AA 2015/16
Corso di Laurea triennale in Fisica e Astrofisica
Insegnamento: ANALISI MATEMATICA I
Docenti: Francesca Bucci & Emanuele Paolini
Lun. 21 Sett. 2015 (3 ore) -- Bucci F.
Presentazione/Introduzione. Temi centrali e organizzazione del corso; informazioni pratiche. Testo di riferimento, altri testi consigliati (cfr. sito di Ateneo). Preliminari: richiami alla teoria degli insiemi. Cardinalita' di un insieme (costituito da un numero finito di elementi). Operazioni con gli insiemi: intersezione, unione, differenza; i diagrammi di Venn. Complementare di un insieme, leggi di De Morgan (la dimostrazione per esercizio). Nozioni elementari di logica. Linguaggio delle proposizioni, connettivi logici. Esempi. Tabelle di verita'. L'implicazione, l'equivalenza (doppia implicazione); negazione dell'implicazione, discussione di esempi. Predicati, quantificatori. L'alfabeto greco.
Mer. 23 Sett. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Nozioni elementari di logica (continuazione). Predicati, quantificatori, variabili mute; proposizioni `archetipiche', ruolo del controesempio. L'insieme dei numeri naturali, gli assiomi di Peano. Principio di induzione e applicazioni. Somme finite: il simbolo di sommatoria. Formule per (i) la somma dei primi n interi positivi (con discussione di due differenti metodi elementari che consentono di pervenire ad essa), e (ii) la somma dei primi n quadrati (dimostrata per induzione). Ricorsioni, successioni definite per ricorrenza.
Gio. 24 Sett. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Gli assiomi algebrici dei numeri reali. L'equazione x^2=2 non ha soluzioni razionali. L'assioma di continuita' (tramite intervalli dimezzati). Intervalli.
Ven. 25 Sett. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Il principio di Archimede. I numeri naturali come il piu' piccolo sottoinsieme induttivo dei reali. Definizioni: maggiorante/minorante, limitatezza superiore/inferiore, massimo/minimo, estremo superiore/inferiore. Esistenza dell'estremo superiore.
Lun. 28 Sett. 2015 (3 ore) -- Bucci F.
Discussione di alcuni esercizi/problemi (cfr. i paragrafi 1.7 e 2.8 del testo di riferimento): applicazioni del principio di induzione, estremi superiore ed inferiore. La parte intera di un numero reale: definizione, esempi. Caratterizzazione dell'estremo superiore/inferiore. Insiemi che non sono superiormente (inferiormente) limitati. Valore assoluto: definizione, esempi, proprieta'; la disuguaglianza triangolare (dimostrata). Distanza (o metrica) euclidea in R. Spazi metrici generali.
Mer. 30 Sett. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Richiami (dalla lezione precedente): definizione di valore assoluto, disuguaglianza triangolare. Stime per il valore assoluto della differenza di due numeri. Disequazioni con il valore assoluto: esempi. Topologia della retta reale. Distanza euclidea in R, proprieta' della distanza. Spazi metrici. Lo spazio R^n: distanza in R^n (con particolare enfasi sui casi n=2,3). Norma (euclidea), proprieta' della norma. Prodotto scalare in R^n: definizione e proprieta', vettori tra loro ortogonali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. La metrica (euclidea) e' indotta dalla norma, che a sua volta e' indotta dal prodotto scalare in R^n.
Gio. 1 Ott. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Intorni circolari in R^n. Punti interni, esterni, di frontiera. Parte interna, esterna, frontiera, chiusura. Insiemi aperti, chiusi. Esempi. Unione e intersezioni di aperti.
Ven. 2 Ott. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
La parte interna della parte interna coincide con la parte interna. Punti di accumulazione, insieme derivato. Punti isolati.
Lun. 5 Ott. 2015 (3 ore) -- Paolini E.
Funzioni, dominio, codominio, grafico. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Immagine, controimmagine. Funzioni invertibili (come fatto sul libro: sono le funzioni iniettive). Funzione inversa. Composizione.
