particolare equazione differenziale
Inviato: martedì 10 febbraio 2009, 17:29
Salve a tutti, vorrei postare un esercizio sulle equazioni differenziali lineari non omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.
u''-9u'+20u=e^(5t)
A prima vista sembrerebbe una semplice equazione differenziale risolubile o col metodo dell'indovino oppure con il metodo delle variazioni delle costanti.
In questo caso ad occhio è preferibile utilizzare il metodo dell'indovino, vediamo che cosa succede.
Innanzitutto troviamo le soluzioni delll'equazione omogenea associata:
u''-9u'+20u=0 -> x^2-9x+20=0 che ha come radici 3+-(\/11)i.
Quindi la soluzione della parte omogenea associata è del tipo
[e^(3t)][a cos((\/11)t) + b sin((\/11)t)]
Ora passiamo a studiare la parte non omogenea:
e^(5x) non risulta essere radice dell'equazione omogenea, quindi possiamo provare a prendere u(t)=Te^(5t), u'(t)=5Te^(5t), u''(t)=25Te^(5t)
Andando a sostituire otteniamo 25Te^(5t)-45Te^(5t)+20Te^(5t)=e^(5t) cioè 0=e^(5x), cioè impossibile, questo vuol dire che e^(5t) è radice dell'equazione omogenea, ma com'è possibile se nella soluzione generele e^(5t) non compare? L'esercizio esce usando Tte^(5t) però mi piacerebbe avere dei chiarimenti, se è possibile dal professor Gobbino.
Arrivederci a presto
u''-9u'+20u=e^(5t)
A prima vista sembrerebbe una semplice equazione differenziale risolubile o col metodo dell'indovino oppure con il metodo delle variazioni delle costanti.
In questo caso ad occhio è preferibile utilizzare il metodo dell'indovino, vediamo che cosa succede.
Innanzitutto troviamo le soluzioni delll'equazione omogenea associata:
u''-9u'+20u=0 -> x^2-9x+20=0 che ha come radici 3+-(\/11)i.
Quindi la soluzione della parte omogenea associata è del tipo
[e^(3t)][a cos((\/11)t) + b sin((\/11)t)]
Ora passiamo a studiare la parte non omogenea:
e^(5x) non risulta essere radice dell'equazione omogenea, quindi possiamo provare a prendere u(t)=Te^(5t), u'(t)=5Te^(5t), u''(t)=25Te^(5t)
Andando a sostituire otteniamo 25Te^(5t)-45Te^(5t)+20Te^(5t)=e^(5t) cioè 0=e^(5x), cioè impossibile, questo vuol dire che e^(5t) è radice dell'equazione omogenea, ma com'è possibile se nella soluzione generele e^(5t) non compare? L'esercizio esce usando Tte^(5t) però mi piacerebbe avere dei chiarimenti, se è possibile dal professor Gobbino.
Arrivederci a presto