Teorema di Banach-Caccioppoli (o delle contrazioni)

Sia $(E,d)$ uno spazio metrico completo non vuoto^*. Sia $T\colon E\to E$ una mappa tale che \[ d(T(x),T(y)) \le \lambda\, d(x,y) \qquad \forall x,y \in E \] con $\lambda < 1 $.

Allora esiste (ed è unico) un punto $\bar x \in E$ tale che \[T(\bar x) = \bar x.\]

Dimostrazione.

Sia $x_0 \in E$ un punto qualunque. Si costruisca la successione $x_k$ per ricorrenza, ponendo $x_{k+1} = T(x_k)$. Allora si avrà: \begin{align} d(x_{k+1},x_k) &= d(T(x_k),T(x_{k-1})) \le \lambda d(x_k,x_{k-1}) \\ & \le \dots \le \lambda^k d(x_1, x_0). \end{align}

Da questo si ricava facilmente che $x_k$ è una successione di Cauchy, e dunque converge: $x_k \to \bar x$. Ma allora, essendo $T$ continua, $T(x_k) \to T(\bar x)$ oltre che $T(x_k) = x_{k+1} \to \bar x$. Dunque esiste un punto fisso: $T(\bar x) = \bar x$.

unicità

Se ora si avesse $T(\bar y) = \bar y$ con $\bar y \neq \bar x$, si avrebbe \[ d(\bar x, \bar y) = d(T(\bar x), T(\bar y)) \le \lambda d(\bar x, \bar y) < d(\bar x, \bar y) \] Assurdo. Dunque $\bar x$ è l'unico punto fisso.

Applicazioni tipiche

• teorema di invertibilità locale
• teorema di esistenza e unicità di Cauchy

Frattali autosimilari

L'insieme di Cantor

\begin{align} C_0 &= [0,1] \\ C_1 &= [0,\frac 1 3]\cup [\frac 2 3, 1]\\ C_2 &= [0,\frac 1 9] \cup [\frac 2 9, \frac 1 3] \cup [\frac 2 3, \frac 7 9] \cup [\frac 8 9, 1]\\ &\vdots \\ C &= \bigcap_{k\ge 0} C_k. \end{align}

oppure

\begin{align} C = \{x\in [0,1]\colon \quad &\text{$x$ si può scrivere in base $3$}\\ & \text{utilizzando solo le cifre $0$ e $2$}\} \end{align}

oppure...

\[ C = \frac C 3 \cup \left(\frac C 3 + \frac 2 3\right) \]

Posto \[ T_1(x) = \frac x 3, \qquad T_2(x) = \frac x 3 + \frac 2 3 \] e \[ T(X) = T_1(X) \cup T_2(X) \] risulta \[ C = T(C) \]

Distanza di Hausdorff

Se $X$ e $Y$ sono sottoinsiemi di uno spazio metrico: \[ d_\mathcal H(X,Y) = \max\left\{\sup_{x\in X} \inf_{y\in Y} d(x,y), \sup_{y\in Y}\inf_{x\in X} d(x,y)\right\} \]

Denotiamo con $\mathcal K(E) = \{ \text{compatti non vuoti di $E$}\}$.

Teorema. Se $(E,d)$ è uno spazio metrico completo allora $(\mathcal K(E), d_{\mathcal H})$ è uno spazio metrico completo.

Hutchinson '91. Se prendiamo una mappa del tipo: \[ T(X) = T_1(X) \cup T_2(X) \] con $T_1$ e $T_2$ contrazioni, allora \begin{align} d(T(X),T(Y)) &\le \max\{d(T_1(X),T_1(Y)), d(T_2(X),T_2(Y))\} \\ &\le \max\{\lambda_1\, d(X,Y), \lambda_2\, d(X,Y)\} \\ &= \max\{\lambda_1, \lambda_2\}\, d(X,Y) \end{align} è una contrazione!

La felce di Barnsley ('93)