Funzioni reali di variabile reale. Funzioni monotone crescenti/decrescenti e strettamente monotone crescenti/decrescenti. Funzioni costanti. Le funzioni strettamente monotone sono iniettive. Rappresentazione e interpretazione del grafico sul piano cartesiano. La funzione segno.
Mer. 7 Ott. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Funzioni reali di variabile reale (continuazione). Grafici di funzioni elementari: funzioni lineari, potenze (con richiamo all'iter che porta alla definizione di potenza ad esponente reale); proprieta' di simmetria del grafico della funzione inversa, esempi. Grafici di funzioni trigonometriche ed esponenziali (cfr. testo/i). Grafici di f(x)+c, f(x), |f(x)|, f(|x|) a partire dal grafico di f(x), con x appartenente a D. Funzioni pari, funzioni dispari: definizione, proprieta' di simmetria dei grafici rispettivi, esempi. (Per esercizio: formulare e provare un risultato riguardante la proprieta' di "essere pari (dispari)" per una funzione composta.)
Funzioni superiormente (inferiormente) limitate in D; funzioni limitate in D.
Gio. 8 Ott. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Successioni. Successioni estratte. Criterio di monotonia per le successioni. Equipotenza di insiemi, cardinalità, insiemi numerabili. Paradossi dell'infinito (Hotel Hilbert). Cardinalità degli insiemi numerici: naturali, interi, razionali (primo procedimento diagonale di Cantor). L'insieme dei numeri reali non è numerabile. Numeri algebrici (cenni). Teorema di Cantor (cardinalità dell'insieme delle parti).
Ven. 9 Ott. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Introduzione intuitiva al concetto di limite per funzioni reali di una variabile reale.
Data f: D ---> R, x_0 punto di accumulazione per D, si definisce "f tende a L (finito), per x che tende a x_0"; illustrazione dell'utilizzo della definizione al fine di provare che x^2 tende a x_0^2, per x che tende a x_0. Riformulazione della definizione mediante gli intorni, visualizzazione geometrica.
Unicita' del limite (per esercizio). Una funzione che ha limite finito, per x che tende a x_0, e' localmente (in un intorno di x_0) limitata. `Algebra' dei limiti: limite della somma, differenza, prodotto (dimostrato), quoziente di due funzioni.
Lun. 12 Ott. 2015 (3 ore) -- Bucci F.
Limiti (continuazione). Comportamento del limite rispetto all'ordinamento e alla struttura algebrica dell'insieme dei numeri reali: Teorema della permanenza del segno e Teorema dei carabinieri (dimostrati); limiti di funzioni positive/negative; Teorema sul limite di somma, prodotto (dim.), reciproco (dim.), quoziente di funzioni. Limiti di sin(x) e cos(x), per x che tende a zero. Forme di indecisione. Un limite notevole: limite di sin(x)/x, per x che tende a zero (dim.).
Mer. 14 Ott. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
(Preambolo) Prendendo spunto dalla discussione tenutasi con alcuni studenti durante il ricevimento settimanale pomeridiano, si sottolinea la rilevanza di alcune uguaglianze/disuguaglianze, la cui validita', per ogni n intero positivo, puo' essere dimostrata per induzione: disuguaglianza di Bernoulli, binomio di Newton, somma dei termini della progressione geometrica 1+q+q^2+...+q^n, con q diverso da 1 (cfr. testo di riferimento), e piu' in generale il quoziente della divisione di a^n-b^n per a-b.
Limiti (continuazione). Un limite notevole: [(1+x)^{1/2}-1]/x tende a 0, per x che tende a 0 (si dimostra preliminarmente che (1+x)^{1/2} tende a 1, per x che tende a zero).
Limiti infiniti: spunti, definizioni, illustrazione mediante esempi elementari. La funzione 1/x non ha limite, per x che tende a 0: si esclude il caso che il limite sia finito e diverso da zero, che sia zero, che sia piu' infinito (o meno infinito). Estensione del Teorema della Permanenza del segno al caso di limiti infiniti.
