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non ho ben capito come calcolare il baricentro di un solido rotazione ,
io so che volendo conoscere la x del baricentro del solido
ottenuto dalla rotazione di D attorno all asse z per esempio
la formula è questa

[tex]\frac { \iiint _{ D }^{ }{ x\quad dxdydz } }{ volume }[/tex]

ma non mi riesce applicarla ,
mi ricordo che a lezione abbiamo usato una formula leggermente diversa , tipo questa :

[tex]\frac { 2\pi }{ volume } \iint _{ D }^{ }{ yzdydz }[/tex]

con un dominio del tipo [tex]\left\{ a<z<b\quad ;\quad 0<y<\varphi (z) \right\}[/tex]

quado va usata la prima e quando la seconda ?

La prima formula e' la definizione di coordinata [tex]x[/tex] del baricentro di un solido qualunque.
La seconda formula permette di calcolare *la [tex]z[/tex]* del baricentro di un solido di rotazione ottenuto per rotazione completa (di [tex]2\pi[/tex]) intorno all'asse [tex]z[/tex] del dominio [tex]D[/tex] del piano [tex]yz[/tex]. Questa seconda formula si ottiene dalla definizione passando in coordinate cilindriche (come si fa per dimostrare Guldino).

Se vuoi calcolare le coordinate del baricentro di un solido di rotazione in generale devi usare le coordinate cilindriche. Nel caso di una rotazione completa intorno all'asse [tex]z[/tex] la [tex]x[/tex] e la [tex]y[/tex] del baricentro sono zero per simmetria.

grazie adesso mi è tutto più chiaro .

Occhio, me ne sono accorta adesso nella tua prima formula (definizione di [tex]x[/tex] del baricentro) c'è un errore: l'integrale va fatto su tutto il solido e non sul dominio [tex]D[/tex] da cui il solido si ottiene per rotazione!