Forum Studenti

Buongiorno a tutti i giorni! Sono alle prese con un integrale improprio che non riesco a risolvere:

[tex]\displaystyle\int_{A}{\arctan x\over (x^{2}+y^{2})^{\alpha}}\,dx\,dy[/tex]

Dovrei dimostrare per quali valori di [tex]\alpha[/tex] si ha convergenza.
A è il primo quadrante.

[tex]1<\alpha<3/2[/tex]

Va spezzato in due parti: [tex]0<\rho<1[/tex] e [tex]1<\rho<+\infty[/tex]

Ok, così dimostro i valori di [tex]\alpha[/tex] per cui l'integrale converge, cioè:
[tex]1\leq\alpha\leq{3\over2}[/tex]
Ma per i valori all'infuori dell'intervallo dovrei dimostare che diverge a più infinito. ..come fare? Quali minorazioni dovrei fare?

Scusate, qualcuno mi aiuti! non mi torna questo integrale . B={(x,y): x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0} La funzione è 1-cos(xy)/x^2+y^2 . grazie!!

Ho un problema con un Integrale Improprio:

[tex]$\[\int_{\mathbb{R}\smallsetminus D}^{} \frac{|x|}{(x^2+y^2)^2}dxdy\]$[/tex]
Dove D è un cerchio nel piano con centro nell'origine e raggio 2.

Andando avanti e passando in coordinate polari arrivo a questo punto:

[tex]$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$[/tex] che essendo facile e svolgendolo viene che converge a 2.

Guardando la Lezione 54 ci sono le condizioni per le quali un Integrale "fuori dal cerchio" converga:
[tex]$\[\int_{E_r} \frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2})^\alpha}}dxdy\]$[/tex] converge se [tex]\alpha > 2[/tex] e diverge se [tex]\alpha \le 2[/tex]

Perché accade questo? E' un caso speciale? Qualcuno mi spieghi
Grazie!

stai solo facendo un po' di confusione...l'integrale

[tex]$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$[/tex] dove [tex]\alpha = 2[/tex]

è del tipo "Analisi 1" e converge per [tex]\alpha>1[/tex]

se riguardi bene la lezione 54 è spiegato con chiarezza

Ok, ti ringrazio, come sempre

Buonasera,
non riesco a valutare i valori di [tex]\alpha[/tex] per cui il seguente integrale converga:
[tex]$\[\int_{\mathbb {R}^2} \frac {1}{7+(x^2+y^2)^{\alpha}}dxdy\]$[/tex]
Passando in coordinate polari cartesiane e svolgendo arrivo a questo punto:
[tex]$\[2\pi\int_0^\infty \frac {\rho}{7+\rho^{2\alpha}}d\rho\]$[/tex]
e mi blocco. Non trovo un metodo per andare avanti.
Grazie!