Gio. 15 Ott. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Limiti all'infinito (finiti e infiniti), limite destro, limite sinistro. Le funzioni monotone ammettono limite destro e sinistro (dimostrato per il limite sinistro di una funzione crescente definita su un intervallo limitato).
Ven. 16 Ott. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Limite di una successione (specializzazione della definizione già vista per le funzioni). Collegamento con i limiti di funzione nel caso la successione sia la restrizione di una funzione (per casa: cosa fa la successione a_n = sin( n)? In aula esempio: a_n = sin(pi n)). Definizione di successione convergente. La successione (1+1/n)^n è convergente (dimostrazione diversa dal libro, tramite disuguaglianza di Bernoulli). Limite di funzione (1+1/x)^x per x che tende a più o a meno infinito. Limite di funzione (1+x)^(1/x) per x che tende a zero. Esercizio: lim ((n^2+1)/(n^2-1))^(n^2) = e^2.
Lun. 19 Ott. 2015 (3 ore) -- Paolini E.
Il teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni successione limitata ammette una estratta convergente.
Successioni definite per ricorrenza (si vedano gli appunti su moodle). Esempi: n!, successione di Fibonacci. Successioni definite da una equazione autonoma del primo ordine: a_1 = alpha, a_(n+1) = f(a_n). Esempio: l'algoritmo di Erone per il calcolo della radice quadrata. Definizione di punto fisso e insieme invariante. Criteri di monotonia: se f(x)>x o f(x)<x, se f è crescente, se f è decrescente. Esempio:il limite del rapporto di due termini consecutivi della successione di Fibonacci.
Mer. 21 Ott. 2015 -- Lezione sospesa dall'Ateneo ("Firenze cum laude")
Gio. 22 Ott. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Esercizi sulle successioni definite per ricorrenza. (si vedano gli appunti su moodle).
Ven. 23 Ott. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Funzioni continue: definizione di funzione continua in un punto, esempi (x^2, sin(x), cos(x) sono continue in x_0, per ogni x_0); definizione equivalente tramite gli intorni. Segue da risultati riguardanti i limiti che somma, prodotto, quoziente di due funzioni continue in x_0 sono continue in x_0 (nel caso del quoziente, con la cautela che il denominatore sara' diverso da zero in x_0); di conseguenza, i polinomi e le funzioni razionali fratte sono funzioni continue. Teorema (dimostrato): la composizione di funzioni continue e' una funzione continua.
Lun. 26 Ott. 2015 (3 ore scarse) -- Bucci F.
Funzione continue (continuazione). Teorema di collegamento (dimostrato), sue applicazioni. La funzione f(x)=sin(1/x) non ha limite, per x che tende a zero. Funzioni estendibili con continuita' in un punto. Differenti tipi di discontinuita' (di prima, seconda, terza specie). Proprieta' delle funzioni continue: Permanenza del segno (s.d.), Teorema degli zeri (dimostrato).
Mer. 28 Ott. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Funzioni continue (continuazione). Una conseguenza del Teorema degli zeri: Teorema che conduce alla definizione di radice quadrata di un numero positivo a, e di radice n-esima di a. Il Teorema dei valori intermedi (dimostrato). Illustrazione grafica, esempi che mostrano l'ottimalita' delle ipotesi.
Massimi e minimi di funzioni di una variabile: definizione, ricerca di massimi/minimi in problemi
pratici e geometrici (ad esempio: ricerca del rettangolo di area massima inscritto in un semicerchio). Enunciato del Teorema di Weierstrass. Definizione di insieme compatto (per successioni), caratterizzazione dei compatti in R e R^n: sono tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati (per la dimostrazione, cfr. lezione successiva).
Gio. 29 Ott. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Gli insiemi compatti di R sono i chiusi e limitati (dimostrazione). Esistenza delle successioni minimizzanti: l'estremo inferiore (e superiore) di un insieme non vuoto è il limite di una successione a valori nell'insieme. Dimostrazione del teorema di Weierstrass.
