo seminario descrivero' alcune proprieta' di questa classe di fibrati, in particolare daro' un criterio di semplicita' e una decomposizione canonica per il generico fibrato di Steiner di rango qualunque. In tale descrizione svolgono un ruolo importante i fibrati di Steiner eccezionali, la cui risoluzione e' data in termini di numeri di Fibonacci.
Daro' quindi una generalizzazione di questi risultati per una classe piu' ampia di fibrati che sono conucleo di una mappa tra fibrati opportuni.

Mercoledi' 22 febbraio 2006, 15.00, sala dei seminari.

Rita Pardini (Pisa)

"Il gruppo fondamentale delle superfici con K^2 piccolo"

Abstract: Gli invarianti numerici di una superficie complessa minimale di tipo generale soddisfano le disuguaglianze:2\chi-6 <=K²<=9\chi.
Da tempo si e' compreso che, piu' il rapporto K²/\chi e' piccolo, piu' il gruppo fondamentale algebrico della superficie e' semplice, come e'
evidenziato da risultati per le superfici con K²<3\chi ottenuti negli anni '70-'80 da diversi autori (Bombieri, Horikawa, Reid, Xiao).
In questo contesto si inquadra anche la disuguaglianza di Severi, che afferma che la mappa di Albanese di una superficie irregolare con
K²<4\chi ha per immagine una curva.
Mostrero' come i risultati gia' noti sul gruppo fondamentale delle superfici con K²<3\chi possano essere
riottenuti facilmente utilizzando la disuguaglianza di Severi e la "slope inequality" (Xiao G., Cornalba-Harris) per le superfici fibrate su una curva.
Esporro' poi alcuni risultati recenti, ottenuti in collaborazione con M. Mendes Lopes, sul gruppo fondamentale delle superfici con K²<=3\chi.

Mercoledi' 15 marzo 2006, ore 15, sala seminari.

Flaminio Flamini (Roma II)

"Su alcune componenti dello schema di Hilbert di "scrolls" di grado d e genere g"

Abstract: L'obiettivo di questo seminario e' quello di presentare alcuni risultati recenti, ottenuti in collaborazione con A. Calabri, C.Ciliberto e R. Miranda. Essi riguardano alcune questioni di degenerazioni di superfici lisce, immerse in spazi proiettivi, che sono rigate in rette (scrolls), di grado d e di genere sezionale g, un qualsiasi intero non-negativo.
Questa e' una problematica che ha le sue radici gia' dagli anni 40-50, periodo in cui Guido Zappa si era interessato al problema di estendere al caso delle superfici risultati classici di degenerazioni di curve proiettive di grado d e genere g, a moduli generali, ad una stick-curve, i.e. ad una (opportuna) unione di rette con solo nodi come singolarita'.
Tali argomenti, si sono sviluppati via via nel tempo e hanno trovato numerose applicazioni non necessariamente nella sola Geometria Algebrica delle superfici.
Nei suoi ragionamenti, Zappa si era gia' accorto che, contrariamente al caso delle curve, anche per classi particolari di superfici quali e.g. gli scrolls, le singolarita' "normal-crossings" non erano sufficienti per poter descrivere degenerazioni di esse ad un'unione di piani. Egli cercava quindi la tipologia di singolarita' che fosse naturale e sufficiente a far degenerare quante piu' possibili superfici ad un'unione di piani.
Nel seminario presentiamo il risultato, da noi prodotto con tecniche differenti dai ragionamenti di Zappa, di degenerazione di scrolls di genere sezionale g>=0, grado d> 2g +3, e linearmente normali in P^r, dove r = d-2g +1.
Discutiamo, inoltre, risultati prodotti che studiano alcune componenti dello schema di Hilbert di tali scrolls, che risultano dominare lo spazio dei moduli delle curve di genere g.
Infine, se il tempo lo permette, verra' presa in esame brevemente l'interessante strategia che G. Zappa aveva in mente per tentare di dimostrare risultati analoghi ai nostri.