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Buonasera a tutti,
voglio provare a dare una generalizzazione della stima di un integrale vettoriale.
Sia un insieme. Sia uno spazio vettoriale normato di dimensione finita e sia il suo spazio duale. Sia l' insieme delle funzioni da in e l' insieme delle funzioni da in . Sia una funzione da in e sia una funzione da in . Supponiamo che per ogni appartenente a e per ogni appartenente a valga la relazione = . Supponiamo inoltre che <= per qualunque appartenente a implica <= . Supponiamo inoltre che sia nulla per la funzione identicamente nulla e che sia omogenea.

Allora accade che per qualunque appartenente a :

<=

Dim.
Fissato appartenente al duale abbiamo che per ogni :
= <=
( segue dal fatto che <= |v| |f| e dalla monotonia di . La norma di un elemento del duale è definita come :
al variare di in )

Se è il vettore nullo non c' è niente da dimostrare ( infatti calcolata per una funzione che è il valore assoluto di "qualcosa" avrà un valore maggiore o uguale rispetto a calcolata per la funzione identicamente nulla che restituisce per ipotesi il valore 0.

Altrimenti competo una base rispetto a e scelgo in modo che sia uguale a e nulla negli altri componenti della base. C è definito come il sup della componente dei vettori di norma 1 rispetto all' elemento della base . La norma di è . Inserendo nella relazione di prima si ha che:

<= usando l' omogeneità di si ha che:

<= da cui semplificando si ottiene la tesi.