Proprietà delle funzioni monotòne su un intervallo: i punti di discontinuità sono di tipo "salto", la funzione è continua se e solo se l'immagine è un intervallo. Le funzioni monotòne hanno una quantità al più numerabile di punti di discontinuità. Una funzione strettamente monotòna, continua, definita su un intervallo, ha inversa strettamente monotòna, continua, definita su un intervallo (dimostrazione). Una funzione monotona, continua, iniettiva definita su un intervallo è strettamente monotòna (non dimostrato).
Ven. 30 Ott. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Potenze con esponente naturale, proprietà (ripasso). Le radici n-esime (definizione tramite teorema di inversione delle funzioni monotone, ripasso proprietà). Definizione dell'esponenziale su esponenti razionali, proprietà (qualche esempio di dimostrazione). Definizione dell'esponenziale con qualunque esponente reale tramite estremo superiore (con base a>1). Monotonia. Continuità. Proprietà dell'esponenziale (per passaggio al limite delle proprietà sui razionali).
Limiti notevoli (e^x-1)/x e log(1+x)/x per x --> 0.
Lun. 2 Nov. 2015 (3 ore) -- Paolini E.
Criterio del rapporto per le successioni numeriche. Ordini di infinito per le successioni. Ordini di infinito per le funzioni. Esempi.
Introduzione al concetto di derivata. Retta tangente come limite degli ingrandimenti del grafico di una funzione in un punto fissato. Esempi di "linearizzazione": il potenziale gravitazionale (si veda il foglio di appunti), il volume di un cilindro cavo sottile. Definizione di funzione derivabile in un punto, derivata in un punto, retta tangente al grafico della funzione.
Mer. 4 Nov. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Derivate (continuazione). Derivata di una funzione f in x: approssimazione lineare, formula asintotica; il simbolo di Landau "o piccolo". Rapporto incrementale, relativa definizione di derivata in un punto. Interpretazione geometrica: rette secanti il grafico di f, retta tangente al grafico di f in (x,f(x)). Simbologia. Teorema: Una funzione derivabile in x e' ivi continua. Funzioni derivabili in ogni punto x di (a,b), la funzione derivata.
Derivate di funzioni elementari: f(x)=c, c costante; derivate di x, x^n (suggerite due differenti dimostrazioni, sulle quali ritornare), sin(x), cos(x) (s.d.), log(x), e^x (s.d.); il ruolo dei limiti notevoli. Derivata di cf(x), se f e' derivabile in x e c e' una costante. Teorema sulla derivata di somma, prodotto, quoziente di due funzioni derivabili in x (per esercizio la dimostrazione riguardante la somma, rimandata quella del prodotto). Derivata del reciproco di una funzione derivabile in x (dimostrato). Applicazione: la derivata di 1/x e' -1/(x^2), per ogni x diverso da 0. Una tabella di derivate di funzioni elementari.
Gio. 5 Nov. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Derivata della funzione inversa (dimostrazione). Derivata del logaritmo (verifica), derivata di arcsin, arccos, tan e arctan. Derivata della funzione inversa di x^3+x-1 in 1. Derivata della funzione composta (dimostrazione).
Ven. 6 Nov. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Primi problemi di massimo/minimo. Punti di massimo e minimo relativo per f in D; punti di estremo relativo. Il Teorema di Fermat (dimostrato). La condizione fornita dal teorema di Fermat e' solo necessaria, ma non sufficiente, affinche' un punto interno a D, in cui f e' derivabile, sia di estremo, come conferma, ad esempio, f(x)=x^3 in x_0=0. Punti critici o stazionari.
Un problema di massimo (che non richiede l'uso di derivate): ricerca dell'apertura massima di una finestra con forma geometrica assegnata -- rettangolo sormontato da un semicerchio -- e perimetro dato.
Lun. 9 Nov. 2015 (2 ore) -- Bucci F. & Paolini E.
Prova intercorso.
