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Il secondo l'hai calcolato con guldino giusto?

e se lo volessi fare con la formula diretta?

A volte può essere utile ricordare che Il teorema di Guldino si può anche enunciare in questo modo:

se [tex]V[/tex] si ottiene da una rotazione intorno all'asse [tex]z[/tex] del dominio [tex]D[/tex] del piano [tex]yz[/tex] allora

[tex]Volume(V) = 2\pi \displaystyle \int_D y \, dy\, dz.[/tex]

A questo punto si tratta di fare solo un integrale doppio (ovviamente se cambiano gli assi di rotazione o il piano in cui si trova [tex]D[/tex] cambia la variabile da integrare).

Consideriamo il solido di rotazione che viene fuori ruotando attorno all'asse [tex]y[/tex] il triangolo del piano [tex]yz[/tex] con vertici in [tex](0, 0), (1, 1), (0, 2)[/tex],

se volessi calcolare la coordinata [tex]y_G[/tex] del baricentro del solido con [tex]\frac{1}{Vol(S)}[/tex][tex]\iiint_S y dxdydz[/tex], come potrei fare?

Si tratta di una formula che di solito viene fatta a lezione, ma che in ogni caso è facile da ricavare.

Partiamo da Guldino:

[tex]D[/tex] dominio del piano [tex]yz[/tex] ruotato intorno all'asse [tex]z[/tex] (rotazione completa). Se scrivete il solido in coordinate cilindriche con asse [tex]z[/tex] un possibile cambio di variabili diventa [tex]x = \rho \cos \theta[/tex], [tex]y = \rho \sin \theta[/tex], [tex]z = u[/tex]; dove [tex]0\leq \theta \leq 2\pi[/tex] e [tex](\rho, u) \in D_\rho[/tex]. Il dominio [tex]D_\rho[/tex] è sostanzialmente [tex]D[/tex] pensato nelle nuove coordinate ([tex]\rho[/tex] è la distanza dall'asse di rotazione che quando si prende [tex]x = 0[/tex] coincide con [tex]y[/tex]). A questo punto

[tex]Vol(V) = 2\pi\int_{D_\rho}\rho \, d\rho \, du[/tex]

che si può riscrivere (solo ricordando chi sono le variabili) come

[tex]2\pi\int_{D}y \, dy \, dz .[/tex]

Se adesso vogliamo la [tex]z[/tex] del baricentro, procedendo allo stesso modo si trova

[tex]\displaystyle \frac{ 2\pi }{vol(V)}\displaystyle \int_{D}y z \, dy \, dz.[/tex]

Ovviamente cambiando l'asse di rotazione e/o il piano del dominio che si ruota cambiano le variabili coinvolte. Questo però funziona bene solo se si vuole la coordinata del baricentro rispetto all'asse di rotazione...

NB Se si vogliono le altre coordinate del baricentro e la rotazione non è completa bisogna fare attenzione al modo di scegliere il cambio di variabili...