Mer. 11 Nov. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Derivate (continuazione). Il Teorema di Rolle, il Teorema di Lagrange (dimostrati entrambi). Interpretazione geometrica. Conseguenza di rilievo: Teorema che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinche' una funzione derivabile in un intervallo I sia monotona crescente o decrescente (dimostrato). La condizione cessa di essere sufficiente, se l'insieme I non e' un intervallo; esempio illustrativo. Studio degli intervalli di monotonia di una funzione, ai fini della ricerca dei suoi (eventuali) punti di estremo.
Esercizio: estremi assoluti della funzione f(x)=xe^x, con x maggiore o uguale a zero.
Problema (da affrontare e ridiscutere in seguito): Una persona si trova in mare (in un punto P) a distanza h dalla riva, e deve raggiungere un punto O sulla riva nel tempo piu' breve possibile. (Si assuma che la riva sia rettilinea, almeno nel tratto di interesse; si indichi con H il punto sulla riva a distanza minima da P; sia d la distanza di H da O.) Si chiede di determinare in quale punto della riva sbarcare, se la velocita' a remi e' v_1 e quella (a piedi, o meglio) di corsa e' v_2. Si inizi la disamina del problema assumendo v_2>v_1.
Gio. 12 Nov. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Teorema di Cauchy, Teorema di de L'Hôpital (dimostrato solo caso 0/0). Esempi. Esempio di funzione derivabile con derivata non continua. Se il limite della derivata esiste (e la funzione è continua) esiste la derivata nel punto limite. Asintoti: verticale, orizzontale, obliquo.
Ven. 13 Nov. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Funzioni convesse, definizione. Insiemi convessi e definizione equivalente tramite epigrafico. Teoremi: se la derivata è crescente la funzione è convessa; se la funzione è convessa il grafico "sta sopra" la retta tangente; se la funzione è convessa e derivabile la derivata è crescente. Cenni di dimostrazione (monotonia del rapporto incrementale e giustificazioni grafiche).
Esercizi sullo studio di funzione.
Lun. 16 Nov. 2015 (3 ore) -- Bucci F.
Funzioni convesse/concave (continuazione). Un'applicazione di rilevo: deduzione di stime (globali) per funzioni di una variabile. Due stime (dal basso e dall'alto) per la funzione cos(x). Grafici. Grafici delle funzioni xe^{-x}, x^2e^{-x}, e^{-x^2}, xe^{-x^2} (alcuni lasciati per esercizio), intervalli di convessita'/concavita', punti di flesso.
Le funzioni x^alfa, con x maggiore o uguale a zero, e alfa>0: derivabilita' della funzione in x_0=0 al variare di alfa>0, il valore alfa=1 come "discrimine", interpretazione geometrica sui grafici rispettivi. Il caso alfa<0. Tabella di derivate (continuazione): la derivata di x^{1/2} e piu' in generale di x^alfa, per x>0.
Funzioni algebriche: definizione, esempi. Grafici delle funzioni (1-x^2)^{1/2}, (x^2-1)^{1/2} (per esercizio). Funzioni (cosiddette) elementari: polinomi, funzioni razionali fratte, funzioni algebriche, funzioni circolari e loro inverse, funzioni logaritmo ed esponenziale; funzioni ottenute da quelle tramite somma, prodotto, ecc., composizione.
Mer. 18 Nov. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Funzioni elementari (continuazione). Le funzioni coseno iperbolico, seno iperbolico, tangente iperbolica: proprieta' intrinseche, identita' fondamentale, origine dell'aggettivo "iperbolico". Derivate delle funzioni iperboliche, grafici relativi. Funzioni iperboliche inverse: determinata l'espressione esplicita dell'inversa di sinh(x); per esercizio quella delle inverse di cosh(x) e tanh(x) (piu' precisamente, di opportune restrizioni).
Introduzione alla formula di Taylor. Derivata prima ed approssimazione lineare. Teorema di Lagrange e (Teorema) sua estensione al caso di funzioni derivabili n volte in un intervallo; strumentale alla dimostrazione del Teorema, un'estensione del Teorema di Cauchy. Formula di Taylor di f, con centro in x_0, e resto di Peano.
Gio. 19 Nov. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Formula di Taylor con resto di Lagrange: calcolare le prime 5 cifre del numero "e" tramite lo sviluppo dell'esponenziale. Formula di Taylor con resto di Peano. Esempio di utilizzo in un limite. Tabella degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari: exp(x), sin(x), cos(x), tan(x) (alcuni termini), arctg(x), 1/(1-x), 1/(1+x), 1/(1+x^2), log(1+x), (1+x)^alpha. Altri esercizi sui limiti da risolvere con la formula di Taylor.
Ven. 20 Nov. 2015 (1 ora) -- Paolini E.
Operazioni con gli o-piccolo: o(g) + o(g) = o(g), c o(g) = o(g), f o(g) = o(fg), o(f) o(g) = o(fg), o(g+o(g)) = o(g), se f=o(g) allora o(f) è incluso in o(g). Esercizi esplicativi.
Ven. 20 Nov. 2015 (1 ora) -- Bucci F. & Paolini E.
Discussione e consegna elaborati scritti.
Lun. 23 Nov. 2015 (3 ore) -- Paolini E.
Esercizi sulla risoluzione dei limiti tramite formula di Taylor (si veda il relativo foglio di esercizi). Utilizzo della formula di Taylor per determinare se un punto critico è massimo/minimo o flesso orizzontale. Esempio di funzione derivabile infinite volte, non identicamente nulla, ma con tutte le derivate nulle in un punto: f(x) = e^(-1/x^2), f(0)=0.
Introduzione al concetto di integrale. Calcolo dello spazio percorso da un corpo uniformemente accelerato, tramite approssimazione della velocità dal basso e dall'alto con funzioni costanti a tratti. Intervalli semiaperti: I=[a,b), misura di un intervallo semiaperto: I=b-a, funzione caratteristica di un insieme: phi_A(x), funzioni semplici (combinazione lineare di funzioni caratteristiche di intervalli semiaperti). Definizione di integrale di Riemann (e di integrabilità) per una funzione limitata definita su un intervallo [a,b].
Mer. 25 Nov. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Proprietà degli integrali delle funzioni semplici: monotonia, linearità. Teorema di caratterizzazione dell'integrabilità di una funzione. Proprietà degli integrali: monotonia, linearità, additività rispetto al dominio. Teorema della media integrale: la media è compresa tra sup e inf. La funzione di Dirichlet come esempio di funzione non integrabile.
Gio. 26 Nov. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Proprietà degli integrali: l'integrale di una funzione è minore dell'integrale del modulo (dimostrazione per esercizio). Uniforme continuità, Teorema di Cantor (una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è anche uniformemente continua). Integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale: la media di una funzione continua è un valore assunto dalla funzione. Teorema fondamentale del calcolo.
Ven. 27 Nov. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Integrali (continuazione). I due assunti del Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Primitive. Due primitive di una funzione in un intervallo I differiscono per una costante;
tale proprieta' segue da un Corollario del Teorema di Lagrange (dimostrato): "Una funzione
derivabile, con derivata identicamente nulla un intervallo I, e' ivi costante". L'assunto
e' falso quando l'insieme non e' un intervallo: esempio. La famiglia delle primitive di
f(x)=1/x (in R\{0}) dipende da due parametri. Integrale indefinito. Una tabella di primitive.
Metodi di integrazione: integrazione per parti; esempi/esercizi.
Lun. 30 Nov. 2015 (3 ore) -- Bucci F.
Una tabella di primitive (continuazione). Funzioni iperboliche, loro inverse, derivate (e primitive) relative. La funzione (1+x^2)^{-1/2} e' la derivata della funzione settsinh(x).
Metodi di integrazione (continuazione). Integrazione per parti, primitive di [sin(x)]^2 e [cos(x)]^2. Formule per l'integrale I_n di [sin(x)]^n nell'intervallo [0,pi/2]; il doppio fattoriale (o semifattoriale). Integrazione per sostituzione, formula dal duplice utilizzo; esempi illustrativi. (Incidentalmente, si prova che xlog(x) tende a zero, per x che tende a zero (da destra).)
Motivazione/applicazione dell'integrale: calcolo di aree di domini del piano. Area di domini
semplici rispetto ad un asse.
Mer. 2 Dic. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
(Cfr. lezione precedente): Area di domini semplici rispetto ad un asse, area di domini
decomponibili nell'unione di numero finito di domini semplici (le cui parti interne sono
disgiunte); esempi/esercizi.
Metodi di integrazione (continuazione). Integrazione di funzioni razionali: non e' restrittivo
supporre che il polinomio al numeratore abbia grado minore di quello del denominatore.
Il caso in cui il denominatore e' un polinomio di secondo grado, con discussione dei sottocasi
seguenti: (i) il polinomio ha due radici reali distinte: decomposizione in fratti semplici della
funzione razionale, tre diversi modi di ottenerla; (ii) polinomio con una radice di molteplicita'
due; (iii) polinomio irriducibile.
Gio. 3 Dic. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Esercizi sugli integrali con sostituzioni "speciali". Riconduzione di funzioni contenenti radicali (con argomento lineare), funzioni trigonometriche e radicali (con argomento quadratico) a funzioni razionali.
Ven. 4 Dic. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Integrali (continuazione). Funzioni periodiche: definizione, periodo minimo, esempi. Proposizione (Invarianza per traslazione dell’integrale di una funzione periodica): Sia f una funzione periodica di periodo T, e integrabile secondo Riemann in [a,a+T] (a e' dato). Allora f e' integrabile in ogni intervallo di ampiezza pari al periodo -- in particolare, in [0,T] o in [-T/2,T,2] --, ed il valore dell'integrale non cambia (dimostrata).
L'integrale di una funzione pari o dispari in intervali simmetrici rispetto all'origine: formule
rispettive (dimostrate), esempi.
Funzioni le cui primitive non sono esprimibili in termini di funzioni elementari: exp(-x^2), sin(x)/x, log(x)/(1+x), ecc. Il Teorema di Liouville (s.d.), utilizzo del Teorema.
(L'integrale in senso generalizzato della funzione (di Gauss) exp(-x^2) su R vale radice di pi greco; tale risultato segue da un integrale doppio (generalizzato), precisamente dall'integrale su R^2 della funzione exp(-x^2-y^2).)
Introduzione agli integrali generalizzati (o impropri). Funzioni definite in un intervallo (a,b)
limitato, non limitate in un intorno (destro) di a. Definizione di integrale generalizzato.
Lun. 7 Dic. (Chiusura Ateneo)
Mar. 8 Dic. (Festa nazionale)
Mer. 9 Dic. 2015 (2 ore) -- Bucci F.
Integrali in senso generalizzato o improprio. Funzioni definite in (a,b) limitato, non limitate in un intorno destro di a (sinistro di b): definizione, esempi; esistenza/non esistenza dell'integrale improprio delle funzioni x^{-alfa} in (0,1], al variare di alfa>0.
Funzioni limitate in [a,infty) (in (-infty,b]): definizione, esempi; l'integrale improprio delle funzioni x^{-alfa} in [1,infty), al variare di alfa>0, e di exp(-x) in [0,infty).
Combinazioni delle situazioni precedenti, integrali impropri su R.
Teorema (dimostrato): Criterio del confronto per funzioni positive. Illustrazione/applicazione: la funzione di Guass exp(-x^2) e' integrabile su R.
Gio. 10 Dic. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Integrali impropri. Criterio di confronto asintotico. Esercizi. Criterio di convergenza assoluta. Esempi. Senza dimostrazione: la funzione sin(x)/x è integrabile su [1,oo) ma non assolutamente.
Ven. 11 Dic. 2015 (2 ore) -- Paolini E.
Studio di funzioni integrali. Derivata di una funzione integrale in cui entrambi gli estremi di integrazione dipendono dalla variabile indipendente. Esercizi.
Serie numeriche. Esempi introduttivi. Successione delle somme parziali. Possibile comportamento di una serie: convergente, divergente, indeterminata. La serie geometrica. Teorema: le serie convergenti hanno termine generico infinitesimo. Teorema: le serie a termini non negativi non sono indeterminate.
Lun. 14 Dic. (2 ore) -- Bucci F.
Serie numeriche (continuazione). La serie di termine generale a_n=1/[n(n+1)], serie telescopiche:
convergenza e somma della serie. La serie armonica: due dimostrazioni della sua divergenza (cfr.
i) e ii)).
0) (Parentesi) Successioni di Cauchy. Proposizione (dimostrata): Una successione convergente e' di Cauchy. Le due proprieta' sono equivalenti (s.d.) -- nel caso di successioni a valori reali. Derivazione di una condizione di convergenza per le serie numeriche mediante la proprieta' di Cauchy.
i) La serie armonica e' divergente poiche' la successione delle somme parziali corrispondente
non e' di Cauchy (s_{2n}-s_n>1/2).
ii) Serie numeriche ed integrali impropri. Stime per la successione H_n delle somme parziali
della serie armonica: H_n ~ log n.
Criterio del confronto per serie a termini positivi. Serie armonica generalizzata.
Mer. 16 Dic. (2 ore) -- Bucci F.
Serie a termini non negativi (continuazione). Carattere della serie armonica generalizzata -- di termine generale 1/(n^alfa) -- mediante confronto con la serie armonica (0<alfa<1) e con la serie di termine generale 1/(n^2) (alfa>2). La convergenza della serie nel caso 1<alfa<2 puo' essere provata utilizzando il Teorema di Lagrange per la funzione x^{alfa-1} (cfr. testo di riferimento, paragrafo 8.5), oppure chiamando in causa gli integrali impropri (per esercizio, cfr. ii) lezione precedente). Criterio del confronto asintotico (con dim.). Esercizio: la serie di termine generale n^{1/2}sin(1/n) e' divergente.
Introduzione alle Equazioni Differenziali Ordinarie. Modelli per la descrizione di processi di crescita (e decadimento). Il modello malthusiano (T.R. Malthus, 1766-1834): l'equazione y'=ky, k costante (data). Le soluzioni sono tutte e sole le funzioni y(t) = c exp(kt), t appartenente a R, al variare di c in R (dimostrato). Crescita malthusiana.
Crescita con disponibilita' limitate: il modello di Verhulst (P.F. Verhulst, 1804-1849) e l'equazione logistica y'=ky(1-y/L). Soluzioni stazionarie, altre soluzioni.
Gio. 17 Dic. (2 ore) -- Paolini E.
Criterio della radice e del rapporto per serie a termini positivi. Serie a termini di segno variabile. Convergenza assoluta. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice. Criterio di Leibniz per le serie a segni alterni. Esercizi.
Ven. 18 Dic. (2 ore) -- Bucci F.
Introduzione alle Equazioni Differenziali Ordinarie (continuazione). Il significato dei termini "Equazioni Differenziali" e "Ordinarie", ordine dell'equazione. I modelli discussi nella lezione del 16 Dicembre (Malthus e Verhulst) sono EDO del prim'ordine. Definizione di soluzione. Problema di Cauchy. EDO lineari e EDO non lineari. L'equazione logistica: soluzioni stazionarie, altre soluzioni descritte in forma implicita; dati iniziali e relative formule esplicite, comportamento per temi lunghi delle soluzioni, interpretazione. L'equazione logistica rientra nella classe di EDO del primo ordine (non lineari) a variabili separabili o separate. Un esempio paradigmatico: l'equazione y'=y^2, fenomeno del "blow-up" (scoppiamento in tempo finito), tipico di fenomeni non lineari.
Cenni (rapidissimi) alle EDO lineari del primo ordine a coefficienti continui (esistenza di una formula chiusa per tutte le soluzioni) e alle EDO del secondo ordine (struttura lineare dello spazio delle soluzioni, due soluzioni linearmente indipendenti generano la famiglia di tutte le soluzioni); EDO del secondo ordine a coefficienti costanti (cfr. l'equazione del moto armonico).